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指数
如同加法到乘法的扩展一样，如果每次相乘的数字都一样，可以用指数运算来提高效率。指数是我们常用的增长速度最快的运算，我们平常说的几何式增加，说的就是指数。有时说差了几个数量级，这数量级说的也是指数。
指数增长有多可怕，以一张无限大厚度0.1毫米的纸为例，如果能对折103次，那么厚度为0.1*(2^103)毫米。大家对这个厚度可能没啥概念，实际上这将达到惊人的930亿光年，超过目前宇宙的直径，仅仅103次！
在指数运算中，a的n次方， 这个a就叫做底数，重复的次数就叫做指数，他们的结果叫做幂，就是杨幂的那个幂(因为她爸妈和她都姓杨)。
很明显，指数不符合交换律和结合律。
指数运算有个神奇的性质，能把乘除法运算转换成加减法运算，也能把指数运算转换成乘法运算，从而降低计算难度。
下图展示了指数运算测常见性质
对数
对数有个有趣却很重要的结论，即换底公式。它可以把复杂的对数转换成常用对数或者自然对数，从而简化计算。这也再次说明了，在指数或对数中，底数并不重要。
指数运算分为三个部分，底数，指数，幂。指数就是求幂的过程。那如果已知底数和幂，求指数呢？
指数的逆运算就诞生了， 那就是对数运算。不过在对数中，名字有所改变，指数运算中的幂代表未知，在对数中他变成已知的了，就叫真数，而指数则变成未知的，改名叫对数。底数还叫底数。
▲指数对数关系，图片原创
对数其实就是求数量级的意思，对数能把很大的数很快降下来。对数运算很不直观，因此实际运算或者证明的时候，常常把用替换法把对数转换成指数来处理。
我们把指数运算性质反过来，我们能得到对数运算有如下性质。
换底公式有很多种证明方法，下面提供一个有趣的证明方法，同时在证明的过程中，还能得到一些有趣的性质。
对数在我们日常生活中其实是非常常见，比如声音的大小分贝，地震等级，PH值等都是用对数来描述的，为什么是对数呢？因为我们人类的大脑对倍数增长不敏感，但是对于数量级增长非常敏感。比如10个苹果到20个，看起来差别不大，但是10个苹果和100个苹果，我们一眼就能分辨出来。
说个题外话，其实对数发明初衷并不是因为指数运算的逆运算，而是为了把乘法转换为加法，后来欧拉发现了二者的逆运算关系。这跟微积分的历史一样，也是先有微分和积分，后来才发现二者是逆运算。
开方
根据指数运算的要素，已知底数a和幂N求指数n，叫对数运算。那如果已知指数n和幂N，怎么求底数呢？答案就是开方。从这个意义上讲，指数运算/对数运算/开方互为逆运算。不过因为底数并不重要，而且开方的性质跟另外两个差别较大，一般不说开方是他们的逆运算。
同时根据指数的性质，可以把开方看成是指数的分数形式，因此通常把开方归类为指数运算。指数在开方中叫做根指数。因此 指数/对数/根指数 其实本质是一回事。
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