用一句话说，泰勒公式就是在一点用多项式函数对一般函数的逼近。它的伟大之处就在于用已知的、简单的、容易的函数去研究未知的、复杂的、艰深的函数。当然，这里所说的已知和未知、简单和复杂都是相对而言。这种逼近有一种很好的特性，就是逼近的效果与多项式的阶数直接相关。就好比我要复制一座雕塑。我当然希望复制得越精确越好，但是更高的精度意味着更复杂的工序。如果只是看起来差不多，那我只需要用雕刻刀就可以了。但是如果要精确到毫米级，我就需要一种类似于安全系统控制组件复刻师（钥匙匠，俗称配钥匙的）用的机器。

如果要精确到微米级，那就需要最好的数控机床。

可以看出，逼近只在一个范围内有效，这个范围随着多项式的阶数增加而增大，但是中心都是固定的，都在原点。这就是在一开始讲的，泰勒公式是在一点的逼近，逼近的效果随着多项式阶数的增加而越来越好，范围也越来越大。

认真的同学可能会发现，上面的公式没有最后的余项。有人会说：既然是余项，多余的东西，可以不用管它。确实在很多时候我们都不去考虑余项是什么，这里也没有写出来，但这并不代表余项完全不重要。

为什么我们找到的级数可以逼近原来的正弦函数、为什么逼近的效果越来越好，都是余项的原因。

也就是说级数在原点逼近原函数。其次，余项的分母是幂指数的阶乘，阶乘的增长速度是比幂乘更快的。

所以如果高阶导数不是很大的话，级数的阶数越高，逼近效果越好。那么进行这样的逼近有什么好处呢？首先是它的余项都是幂函数，有一个自然的分阶。对于一个复杂的无穷小量，我们可以通过泰勒展开式迅速地确定它的阶数。比如

在极限问题中，这个性质可以既可以用来取巧，也可以用来暴力求解——把极限化成无穷小的商然后全部替换成泰勒公式（这样做的人要有多丧心病狂就有多丧心病狂）。其次泰勒公式的余项是比较确定的，也就是说逼近的误差是可以计算的，而且公式里都是多项式，运算简单且多次重复，所以很适合用来进行数值计算。