相交的平行线

在数学的几何学习中，我们应该都明白一个公理。

同一平面内，过已知直线外一点且只有一条直线与已知直线平行。

则任意两点都是平行的，任意一点与任意平面都是平行的。

这是希尔伯特在《几何基础》中，关于欧几里得几何中的平行公理的进一步阐述。

而在欧几里得几何中，关于平行公设则有着更多思考和疑问，至少在100多年前，人们仍然非常遵循这套几何逻辑。

但是在19世纪初，俄罗斯数学家洛巴切夫斯基却提出了一个大胆的理论：

平行线，或者说在欧几里得的第五公设中，这种平行直线太过于苛刻。

作为数学的替代方案，他认为在通过不在给定直线上的点的平面上，有不止一条直线与给定直线在同一平面上且不相交。

另外在他进一步的论述中，平行线是可以相交的。

当时不少数学界的数学家被洛巴切夫斯基的这一理论给惊呆了。

这小子年纪轻轻到底懂不懂数学？怕不是连最基本的几何定理都没搞清楚就来大放厥词了？

相信屏幕面前不少读者在未接触非欧几何前，一定也是和这些数学家有着同样的疑问和讽刺。

先别急着这么快否定，一起来看看俄罗斯的数学奇才究竟是怎么想的。

洛巴切夫斯基的童年记录几乎没有，只有关于他父亲的潦草介绍。

但在他生命最初的那些年里，洛巴切夫斯基被父母送进体育大学学习，并在1806年从体育馆毕业。

从体育馆毕业的他继续深造学习，此时的他几乎没怎么学过数学，或者说可以学习与数学相关的课程很少。

但是到了1808年，情况就发生了变化。

马丁·巴特尔斯，一位优秀的德国数学家，他受当时喀山教育区的邀请来到俄国教书。

同时，他也是数学天才高斯的好友。

没错，就是那个一人搞定多个数学难题，并且整出让无数人痛哭的“高斯代数”那哥们儿。

被打断的研究

本来一向对数学不太感兴趣的洛巴切夫斯基很快被马丁的教学方式吸引。

当时他的兴趣主要在化学和药理学，在巴特尔斯的影响下开始对物理和数学感兴趣。

俗话说兴趣是最好的老师，更何况还有马丁这样优秀的教师。

1811年，洛巴切夫斯基以硕士学位毕业，并在物理和数学方面取得优异的成绩。

或许是有天赋加持，短短数年的蜕变让他成为极具潜力的数学选手。

从学校毕业后的洛巴切夫斯基开始专注于数学研究，但是德国教师队伍由于受到喀山地区教育委员会的排挤，最终不得不退出俄罗斯。

因此喀山区的高等教育很快面临着人才不足的问题， 1820年，洛巴切夫斯基经过推选成为学校的物理数学院院长。

此后几十年的时间里，洛巴切夫斯基潜心教学，并且在数学方面取得了不俗的成就。

尤其是他关于非欧几何和洛巴切夫斯基几何的设想，以及相关推理，影响了后来数学的发展。

不过这在当时没有受到人们的重视，反而还遭受各种嘲笑。

从1817年开始，洛巴切夫斯基就在思考欧几里得的第五公设。

后来几年里，洛巴切夫斯基在自己的笔记以及各种手札中都有详细的推论和记录。

不过当时他并不认为这些工作会得到认可，因此相关理论也只有他自己知道。

在他看来，欧几里得关于几何的论述实际上是有问题的。

自己关于新几何中的推论不包括欧几里得几何，但是欧几里得几何可以通过极限情况下得到。

洛巴切夫斯基放弃了欧几里得关于平行的假设。

相反在他的构建下，一条直线和一个不在该直线上的点形成的平面中，可以通过该点画出无限多条平行于原始线条的直线。

将此假设与欧几里得前四条共设结合，并展开推理。

最终得到的结果是，第五公设不能被证明。

所有非平面的假设都是不正确的，至少欧几里得几何只能在他的平面几何中自洽。

这便是后来关于双曲几何的推论，也是洛巴切夫斯基几何中的一部分。

双曲几何中，至少有两条不相交的直线，且都通过P点，并不与R相交。

此外，双曲几何对其本身而言并无矛盾之处，在双曲几何的环境里，平面的曲率为负数。

通过欧几里得几何仍然可以推导出属于它本身的定理。

换句话讲，平行公设无法由前四条共设推导，平行公设独立于前四条共设。

不可能有平行定理，只有平行公设，这是洛巴切夫斯基关于欧几里得几何的定论。

当他在1832年将自己的作品《几何原理》交给科学院时，当时俄国不少数学家都开始讽刺他几乎什么都不懂。

证明需要时间

说到这里不要觉得不可思议，一套系统理论在得到完全证明和认可之前很难让人接受。

因为很大程度上会推翻现有的科学体系，或者影响整个科学发展。

就像爱因斯坦的相对论在刚发表的时候，不少科学家都坚定牛顿的绝对静止时空是没问题的。

尽管遭受了不少嘲笑，但是洛巴切夫斯基对自己充满信心。

他内心也很清楚，自己的这套理论大概率不会被当时主流的研究所认可。

不过作为一名数学家来讲，他还是希望有人能够理解他的想法。

于是洛巴切夫斯基开始把自己的想法刊登在德国杂志上，并且还写了一本关于几何研究的小书，里面都是关于他对非欧几何的论述。

事实上不仅是洛巴切夫斯基，同时期内其实有很多数学家都开始注意到欧几里得几何中的问题。

包括高斯这样的数学天才同样如此。

但碍于当时的学术环境，高斯不敢发表自己关于欧几里得几何的看法，只能私底下秘密研究。

但再怎么说，当年的老师有恩于自己，因此有两份副本后来送到了高斯那儿。

高斯在看了之后十分认同洛巴切夫斯基的想法，并且正面肯定了他的工作。

考虑到当时的科学界还不能接受这种激进的想法，相比之下，高斯更加同情这位俄国数学家。

不过作为当时欧洲最顶尖的数学家，高斯在学术界有很高的地位和声望。

为了扶持洛巴切夫斯基，高斯开始自学俄语，并在哥廷根皇家科学学会上推举他为优秀数学家代表。

然而十分可惜的是，尽管高斯再怎么努力，当时也没有人理解。

并且在后来，洛巴切夫斯基的家境一落千丈，儿子生病死亡，自己也陷入失明，并且身体一天不如一天。

只能通过口述来让人记录他的想法，1844年后，也就是在他作品发表后的12年，这位数学奇才郁郁而终。

然而在这之后，人们才逐渐注意到这套理论，很快科学界的情况发生了变化。

洛巴切夫斯基的理论得到了认可。

到了1868时，欧洲数学家建立了投影模型、伪球等数学模型，最终才证实了洛巴切夫斯基几何。

如今我们在生活中有许多地方都能看见这位数学家所想证明的例子。

例如有双曲平面设计的钩编衣物或者毡帽，双曲几何的球面投射模型等等。

进一步的几何推导在黎曼几何、非欧几何中得到阐述。

或许正如生活一般，大胆的假设总是令人感到畏惧和胆怯，但正是这种突破精神才让我们继续前行。

人生的曲线处在生活这个平面里，看似两者毫无联系，但总有一天它们会相交于一点从而改变一切。