封面

《5号》画作

如果我不说你现在看到的是一幅世界级的名画，你一定会认为这是那个小孩子的涂鸦。但是我告诉你这幅名叫《5号》的画作，在2006年11月3日，被一位墨西哥的金融家以1.4亿美元的价格收入囊中。在当时，这幅画妥妥地成为了世界上最昂贵的作品。该画是被誉为抽象表现主义绘画大师的美国画家杰克逊·波洛克 ，在1948年创作的。他是美国行动绘画艺术的鼻祖。

波洛克画画的方式别具一格，创作没有规律，绘画时也没有固定的位置。他作画风格是先把画布固定在地板或者墙上，然后随意的将颜料泼洒在画布上。或者将颜料桶打上很多的洞，任由颜料在画布上滴流，形成了鸟巢状的外观，看起来错乱无章。这种画的高明之处，一般人很难理解。和小孩子的涂鸦不同的是，自上世纪70年代开始，波洛克绘画的作品就一直在刷新绘画艺术交易价格的世界纪录。

屏幕前的你，可能会说这种画有什么了不起的呢？给我三天时间，也能泼出一幅。诡异的是，全世界有很多人都试图模仿波洛克的画风，却没有人画出波洛克的精髓。波洛克的画似乎有某种魔力，让人深陷其中欲罢不能。不仅如此，波洛克的画也备受科学家的青睐。认为波洛克的画中隐藏着宇宙法则和万物的密码！这事儿还得从一个怪异的科学家说起。

时间回到上世纪的70年代初，年仅10岁的理查德·泰勒，在英格兰偶然瞥见了一本杰克逊·波洛克的画册。就此深深的迷上了波洛克的绘画，或者说是迷上了波洛克。而此时波洛克已经离开人世将近20年。理查德·泰勒认为波洛克的画隐藏着某种秘密，但是自己就是说不上来。

直到1999年，成为俄勒冈大学物理学家的泰勒，再一次的对波洛克的画作进行了研究。泰勒将波洛克的画拍成高分辨率的照片，并将这些照片扫描进专业的计算机内，对图案进行了分形维度计算，结果发现波洛克的滴流画作品的分形维度竟然和自然界中丰富的分形图案的边缘维度高度相似。比如海岸线和雪花的边缘维度。这到底是怎么回事呢？这还得从100多年前的一个深夜说起。

皮亚诺曲线

时间来到1890年的一个夜里，年仅32岁的意大利数学家朱塞佩·皮亚诺，独自在书房内沉思，竟发现了一个巨大的空间BAG,它是我们这个世界中，一个无法解释的矛盾。用一根直线填满一个正方形，一根直线怎么能够填满一个正方形呢？屏幕前的您有什么好的方法吗？请打到公屏上。于是皮亚诺想出了一个一般人想不到的简单办法。

他先是将一条直线进行三等分，创造了一个简单的曲线。然后再将三段平分的直线再进行三等分，就形成了这样一个图案。

皮亚诺对这种划分方式很感兴趣，于是他继续对图案进行迭代。然后我们就看到了皮亚诺三等分直线的

第三代：

第四代：

第五代：

第六代：

第七代：

第八代：

第九代：

这个时候你会发现，原本的一条直线经过三等分的数次迭代后，最终形成了一个正方形。也就是说皮亚诺真正地做到了，用一根直线填满了整个正方形。

通过研究，皮亚诺认为：这根曲线若是无限的迭代下去，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。大家有没有发现，皮亚诺的研究，出现了一个逻辑不通的错误，那就是它一开始只是一条线，一条线怎么能有面积呢？这根本就说不通，这就是数学上著名的——皮亚诺曲线。

我们总是直观地认为直线是一个典型的一维对象，而平面是一个典型的二维对象。皮亚诺的研究证明了我们对曲线的认知是非常的有限，皮亚诺认为线段也可以是二维的，可以填满整个平面。然而在100多年前，没有人能够明白皮亚诺的发现，意味着什么？然而在皮亚诺曲线问世的14年后，一位科学家用另一种图形和方式迭代出了一个全新的世界。

科赫雪花

时间来到1904年，34岁的瑞典数学家尼尔斯·法比安·海里格·冯·科赫，由于他的名字过长，所以大家一般都喜欢叫他科赫。这一年科赫在皮亚诺曲线的基础上，绘制了一种全新的图形。他先是画一个等边三角，并把每一条边进行三等分，再取一条边的中间一段为边，向外再再画一个等边三角形。同样的操作，重复的到其它的两条边上。完成后再把中间的边擦掉。此时就成了一颗等边的六角星。

然后重复上述步骤，画出更多的更小的三角形。一直重复，无限地迭代下去。你就会发现，迭代的次数越多，图形的状态就越像雪花。因此科学家们把科赫发现的曲线，称之为科赫雪花。

科赫雪花很好地展现了自相似性，即部分和整体严格的相似。但是很快，科赫就因为自己的发现而困惑了。科赫认为科赫雪花的面积，肯定小于以边三角形中心为圆心，定点为半径的圆。也就是说科赫雪花不论怎么迭代，其面积始终不能超过这个圆。这个面积该如何计算呢？科赫并不知道，但是在数学界总是有人喜欢研究别人的困惑。

时间来到1915年，波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基，对科赫的发现很感兴趣，于是他开始着手研究科赫雪花。却始终无法破解其中的奥秘。几番冥思苦想之后，他决定反其道而行之。于是他和科赫一样，先画一个等边三角形，然后沿三边中点的位置进行连线，将它分成四个小三角形。然后挖去中间的小三角形，接下来再挖去另外三个三角形中间的小三角形，并以此类推。如果我们用黑色代表挖去的面积，白色代表剩余的面积。

那么当上述的操作，无限循环下去时，整个谢尔宾斯基三角形的周长就会趋近于无限大，其面积就会等于0。随后科学家们受到谢尔宾斯基三角形的启发，给出了科赫雪花的面积公式。但是科赫雪花的周长却始终无法计算。因为科赫雪花和谢尔宾斯基三角形的周长都是无限长的。讲到这里，有看官就会开始错乱了。一个有限面积的图案，怎么可能拥有无限的周长呢？这里面肯定藏着一个惊天的秘密。于是一些科学家开始试图揭开其中的奥秘，可都没有实质性的进展。直到他的出现。

豪斯多夫维数

时间来到1918年，德国科学家费利克斯·豪斯多夫，开始研究科赫雪花的悖论。经过一段时间的研究，他终于找到了科赫雪花的破解之法。豪斯多夫发现，科赫雪花有极强的自相似性。于是他从相似性入手。他将科赫雪花进行拆解，一条线视为是由两条长度一半的线组成的。就是两个自身为1:2的对数比，log2比log2等于1，也就是说这条线是一维的。根据科赫曲线和皮亚诺曲线的相似点，他想到了皮亚诺曲线经过无限迭代后，装满了整个正方形。而正方形可以平均分为4个小正方形，就是4个自身为1:2的对数比，最后公式为log4比log2等于2.也就是说，这个正方形是二维的。

以此类推，他将图形提升到立方体。他认为一个立方体，可以看作是由8个小立方体组成的，也就是8个自身为1:2的对数比，最后公式为log8比log2等于3.所以这个立方体是三维的。搞清楚这些后，我们再来看科赫雪花。我们现在来给科赫雪花定义一个适合它的维度。在我看来，这个维度的定义保持了1这个不变量，在二维的时候，我们称它为面积；在三维的时候，我们称为体积，但在科赫雪花中，我们称它为什么呢？现在我们观察科赫雪花一条边的生长过程:每生长一次之后的形状是由4 条之前的形状构成的，只是大小发生了变化，长度缩短到之前的1/3。其公式就是log4比log3.而此时诡异的事情发生了，我们熟悉的空间维度，竟然出现了分数。科赫雪花的维度居然是1.26维的。豪斯多夫的这项重大发现，在数学上被称为豪斯多夫维数。

这样理解似乎有些难度，我们换一种方式。在前面我们演示科赫雪花迭代过程中，我们可以发现科赫雪花在前几次的迭代中，还没有形成雪花形状之前的图案，就是可以计算出它的周长的。比如我们迭代到第三代或者第五代的时候，如果把每条边的长度进行相加，也就得到该图案的周长。但是如果把时间维度给加进去，事情就变得不再是那么的简单了。因为科赫雪花在时间上是可以无限地迭代下去的，也就是说它的周长自然也就是无限的了。所以科赫雪花的本质，是一个非线性系统，在时间上的演化过程。豪斯多夫维数也可以看作是时间线上的空间维度。然而这些都只是为一门新科学奠定的基础而已。精彩的大门才刚刚解锁而已。

上帝的指纹

时间来到1975年，51岁的分形几何学之父伯努瓦.曼德尔布罗 。在夏天一个寂静的夜晚，苦思冥想之余翻看儿子的拉丁文字典时，被一句话“产生无规则的碎片”激发了灵感。而绘制出了人类有史以来最奇异,最瑰丽的几何图形。这个图形被称为“上帝的指纹”。它有的地方像日冕,有的地方像燃烧的火焰。看上去又很像一座佛像，故此又被人们称为曼德勃罗佛。它和皮亚诺曲线有着相同之处，都是可以无穷尽的迭代下去，无论图形推行的如何细微，总是能在一片无序的的图案中再次找到曼德勃罗佛。

当我们不断的慢慢的将图形放大，就能够看到图形里更多的细节。此时你会发现每一个图形里都包含了无限个更小且完整的曼德勃罗佛。如果我们把图形无限的放大，就得到一个无限循环的曼德勃罗佛。无限大的曼德勃罗佛就像是一个大千世界套着一个大千世界无限循环的图案。学术上这种奇特的图形又被称为曼德勃罗集。而曼德尔布罗根据自己绘制的曼德勃罗集，开创了一门全新的几何学——分形几何学。

并且他给自己绘制的曼德勃罗集插上了一对翅膀，也就是我们常说的数学公式。这套公式非常的简洁，ZN+1=ZN²+C。通过这个公式，我们得知，只要带进的点足够多，无论图案被放大多少倍，都可以不断看到各种各样的分形结构。这些结构与整体不同，但又有极相似的地方，也就是说图案具有无穷尽的自相似性。

从上述的内容里，就不难看出分型几何的研究，自皮亚诺1890年就开始了，为什么直到100年后才形成了一个数学新门派呢？其实这和时代发展是密不可分的。这主要是因为计算机的出现。由于曼德勃罗集复杂的结构，手绘是极其麻，且工作量巨大，个人几乎是无法完成的。必须要借助计算机的运算能力进行计算，然后绘图。所以分形学的产生一定要借助计算机的能量。曼德尔布罗之所以能够开宗立派和计算机是密不可分的。这里顺便提一嘴，曼德尔布罗也是一位计算机高手，曾经在IBM供职。

曼德尔布罗在1975年出版的《大自然的分形几何学》一书中，有这么几句话：“云不只是球体，山不只是圆锥，海岸线不是圆形，树皮不是那么光滑，闪电传播的路径更不是直线。它们是什么呢？它们都是简单而又复杂的‘分形’”。那么曼德尔布罗开创的分形几何学在生活中都有哪些应用呢？我简单地举一个例子，你就明白了。

隐面判别算法

时间来到1980年，时年33岁的美国计算机科学家洛伦·卡彭特，在西雅图波音飞机制造公司做工程师，其工作内容就是完成飞机飞行状态的可视化模拟视频。但是在工作中却遇到了一个难以攻克的难点，那就是在电脑里画出飞机下空连绵的山脉。想要绘制出逼真的山脉,需要高精度地还原岩石效果和断面形态。

虽然很少有曲面,但这在当时可不是一个轻松的差事。更何况卡彭特想做的,是整个飞行区域的地况全貌。而当时的电脑绘图技术并不能为他提供所需的任何帮助。这对于卡彭特来说就是丈二的和尚摸不着头脑。因为没有人告诉卡彭特，山脉到底是什么样的，圆柱体、三角形？没有办法他只能是硬着头皮开始制作。于是卡彭特就在平面上堆上各式各样的三角形。做完后卡彭特自己都不敢相信这是山脉，更像是大小不一的金字塔。

正当卡彭特无计可施之时，在一次去朋友家做客的时候，无意间在朋友的书架上看到了曼德尔布罗撰写的《大自然的分形几何学》一书。卡彭特好奇的翻开书页之后，就被里面的内容给震惊到了，自己无法攻克难题答案就在这本书里。于是卡彭特回去后，就开始利用分形理论设计了一种算法，后来他将这种算法称之为隐面判别算法。

这种算法就是将大三角形，分割成小三角形，以此类推无限的迭代下去。随着计算机的不断演算，神奇的事情发生了。卡彭特真的绘制出了连绵的山脉。 他渲染的效果图得到公司高层的认可，在同年波音公司的年会上，卡彭特将自己的成果展示时，台下所有的人都被震撼住了。因为在这之前，没有人见过这个东西。可以说卡彭特开启了动画史上的一次革命。因为其高超的渲染和构图能力，被皮克斯动画工厂招揽旗下，成为了联合创始人和首席科学家。自此皮克斯凭借超越时代的动画技术，一跃成为了全球最厉害的动画生产公司。

由此可见分形理论是宇宙万物生长的理论，虽然至今科学家都没有找到万物生长的密码？但是人们已经可以利用曼德勃罗集做非常近似的比喻。因为曼德勃罗集似乎与宇宙生长的逻辑是相通的，这个时候你就明白为什么科学家会把曼德勃罗集称为上帝的指纹了吧。现在我们时间拨回到138亿年前，一个密度极大且温度极高的太初状态的奇点爆炸后，产生了现在的宇宙，并经过不断的膨胀与繁衍到达今天的状态。

在这个过程中我们的宇宙开始出现混沌，它不断的生长，出现了无穷无尽的细节。同时又有很强的自相似性。这就和我们人类一样，人与人之间都有相同的器官，可是在相貌上有各不相同，但是在身体的构造上有高度的自相似。比如我们的DNA、大脑、血管等，这些使得我们每个人既相似又不相同。

就拿我们的肺来说，为了能够在有限的体积内充满空气，它遵循了反复的树形分叉机构。这样结构既保证了能够无限细分的特点，又不占据较大的空间。有科学家计算过，如果把肺的表面积平摊开来，可以覆盖一个标准的网球场。分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。这也许就是宇宙生长的奥秘吧。