我们都知道算术的四种基本运算：加法、减法、乘法和除法。在学校，我们都被迫一次又一次地机械地加减数字，直到这些运算的原理深深地印在我们的大脑中。
只是在很久以后，我们才发现，在实数上真正只有两种基本运算，即加法和乘法。减法只是加上一个负数，除法只是乘以一个分数。
在这篇文章中，我们将探索算术的第五种运算，它几乎和其他运算一样自然。此外，我们将展示如何使用这种运算来构建一种我称之为平行微积分的全新微积分。
在这种异类微积分中，x^2的平行导数是x/2，而ln(x)的平行导数是
甚至有平行泰勒级数和平行傅里叶级数，平行拉普拉斯变换等！
据我所知，这是一片未被探索的领域，我们即将踏上进入这个未被探索的数学世界的旅程。
平行加法和平行减法
让我们首先定义平行加法和平行减法，并讨论这种运算名称中“平行”一词从何而来。在文献中，这种运算有几种不同的表示法。对于作者来说，选择一个有意义的表示法总是一个艰难的。
对于任何数x和y（在扩展的复平面（extended complex plane）中），我们定义它们的平行和为：
注意：
所以∞是这个运算的恒等元。
如果你不知道什么是扩展的复平面，它基本上是一种将所有的“无穷”折叠成一个点的方式。由于对于复数来说，这就像系紧一个袋子，扩展的复平面在拓扑上被视为一个球体，我们有时称之为黎曼球面（Riemann sphere）。
对于实数，是射影扩展的实数线（projectively extended real line），它被看作是一个圆而不是一个数线，其中两点-∞和∞重合（想象它们被粘在一起）。
因此，讨论无穷远点是有意义的，并且例如在除以零时没有歧义。
解决了这个问题后，我们可以定义平行减法：
从几何上来说，之所以称之为平行加法，是因为它是涉及两条平行线的某种测量的结果。在下面的图解中，你可以几何地看到它的来源。
- 图解解释了平行运算符，其中a Δ b = c。
从图中我们可以看出，∞是正确的恒等元，因为如果我们将b延伸到无穷大，那么它的线将在a处与另一线相交。这些运算有一堆精彩的特性，我们现在将对平行加法陈述，但对平行减法也同样适用。
- x Δ y = y Δ x（交换律）
- x (y Δ z) = xy Δ xz（分配律）
- (x Δ y) Δ z = x Δ (y Δ z)（结合律）
- x Δ ∞ = x（恒等律）
- x Δ 0 = 0
- x Δ x Δ ⋅⋅⋅ Δ x = x / n（n次平行求和等于除以n）。
- (x Δ y)² = x² Δ y² Δ 1/2 xy
此外，我们还发现，它将分母中的和分解为分数的和：
其中一个我觉得它如此自然的原因是因为它回答了一个非常自然的问题。就像我们有幂规则和对数规则给出加法和乘法运算之间的对应或关系一样，这个运算是在以下意义上乘以不同根或不同基对数的结果：
这些事实在某种程度上填补了幂规则工具箱中的空白，出于某种原因，很少有人提出需要这样答案的问题。
通过上面的几何图像，很明显，如果x和y是正实数，那么x Δ y < x且x Δ y < y，但是x Δ y = x - y呢？x/y的比率必须是多少才能使这成立？通过一点代数运算，你可以证明满足这个方程的唯一比率是x/y = φ和x/y = -1/φ，其中φ = (1 + √5)/2是黄金比例。
这个话题的一个有趣的地方是无限平行级数的话题。例如，因为乘法和平行加法满足分配律和结合律，我们可以证明
当|x| > 1。 这个结果当然是1 - 1/x。关于这个我们在讨论平行泰勒级数时再详细说明！
继续探索这个运算的有趣事实（有平行多项式和平行根公式等）但这里的真正目的是将其与相应的微积分连接起来。
平行微积分
让我们首先回顾一下导数的定义。给定一个连续函数f，我们定义其导数为：
如果极限存在的话（即对于所有x，无论我们让h以哪个方向趋近，极限都需要相同）。
平行导数的定义完全类似于上述，除了用Δ替换+，用∇替换-，并且让h趋近于无穷大（这个运算的恒等元）。定义变为：
只要极限存在！
注意，分子和分母都趋向于无穷大，所以是一个“∞/∞”表达式，就像导数是一个“0/0”表达式一样。
首先明显要检查的是平行线性。即，如果h(x) = a f(x) Δ b g(x)，那么
所以平行导数遵循平行加法和平行减法。注意因为它不像我们从d/dx运算符习惯的那样遵循常规的加法和减法。
我们可能想尝试的下一件事是平行微分一些简单的东西，比如f(x) = x^a。通过实际使用定义、一些规则并取极限，得到：
这让我们想起了导数，只不过是除法代替乘法。特别是，我们注意到1/x的平行导数是-1/x²，就像我们习惯的那样。
通过使用定义，我们可以找到两个更有趣和实用的结果：
- 一个令人耳目一新的新结果。
- 一个更有趣的结果。
你可以通过使用洛必达法则自己发现这些。
在对更奇特的函数进行平行微分之前，我们需要一些工具（顺便说一下，工具被称为定理，但我们在这里不会那么正式）。就像我们有微分的规则，如乘积规则、商规则、链式规则等，我们有平行导数的类似规则。
平行乘积规则
事实证明，有一个平行微分的乘积规则。
作为一个例子，我们可以计算x ln(x)的平行导数
最强大的工具之一是平行链式规则：
平行链式规则
这两个规则使我们能够发现商规则，因为：
找到一个公共分母后，我们得到以下结果。
平行商规则
有了这种新的能力，我们现在可以找出如何平行微分函数的和（这听起来比实际难）。
平行和规则
如果想要减法，你只需在表达式中翻转两个平行运算符。注意，这类似于微分一个平行和。
所以在某种意义上，这是一个表达式，说明它们是如何相关的。
平行泰勒级数
此时，你可能想知道平行微分算子的特征函数是什么样的。特别是，我们可能想知道平行微分方程的解：
为了找到这个，我们需要来自分析学的一个基本工具，但在这个案例中是平行分析学，即这个平行世界中泰勒级数的等价物。
然而，为了使计算更容易，我们将我们的理论限制在麦克劳林级数（关于0的泰勒级数）上。
这里没有足够的空间深入探讨理论或讨论收敛问题。相反，我将陈述结果并让有兴趣的读者去探索它。
如果函数f在x=∞时是无限连续可平行微分的，那么我们可以写出其相应的平行麦克劳林级数：
如果f是平行解析的，在0的某个邻域内等于f(x)，我们可以更紧凑地写成：
对于某个收敛集。注意，如果一些评估如f(∞)是无穷大，这也是可以的，因为我们使用的是投影扩展的实数或复数。
事实上，我们现在可以通过重复使用链式法则来验证：
通过对两边进行平行积分（我们还没有真正讨论过），得到结果：
那么特征函数呢？这样的函数的规范麦克劳林级数必须如下所示：
事实上，我们可以通过使用平行链式法则验证e^(-1/x)的平行导数是其自身。
通过使用这个理论，很容易找到正弦和余弦的类比。事实证明，平行加法也有一个欧拉恒等式，而且很容易验证以下内容。
这些函数在我们的运算下的行为很像正弦和余弦。它们有一个4的平行导数周期，就像正弦和余弦，一个的平行导数给出另一个的正负。它们是1/(2π)周期的，甚至可以使用这些作为基函数和平行积分来发展平行傅里叶理论，我们将在一会儿讨论这个。
平行积分
我们将定义一个函数f的平行原函数或不定积分简单地为一个函数F = I，使得F的平行导数是f。
所以例如，如果f(x)=x，那么
对于某个常数C。注意，现在的符号使用Δ作为上标而不是∇。积分也像其微分对应物一样是平行线性的。
我们有一个平行积分分部法则！
平行分部积分
以下是分部积分的类似物：
让我们尝试使用这个公式来找到函数f(x) = x e^(-1/x)的原函数。
现在，通过平行乘积法则和平行加法的分配律的使用，很容易检查这个结果。
结论
平行微积分在数学中有其位置！它是美丽的，我们只是触及了它的表面。我们现在没有时间进一步探索它，但我鼓励你去探索像平行微分方程、平行傅立叶级数、平行积分变换等东西。
我希望你们在评论中有一些后续问题，这些问题能够引发一些有趣的讨论。也许甚至对读者提出挑战，比如：f(x)=sin(x)2的平行导数是什么，或者像高斯积分挑战那样的平行积分。
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