虽然，我们从小学五年级就开始接触方程的学习，但是在人类历史上，“方程”问题的解决并不是那么一帆风顺，经历数百年的“一元五次方程”的“根式解”问题，一直令数学家们头痛不已，直到两位天才数学家的出现才最终完美的解决，从而也导致了一门崭新的“数学分支”——“群论”诞生，在人类的数学史和科学史上，写下了浓墨重彩的一笔。这到底是怎么一回事呢？这还得从遥远的古埃及说起。

早在3600年前，古埃及人已经涉及到了含有“未知数”的“等式”，提出了最早的“方程”。 在我国的《九章算术》中展示了用“消元法”来解”三元一次“方程组。

从“一元一次方程”到“一元四次方程”，人们都可以得到“根式解”，但是当人们遇到“一元五次方程”的时候，却无法确定是否有“根式解”，这个难题纠结了数学家们近三百年。直到两位天才数学家的出现，“一元五次方程”的“根式解”问题才得以完美的解决，并因此意外地创立了新的“数学分支”——“群论”。这两位年轻而伟大的数学家分别是阿贝尔和伽罗瓦。

阿贝尔从小生活困顿，在老师霍尔姆伯的引导下，深入地学习了牛顿、欧拉、拉格朗日及高斯等大数学家的著作，不但能深刻地了解他们的理论，而且还能找出他们著作中的一些不足之处。

1824年，年仅22岁的阿贝尔写下了《一元五次方程没有代数一般解》的论文，他在该论文中首次完整地给出了“高于四次的一般代数方程”没有一般形式的代数解的证明，解决了数学家们纠结了250多年之久的数学难题。他满怀信心地将这篇论文寄给了当时有名的数学家柯西，可惜柯西却不小心将这一份足以改变数学史的论文弄丢了。

1825年的冬季，阿贝尔来到了柏林，认识了同样热爱数学的土木工程师克列尔，缘于对数学的痴迷，两人成为了最要好的朋友。1826年，克列尔创立了一份数学杂志，刊登了阿贝尔关于“一元五次方程”的研究成果。

1826年夏天，阿贝尔前往巴黎造访当时最顶尖的数学家，却受到了冷落，他尝试着将他的数学研究成果寄去科学院，却石沉大海。更要命的是，他不久染上了肺结核病。

1828年，生活困顿的阿贝尔找到一份代课教师之职来维持生计，在这种艰难的情况下，阿贝尔依然热爱着他心爱的数学，写下了大量的论文，后来著名的“阿贝尔方程”和“阿贝尔群”的理论就是在这一时期诞生的。

1829年4月8日，阿贝尔的朋友克列尔终于为阿贝尔成功争取到了柏林大学的数学教授职位，1830年他和数学家雅可比共同获得法国科学院大奖。

但是，这些荣誉已经来得太迟了，因为年轻的阿贝尔已于1829年4月6日凌晨去世，年仅27岁。

数学的发展之路是如此的艰难！和阿贝尔处于同一时代的法国年轻数学家伽罗瓦，也遭遇了同样的命运。

伽罗瓦出生于优渥的知识分子家庭，他的父亲担任着市长的职务，因而从小受过良好的教育。伽罗瓦和阿贝尔一样，对“代数方程”的研究也非常的痴迷，1829年，伽罗瓦将他“代数方程解”的研究成果交给法国科学院，巧合的是，负责审阅的人又是柯西，而且这篇论文的命运和阿贝尔的论文的命运一样，同样被柯西弄丢了。

伽罗瓦的数学事业因为柯西的疏忽而受阻，更糟糕的是他的家庭此时也发生了重大变故，他的父亲因政治蒙冤自杀，这导致了伽罗瓦之后的极端性格，卷入了与政治纠缠不休的命运。

1830年七月革命发生，伽罗瓦因参加政治活动而入狱，在狱中，伽罗瓦仍然一心扑在他心爱的“数学研究”之中，一遍又一遍地修改着他“方程论”的论文及其他数学工作。

1832年3月，伽罗瓦爱上了一个医生的女儿，而这位心爱的姑娘却是名花有主，为了自己心爱的女人，伽罗瓦决定与情敌进行决斗， 伽罗瓦明知胜算不多，但是处于人生低谷的他，事业、家庭、爱情都令他心灰意冷，一心赴死！

在他的世界里，唯一让他割舍不下的就是那些没有机会公之于众的数学成果，在决斗前一夜，伽罗瓦仍然疯狂地在稿子上总结他的数学成果。第二天，伽罗瓦死于决斗，人类历史上最具才华的少年天才殒落了，年仅21岁！

伽罗瓦去世之后，他的朋友舍瓦烈遵照伽罗瓦的遗愿，将他的数学论文寄给高斯等数学家，但是都石沉大海，直到1843年，最终由刘维尔发现了他的论文，给予了高度赞赏，经过三年的奔波辗转，最终于1846年将伽罗瓦的数学成果公之于众。伽罗瓦的数学成果是如此的重要，他开启了使用“群论”的思想去讨论“方程式的可解性”的先河。1832年伽罗瓦证明了一般的五次以上一元方程不能用“根式”求解，他用“群论”彻底解决了“根式求解代数方程”的问题，而且由此发展了一整套关于“群”和“域”的理论，人们称之为“伽罗瓦理论”，并把其创造的“群”叫作“伽罗瓦群”。在今天，“伽罗瓦理论”成为了“现代代数”与“数论”的基本支柱之一。伽罗瓦与阿贝尔并称为现代“群论”的创始人。

“群论”不但在“数学”中具有举足轻重的作用，在其它领域比如物理、化学及工程科学等许多领域中都有着广泛的应用，特别是在“物理学”的“晶体学”中关于“晶体”结构的研究，“群论”指出，空间中“互不相同”的“晶体结构”可以确定为230种。无论是“经典物理”中的“对称性和守恒律”还是“量子力学”中的“角动量理论”，都闪烁着“群论”思想的夺目光芒。在今天，甚至在“计算机方法和程序＂的研究中，“群论”也得到了重要的发展。

由“一元五次方程”引发的长久讨论而创立的“群论”，是两位天才少年为人类留下的史诗绝唱。他们的名字在人类文明的天空，绽放着夺目的光芒。