别再做题了，这些才是你应该学习的有趣几何，超越直觉的高维空间|正多面体|球体|立方体|高维空间

画任意四个点，并将它们连接起来，形成一个四边形，不管这个形状多么奇怪。然后，在刚刚画的所有线段的中点处各画一个点，然后将这些点连接起来，形成另一个四边形。结果显示，无论如何连接这些中点，总会得到一个平行四边形。

原理是，如果连接一个三角形两边的中点，那么这条线段将与第三边平行。

这是一个二维数学问题，可以在一张平面纸上完成。现在，我们进入到三维空间，这仍然是可以理解的，因为我们所处的空间就是三维的。

但是，一旦我们进入到更高的维度，你会发现直觉基本上已经消失，我们不得不依赖数学分析。

为了理解高维空间，我们首先要问的是，有多少种不同类型的三维正多面体？这些三面体需要满足某些条件。

第一个条件是，每一个面都必须是一个正多边形，并且大小相同。所以，立方体就是一个例子，因为每一个面都是一个正方形，边长和角度都相同。
第二个条件是，每个顶点处都必须有相同数量的面相交，对于一个立方体，那就是三个。
然后第三个条件是，形状必须是凸的。

所以，包括立方体在内，有多少种三维对象满足所有这些要求呢？

正四面体算一种，它有四个面，全部都是等边三角形。正八面体也是，它由等边三角形面构成，有四个面在一个角相交。还有正十二面体，它有十二个面，全都是正五边形。还有正二十面体，它有二十个面。

但还有更多的可能吗？因为，在二维空间中，有无数多的正多边形。遗憾的是，在三维空间中就只有这5种正多面体，它们被称为柏拉图立体（正多面体）（platonic solids）。

这不是那么显而易见。例如，我觉得很奇怪，为什么不能有一个以六边形为面的正多面体？

那么我证明只有五种柏拉图立体，但这需要专门写一篇文章。但我们可以对这些形状做更多的分析。看看每个立体的顶点、边和面。

如果用顶点数中减去边数，然后加上面数，在每个情况下，值都是2。

这种顶点数减去边数加上面数的关系被称为欧拉示性数（Euler's characteristic）。

事实证明，对于任何凸多面体，欧拉示性数都是2。

即使对于一个球，就其表面而言，欧拉示性数仍然是2。这是因为球体可以被变形为任何凸多面体，也就是说，这些形状是同胚的（homeomorphic），而欧拉示性数在同胚变换下是保持不变的。

同胚是一种关系，表明两个拓扑空间在拓扑结构上是等价的，即它们可以通过拉伸和压缩，但不剪断和粘连的变形，互相转换。
例如，一个橡皮圈和一个咖啡杯是同胚的，因为你可以通过拉伸和压缩橡皮圈，使其形状看起来像一个咖啡杯，而不需要切割或粘连。

但当你意识到，四维克莱因瓶的欧拉示性数是0时，事情开始变得奇怪，我们稍后讨论。

首先，我们分析一下莫比乌斯带（mobius strip），这是拓扑学领域的一个非常著名的形状。

取一段平面的纸，将其扭转半圈，然后连接两端。当你从中间剪一圈时，仍然会得到一片带子（而不是两片）。

但剪完后的并不是莫比乌斯带，因为它有超过半个扭转。我们还看到，如果从大约1/3的位置开始剪，然后剪两圈，最终会得到两片扣在一起的带子。

但是我们还可以得到更多有趣的结果。比如，将一个带子扭转三个半圈，然后从中间剪开，会发生什么呢？

把它放在平面上，

这是一个一个结（Knot）。如果从某个地方开始，沿着纸条一直走，就会回到原点，所以它是一个整体，而不是像之前那样的环。这实际上是一种特定类型的结，被称为三叶结（trefoil knot）。

这不是像你的鞋带那样的结，它有分开的两端。在我们的例子中，我无法在不剪断它的情况下解开这个结。但如果我能在某个地方剪断它，并在那个交叉点的另一侧重新黏上，它就会完全解开，

这就是所谓的解结。

由于我只需做1次剪断就能把解解开，所以“1”就是三叶结的解结数（unknotting number）。这并不难看出，但也并不明显，例如，下面这个有六个交叉点的双八字结（stevedore knot）的解结数也为1，

而五交叉点的五叶结（cinquefoil knot）的解结数为二。

在维基百科上，我们可以看到几个其他的解结数。

事实证明，确定这些数字在数学上实际上并不容易。例如，我们还没有确定这个结的解结数。

当进入更高的维度时，你会发现有很多未解决的问题。

让我们回到莫比乌斯带，并回答另一个问题。我需要将什么一分为二才能得到两个莫比乌斯带？或者，如果我可以将它们缝合在一起，会得到什么形状？

答案是克莱因瓶，这是一个只存在于四维空间中的形状。这意味着，如果真的连接了两个莫比乌斯带，就像numberphile展示的那样，只会得到克莱因瓶的三维表示，这是我们所能做到的最好的“四维展示”。

要制作真正的克莱因瓶，需要接触到第四个空间维度，那是因为在这里，

它看起来像克莱因瓶在自我交叉，而在三维空间中，它的确是这样。但是，真正的克莱因瓶不会自我交叉，而这只有在它嵌入到更高的维度时才可能。

然而，克莱因瓶仍然是一个二维流形（2D Manifold），意思是在局部，它看起来像一个二维平面，就像地球的表面一样。但它们都在更高的维度中弯曲或嵌入。

然后当你进入相对论的时空和宇宙的曲率时，你就进入了那些三维和四维的流形。

现在让我们来探讨如何思考四个空间维度，首先想象一个生活在平面中的二维物体，它只能沿着这个平坦的表面看东西。

如果一个三维球体进入了那个世界，那么平面生物只会看到这个球体的二维横截面。

如果球体说：“我是一个三维物体”，而平地人说：“证明它，在第三个维度上移动”，他们只会看到那个横截面变得越来越小。我们也是一样的，如果一个四维对象来访我们，情况也是这样。他们可以看到三维世界的一切。但我们只会看到该对象的三维横截面。所以，如果它是一个四维球体，我们会看到一个3D球体突然出现，它会变得越来越大，然后变得越来越小，最终消失。

我们的大脑实际上并不能想象出那个物体是如何通过更高维的空间的。但是，我们仍然可以进行数学分析，即使没有几何直觉来支持它。例如，我们可以回答这个问题：有多少种不同类型的四维正多面（正四胞体）体？

我们之前看到，三维情况下，正多面体只有5种。

但是，我们可以在四维中将这些形状连接到一起，创造出4维的正多面体吗？答案是肯定的。事实上，三维中的每一个多面体都有一个四维的对应物。例如，如果将三个四面体连接在一条“边”上，将得到一个超四面体（hyper tetrahedron）。还有超立方体、超八面体、超十二面体和超二十面体。

但在四维中出现了第六种多面体，这是超八面立方体（octa cube ），它的三维构造是斜十二面体（rhombicDodecahedron），

它不是柏拉图正多面体，因为它的面不规则。但在四维中，令人惊奇的是，所有3个条件都满足。

你可能会认为，随着维数增加，情况会变得更疯狂。但是在五维中，只有三种正多面体。六维中，仍然只有三个；当继续增加维数时，我们还是只找到三种多面体。

这里有另一个例子，我们对四维以下的东西非常了解，但对高维的东西知之甚少，这与亲吻数（kissing numbers）有关。亲吻数用于描述在n维空间中，能够与一个同样大小的球体（或超球体）接触而不重叠的球体（或超球体）的最大数量。这些接触的球被称为"亲吻"（kissing）。

例如，在二维中，亲吻数是6，因为如果有一个圆，最多可以有六个其他的圆以这种方式接触它。这并不难找到，

但在三维中，问题已经变得困难，因为数学家们花了很长一段时间才发现，亲吻数是12。经过更多的努力，我们确定，在四维中，亲吻数是24。

三维亲吻数是12

然而，在五维中，我们并不知道亲吻数是多少。我们只知道，到目前为止，它介于40和44之间。对于六维和七维，我们也只有一系列的区间。但是有趣的是，我们已经知道，在八维中的亲吻数是240。甚至更奇怪的是，我们确定在二十四维中，亲吻数是196,560。当涉及到球体时，八维和二十四维中确实发生了一些奇怪的事情，我会很快谈到这个。

最后，在第四维中，除了平凡结，没有我们所熟悉的结（平凡结实际上并不是真正的结）。原因是，结可以被认为是一个一维的弦嵌入到三维的空间中，它需要第三维度来存在。

你不能在平面的纸上画出一个结，除非有自我交叉。

如果你试图在平面（如一张纸）上画一个结（例如，一个平面上的线条），那么这个线条必须在某处与自己相交，才能形成一个真正的结。这是因为在二维空间中，线条无法在不相交的情况下“越过”自己，这是在三维空间中才能做到的。所以，如果你想在纸上画一个真正的（也就是，三维的）结，线条必须在某处与自己相交，以模拟在三维空间中线条能够“越过”自己的效果。

但是，我可以通过将它通过自己来解开一些东西，我通过剪接动画来演示这一点。

在第四维中，一个结可以通过那个额外的维度通过自身，意味着它并不真正是一个结，它只是一个伪装的环。在数学中，这只是一个平凡结（Unknot）。

然而，在四维中，用二维的切片来制作结是可能的。我不知道那会看起来像什么，但我们需要那两个维度的差异来创建一个真正的结。

所以，使用同样的逻辑，我们可以技术上将一个三维对象打结，但必须通过五个维度来做到这一点。

现在，让我们看看五维中的一些其他有趣的事情——单位球体的体积。半径为1的情况下，对于一维的“球体”，其长度是2；二维的球体（实际上就是半径为一的圆），其面积是π，即3.14。三维的球体（半径为一的球），其体积是4/3π，即4.18。然后，用n维球体的体积公式，

我们可以计算出半径为一的四维球体的体积大约是4.935，五维单位球体的体积是5.264。每增加一个维度，这个数字就会增加。但是，当进入到六维时，半径为一的球体的体积是5.168，终于低于前一个维度。在七维中，它再次下降，然后继续下降。

如果我们绘制出单位球体的体积与所在维度的图表，我们会发现第五维是峰值，最终会趋向于零，但从几何角度来看，为什么会这样呢？

在二维空间中，假设我们将一个圆完美地放在一条边长为1的正方形中。结果发现，圆占据了正方形面积的78.5%。三维空间，将一个球体放入一个边长为1的立方体中，这个球体只占据了52.3%的体积。增加额外的维度降低了这些体积的比例。进入四维，并将一个超球体嵌入一个超立方体中，球体只占据了31%的体积。

但请注意，增加维度时，立方体的体积并未改变。在二维中，正方形的面积是1。在三维中，体积是11。在四维中，它还是1。球体占据的东西的体积始终为1，因此，球体的体积将趋向于零。

另一件值得注意的事情是立方体的对角线。在二维中，对角线的长度是根号2，而圆的直径是1，稍微小一些。在三维中，立方体的对角线变为根号3，而球体的直径还是1。在任何n维中，立方体的对角线长度为根号n。

当增加维度时，尽管单位立方体的边长保持不变，但其对角线长度会增加。因此，随着维度的增加，单位超立方体的对角线长度会无限增大，而单位超球体的直径保持不变，这使得超球体在超立方体中占据的体积越来越小。

现在，我们来看一下五维空间为什么体积最大。这并不是什么特别的现象，只是我们通常选择半径为1的球体作为研究对象。如果我们选择半径为3的球体，那么体积最大的维度就会发生变化。

我们再来看一下球体的排列问题。数学家们对如何使用相同的球体以最优的方式填充空间感到好奇。例如，在二维空间中，我们可以将问题想象成如何在桌子上排列硬币，使得它们尽可能密集。最好的排列方式可以使硬币占据大约91%的空间。

对于三维球体，我们发现最优的排列方式可以占据约74%的空间。

但是，对于大于三维的大多数维度，我们对球体的最佳排列方式知之甚少。然而，当我们从三维空间转向四维空间，再到五维空间等等，球体之间的间隙开始变大。然而，出于某种原因，在八维空间中，新出现的间隙恰好足够容纳一个球体，并且这个球体可以完美地锁定在合适的位置，从而达到最优的排列方式，占据了约25%的八维空间。所以，我们确实知道八维空间的数学，