数学是一门抽象的学科，这首先表现在它的概念上。

抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来，我们在学校学的是抽象的乘法表——它们总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。

同样地在几何中研究的，例如，是直线而不是拉紧了的绳子，并且在几何线的概念中舍弃了所有性质，只留下在一定方向上的伸长，总之，关于几何图形的概念是舍弃了现实对象的所有性质，只留下其形式和大小的结果。

全部数学都具有这种抽象的特征。

关于整数的概念和关于几何图形的概念——这只是一些最原始的数学概念。之后才是其他许多达到像复数、函数、积分、微分、泛函、n维甚至无限维空间等等这样抽象程度的概念。这些概念的抽象化好像是一个高于一个一直高到这样的抽象程度，以致看上去已经失去了同生活的一切联系，以致“凡夫俗子”除感到“莫名其妙”以外什么也不能理解。事实上情形当然不是这样，虽说n维空间的概念的确非常抽象，但它却有完全现实的内容，要了解这内容并不那么困难。比如我们要研究光照量、水分、施肥量、密植程度等n个因素对小麦农作物产量的影响函数，可能这里就需要设n个变量，把它放到n维空间里研究。

当然，我们在这里不想过多探讨数学概念本身的抽象性。

我们想问的是，抽象的数学概念本身反映什么东西？换句话说，抽象的数学概念是怎样形成的？

它是否就是像大多数人所认为的是人头脑中纯粹思维的产物？

我们不妨先考察一下数学概念的发展历程，以便于我们从中寻找答案。首先从算术和几何开始。

在早期的远古人类那里往往只有一和多的概念，尽管他们能够用自己的方式判断出在实践中某一物品的数量。比如在狩猎后，人们往往可以通过结绳的绳结多少或在洞壁上或骨头上刻痕的多少来记录捕获猎物的数量。随着人类认识水平的提高，数的概念摆脱了具体的物被抽象出来,人们能够理解更大的数和更一般的数……

算术的概念反映了物体集合的量的关系。这些概念是在分析和概括大量实际经验的基础上加以抽象化而产生的，并且它们是逐渐地产生的，最初是与具体对象相联的数，然后是抽象的数，最后才是关于一般的数、关于任何可能的数的概念。每一阶段都是以应用先前的概念积累起来的经验作准备的。比如关于整数概念的抽象，起先是舍弃具体的物体集合而进入关于单个数的概念（比如数字1、2、5等等），再进一步抽象就进入任意整数的概念。

几何如同算术的发展一样，同样是在分析和概括大量实际经验的基础上加以抽象化而产生的。人从自然界本身提取出几何的形式。诸如月亮的圆形和镰刀形，湖的水平面，光线或树木的笔直，人们把它改进到自己的手工品中。关于几何量的概念——长度、面积、体积——也同样是从生产实践活动中产生了。从事农业生产，人们需要丈量土地的面积。把粮食放入粮仓里或从事买卖，同样需要计算仓库或容器的容量。几何是从实践中产生的，地理上从埃及传到希腊，在古希腊人那里得到更大发展，并且朝着积累新的事实和阐明它们相互间关系的方向发展的。

不错，几何从事于“几何物体”和图形的研究，研究它们的量的关系和相互位置。但是几何物体不是什么别的东西，正是舍弃了其他性质比如密度、颜色、重量等等，而仅仅从它的空间形式的观点来加以考察的现实的物体。

这样，几何以舍弃了所有其他性质换句话说即采取“纯粹形式”的现实物体的空间形式和关系作为自已的对象。正是这种抽象程度把几何同其他也是研究物体的空间形式和关系的科学区别开来。例如，在天文学中，研究物体的相互位置，但只是天体的相互位置，在测地学中研究地球的形式，在结晶学中研究晶体的形式等等。在所有这些情形中，研究具体物体的形式和位置是与它们的其他性质关联着或者相互依赖着的。

数学概念形成的基本规律之一正是如此:数学概念是以应用先前的抽象概念积累起来的经验为基础，通过一系列的抽象与概括过程而产生的。

当然，我们还要谨记一点，在数学中研究的不仅是直接从现实中抽象出来的量的关系和空间形式，而且还研究那些在数学内部已经形成的数学概念和理论为基础定义出来的关系和形式。这是数学概念形成的基本规律之二。

虚数不是像我们说过的整数那样从现实界中提取出来的，这是一个历史事实。它最初出现于数学内部，作为方程x2=-1的根，从代数的必然发展中出现的。后来虽然逐渐开始很随意地运用它们了，但是它们的现实意义仍然长久没弄清楚，这就是为什么要称它们为“虚数”的道理。以后，发现了它们的几何解释，它们得到许多重要的应用。同样地，罗巴切夫斯基的几何学也是作为这个伟大学者的创造物产生的；他还没有看到它的现实意义，所以称它为想象的几何学”。但是它不是智慧的自由游戏，而是根据几何的基本概念作出来的必然结论，并且罗巴切夫斯基是把它当作空间形式和关系的可能成立的理论来加以考察的。

在由罗巴切夫斯基几何和精确虚数理论奠定基础的数学发展的新阶段上，产生了和不断产生着许多新的概念和理论，这些概念和理论是在已经形成的概念和理论的基础上建立的，而不是从现实界直接提取出来的。数学规定和研究现实界的各种可能形式，这正是数学发展到现代数学的决定性特点之一。

在数学概念当中，是否有绝对精确化的定义？

欧几里得和他以后两千年之内的所有数学家，毫无疑问，都认为欧几里得的《原本》一书几乎是逻辑严格性的标准。但是现在，从现代的观点看起来，欧几里得对几何的论证是十分表面的。这个历史的例子告诉我们，不应该迷惑于对现代数学的“绝对”和“彻底”的严格性的估计。

我们不妨考察一下变量和函数演变的历史。变量和函数的概念不是一下子就现成地从伽利略、笛卡儿、牛顿或任何人那里产生出来的，它们在许多数学家那里萌芽（例如，在纳皮尔那与对数联系着），然后在牛顿和莱布尼茨那里采取了或多或少清晰的，但还远不是最终的形式，以后它们随着分析的发展而精确化和概括化。它们的现代定义直到十九世纪才形成，但是这种定义也不是绝对严格和完全终结了的。函数概念本身的发展直到现在还在继续着。

对于分析来说，批判，系统化和论证的必要时期是在十九世纪中叶来到的。这项重要和困难的工作由于许多杰出学者的努力而胜利地完成了。特别是获得了实数、变量、函数、极限、连续性等基本概念的严格定义。

不但如此，新概念本身只是在它加以解决的那些问题的基础上，只是在把它们包括在内的那些定理的基础上才能发生、发展、精确化和概括化。

当然我们还可以举出更多的例子。但是，这些定义的任一个都不能认为是绝对严格和完全终结了的，这些概念正在继续发展。在还没死去和变成木乃伊的科学中，没有也不可能有什么完全终止了的东西。但是我们可以确信地说：第一，现在已经确立的分析基础能够很好地适应现代科学任务，适应关于逻辑准确性的现代概念；第二，这些概念的继续深化和围绕这些概念正在进行着的讨论没有引起也不会引起人们简单地抛弃这些基础：但是却将导向对这些概念的新的、更准确和更深刻的理解，至于其结果，现在也许还难于完全判断。

在数学中研究量的关系时，注意到的仅仅是它们的定义本身中所包含的东西。相应地，数学结论是用从定义出发的推理得到的。我们仅从字面上来理解这些话可能会认为数学概念十分严格的定义的形成真正先于相应的数学理论的建立，那是不正确的；事实上，概念本身随着理论的发展，由于理论发展的结果而更加精确化，对整数概念的深刻分析，正如几何公理的精确公式化一样，不是在古代，而是直到十九世纪末才作出来。设想似乎有一种绝对精确地定义了的数学概念，那是更加错误的，任一概念，不管它是怎样被精确地定义了，也还是要变动的，它随着科学的发展而发展和精确化。这已经由全部数学概念的发展所证明，这只是再一次证实了辩证法的这样一条基本定理：世界上没有任何东西是完全不变和无论如何也不发展的。

所以对于数学概念，第一，只能说到它们的充分的确定性，无论如何也不能说到它们的完全的确定性。第二，应该注意到它们的定义的精确性和明显性以及对它们分析的深度都是随着数学的发展而不断发展着的。在这里我们注意的是数学概念的充分确定性。总之，这是数学概念形成的基本规律之三。

因此，我们说数学概念，它绝不是唯心主义者们所认为的只是人头脑中思维的产物。它的形成和演变，是社会实践和经验的总结。这种总结在未来不仅不会终止，还会继续深层次演变和发展。