用相似性匹配的方法，探究滚动轴承剩余寿命的预测的研究|剩余寿命|样本|模态|滚动轴承|相似性|算法|脉冲

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文| 文渊

编辑|文渊

<—前言—>

在寿命预测中，要提取轴承信号的退化特征，因为原始振动信号无法直接反映出退化趋势。另外，相似性方法是一种数据驱动方法，其预测精度依赖于样本数量。

获得轴承全生命周期实验信号是困难的，为了解决样本数量不足的问题，可以通过仿真信号构建一个字典集，并验证其有效性。最后，可以通过查询字典集来预测测试轴承的剩余使用寿命。

<—轴承退化特征提取—>

由于轴承振动信号中包含退化信息、啮合冲击和噪声，许多传统的健康指标会出现较大的随机波动。这种随机扰动可能会对趋势分析造成影响。因此，本文提出了一种预处理方法，结合高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）和简森-雷尼散度（Jensen-Renyi Divergence，JRD）来处理轴承数据。

GMM是一种参数模型，可用于描述从轴承振动信号中提取的多维特征向量的概率分布。设定轴承数据为由N个观测值组成的d维特征集X = (x1, x2, ..., xN)，GMM可以用以下方程来定义：

在上述公式中，p(x|λ)表示高斯混合模型，μi和σi分别表示均值和协方差，wi(1≤i≤M)表示轴承信号特征的权重。而z(x|μi,σi)(1≤i≤M)表示高斯密度分量。每个分量密度z(x|μi,σi)可以由以下公式计算得出：

因此，高斯混合模型（GMM）是由均值μi、协方差σi和混权重wi组成的完整参数集，即λ=(wi,μi,σi)。通过最大化GMM的似然函数，可以使用期望最大化（Expectation Maximization，EM）算法来估计得到参数τ。

需要注意的是，在计算公式（3）之前，需要预先定义混合组分的数量。为此，可以使用贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion，BIC）的公式来指导选择合适的混合组分数量：

在上述公式中，m表示估计的参数数目。选择GMM模型混合组分的最佳数量是通过寻找提供最低BIC值的方式来确定的。

在概率分布的基础上，可以进一步计算散度。Renyi熵是Shannon熵的一种扩展形式，具体定义如下：

在上述公式中，Hα表示离散概率分布f=(f1, f2, ..., fn)时阶数为α时的Renyi熵。当α趋近于1时，Renyi熵也被称为Shannon熵。指数α被称为熵指数，它决定了Hα对于概率分布f的形状变化的响应性。JRD的计算公式如下：

在上述公式中，w1，w2，...，wn表示对应概率分布（Probability Distribution，PD）的权重。通过利用JRD的数学特性，可以提取轴承的健康指标。当估计了轴承在其全生命周期中对应的PDs后，再计算JRD，就可以评估轴承的退化程度。

当轴承处于健康状态时，JRD测量值接近于零。一旦轴承发生早期退化，JRD测量值将增加。

为了提取轴承的健康指标，可以按照以下步骤进行操作：

1. 提取轴承传统时域和频域的各种健康指标。

2. 从轴承健康状态下的信号样本中提取特征向量，并使用这些特征向量对GMM模型进行训练。通过计算最小的贝叶斯信息准则值（BIC），选择最优的GMM模型。

3. 将测试特征向量提供给最优的GMM模型，使用公式计算各个GMM分量的后验概率。

4. 使用公式计算与测试特征向量相关的GMM-PDs的JRD值。

<—相似性方法—>

相似性方法是一种数据驱动的方法，其具体步骤包括建立一个字典集，并基于测试数据对字典集进行查询。

本文提出了一种通过构建仿真信号来建立字典集的方法。轴承的全生命周期信号可以分为健康部分和退化部分。在健康状态下，轴承信号主要由环境噪声组成，没有冲击信号。而在故障阶段，轴承往往会伴随着故障冲击，随着使用寿命的增长，故障冲击的强度也会增大。这些冲击是以故障频率为基础的周期性脉冲，而脉冲的幅值在一定区间内会随机波动。

轴承的脉冲响应信号可以被表示为：

在式中，I代表脉冲的数量；J代表系统的模态数量；Aij代表第i个脉冲对应第j个系统频率的幅值，其具体数值位于区间[0, 0.5]中的随机值；T表示脉冲的理论周期；τi表示理论周期与实际脉冲时间的差异；εj表示不同模态下对应的阻尼比；fdj表示不同模态下对应的系统频率。

在仿真过程中，一些关键参数被设置如下：转速为2000转/分钟；轴承故障频率为236.4 Hz；模态频率分量为2000 Hz和4000 Hz；不同模态下的阻尼比为0.1和0.05；采样率为3 kHz；每次采样长度为1秒。

脉冲仿真信号的示例如图1所示。

退化仿真信号由三个部分组成：振动响应信号、环境噪声和系统噪声。环境噪声是机械设备安装场所固有的噪声干扰，其变化较小。系统噪声是一种振动干扰，可能来自设备内部，并随着轴承损坏程度的加重而增加。由于轴承在退化过程中呈现非线性状态，因此在仿真信号构建中采用双指数函数来模拟退化趋势。

轴承的全寿命仿真信号可以表示为：

在式中，a1和a2是反映振动幅值变化的参数；b1和b2是反映轴承退化速率的参数；η1和η2分别表示环境噪声和系统噪声，在参考轴承健康状态下，它们的信噪比设置为-25 dB；λ表示系统噪声随着损坏程度增加而增加的速率。

健康状态的仿真信号主要由信噪比较小的高斯白噪声组成，其数学特征表现为噪声的均值和均方根值较小。将健康状态和退化状态的模拟信号组合起来，即构建了轴承的全寿命信号。具体的仿真结果如图2所示。

通过对轴承全寿命周期信号进行特征提取并求解退化起始点，可以得到轴承的退化曲线构建的字典集。求解退化起始点的过程可以有效地降低字典集向量的长度和寿命预测的计算量，同时减少轴承健康状态对寿命预测结果的干扰。这样做有助于提高寿命预测的准确性和可靠性。

传统的相似性预测方法通常是截取当前时间点之前的测试数据，并将其与字典集中的退化样本数据进行比较。通过计算欧式距离来确定数据之间的相似性程度，其中欧式距离与相似性程度成反比。欧式距离的计算公式如下所示：

首先，在进行数据预处理之前，我们需要明确一些术语的定义。在公式中，a和b分别代表截取的测试数据和样本数据的向量。通过对这两个向量进行向量差并求取二范数，可以获得它们在空间中的距离，也被称为距离范数。然而，传统的相似性方法存在一些局限性，其中向量中的元素权重相同，因此每个元素对相似性判定提供相等的影响。

在实际的寿命预测过程中，随着时间点越接近当前时刻，元素对趋势性分析的重要性越高。因此，本文提出了一种改进的相似性预测方法，该方法基于高斯拟合和参数匹配。现在，让我们继续对测试数据和样本数据进行数据预处理：

假设实验信号的拟合参数为 (a1, b1, c1)，样本信号的拟合参数为 (a2, b2, c2)。

为了衡量函数之间的距离，我们可以采用积分求解的方式。取任意长度区间，在数学坐标系下对两个函数模型进行积分，即可得到它们之间的相似性度量。

传统的相似性度量方法通常使用向量的二范数，即基于数据遍历法计算。然而，这种方法在计算过程中受到了前期波动对退化趋势判定的影响。

为了降低计算过程中轴承数据局部波动带来的相似性度量误差，我们可以采用优化方法进行优化。

最终，S表示相似性度量的结果。具体的推导结果可以根据具体的公式进行计算。

经过对公式（11）的求解与化简，我们得到如下结果：

上述结果直接反映了测试数据与样本数据退化趋势的相似性。最后，我们根据各个样本的相似性赋予权重，并对寿命进行加权求和，从而得出最终的预测寿命。

针对传统相似性方法中忽略信号时效性以及预测精度低的问题，本文提出了一种基于高斯拟合和参数相似性改进的相似性方法。具体算法如下：

1.构造仿真信号字典集：通过构建指数衰减型脉冲信号并使用双指数函数进行幅值调制，最后加入噪声，构建仿真信号字典集。

2.使用高斯混合模型（GMM）计算轴承信号的概率密度分布，并基于分布结果计算轴承信号的退化（JRD）。

3.计算轴承全生命周期信号的退化起始点，并提取其退化部分，建立查询字典集。

4. 将测试信号与查询字典集内的退化信号进行高斯拟合，利用公式（12）计算相似性。

5.基于相似性结果赋予对应的权重，并将其与样本信号的真实剩余寿命加权求和，计算测试轴承的剩余使用寿命。

具体的算法流程图如图3所示。

<—结语—>

通过对轴承的仿真和实验故障信号进行分析，我们可以得出以下主要结论，证明使用改进的相似性方法进行轴承剩余寿命预测是可行的：

1. 我们提出了一种将高斯混合模型（GMM）和退化分量提取（JRD）相结合的特征提取方法，可以有效地从轴承振动信号中提取退化分量。所提出的健康指标对轴承早期退化较为敏感，而在轴承故障后期，退化趋势的随机波动较小。

2.通过使用脉冲函数和双指数函数构建了轴承全生命周期的仿真信号，克服了由于小样本数据导致预测精度较低的问题。

3.通过将一次函数拟合与滑动窗口算法相结合，确定每组轴承退化数据的开始退化点，剔除了大量不包含退化信息的健康阶段数据，从而提高了相似性预测结果的可信度，并减少了冗余的相似性计算量。

4.通过对仿真和实验结果的分析，我们可以得出结论：所提出的高斯函数拟合与参数相似性结合的方法可以有效提高相似性度量的准确性，明显提升了寿命预测的精度。

<—参考文献—>

[1]崔林，王X，王宏，等。基于仿真性能退化字典的滚动轴承剩余寿命预测[J]。机械与机械理论，2020年，153:103967。
[2]引用该报告.长期记忆复发网络法评价轴承性能评价[J].工业中的计算机。2019.106:14-29
[3]王东，徐国亮。轴承退化信号的统计建模[J]IEEE可靠性学报-ty，2017,66(4):1331-1344
[4]王建民，王建民，王建民。等。基于随机动力学模型的齿轮健康预测[J]。机械系统与信号处理。201125(2):537-548