动中觅静究其理
2024年成都中考数学第25题
在2024年各地中考数学卷的二次函数压轴题中，含参与动点几乎是一种伴生现象，对于含参二次函数，多数情况下困难在于作图，若不能作出函数图象，或者想像不出对应的函数图象，这种综合题对于多数中等生几乎就无解了。
一般情况下，这一类问题的解决，需要学生首先理解无参二次函数的图象性质，然后引入新的参数后，思考参数会引发图象哪些变化，并归纳总结出若干经验，再利用这些经验去解决新的含参问题。
2024年成都中考数学第25题，是典型的含参动点二次函数综合题，难点虽然在第3问，但第2问也很有意思，解法众多，特别是用反演原理的独特解法，可极大简化计算，是一道优秀的压轴题。
题目
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L:y=ax²-2ax-3a(a>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点.
(1)求线段AB的长；
(2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
(3)延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将△ABD沿DE方向平移得到△A'B'E，将抛物线L平移得到抛物线L'，使得点A'，B'都落在抛物线L'上，试判断抛物线L‘与L是否交于某个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
解析：
01
(1)将解析式写成交点式：y=a(x+1)(x-3)，便可得到A(-1,0)，B(3,0)，于是AB=4；
02
(2)作点B关于点A的对称点M，连接MC，过点A作AD∥MC，AD与抛物线交于点D，如下图：
这是如何想到的？原理是等高转等距.
假设我们找到了合适的点D，使△ACD和三角形ABD面积相等，则过点B向AD作高，再过点C向AD作高，它们应该是等高，过点B作的那条平行线(虚线)与AD，MC正好构成一组平行线，它们间的距离相等，不妨过点A作AD垂线，则AF，AG可作为△ABD和△ACD的高，如下图：
则我们容易证明△ABF≌△AMG，于是自然也能证明AB=AM，所以D点若存在，则上图一定也存在，那么我们可以反演作图，先确定点M，再确定点D；
当a=1时，由M(-5,0)，C(1,-4)，先求出MC解析式为y=-2/3x-10/3，不妨设AD为y=-2/3x+b，代入点A坐标，求出AD解析式为y=-2/3x-2/3，再与抛物线联立得方程：-2/3x-2/3=x²-2x-3，解得x1=-1，x2=7/3，于是点D(7/3,-20/9)；
接下来的求解就很简单了，过点D向x轴作垂线DK，如下图：
根据D(7/3,-20/9)和B(3,0)，分别求出BK=2/3，DK=20/9，于是tan∠ABD=10/3；
03
(3)先按要求作草图如下：
按题目叙述条件的顺序，我们先解读AD=DE，可设D(t,at²-2at-3a)，过点D作DF⊥x轴，则点F(t,0)，在等腰△ADE中，可知点F是AE中点，因此利用中点公式可写出点E坐标为(2t+1,0)；
请注意，此时我们已经表示出了C、D、E点坐标，显然它们在一条直线上，不妨利用C、E写出直线解析式，然后再代入点D坐标，以期得到参数t的关系式，推导如下：
这个推导结果说明，点D的横坐标是定值，即点D在直线x=2上；
接着我们来解读条件“沿DE方向平移”，观察D、E两点坐标，D(2,-3a)，E(5,0)，横坐标增加了3，纵坐标增加了3a；
△ABD平移至△A'B'E，我们需要关注的是抛物线L是否也沿DE平移了相同距离，这就是题目中“使得点A'，B'都落在抛物线L'上”的意义，它明白无误地告诉我们，原抛物线L的顶点C(1,-4a)平移到新顶点C'(4,-a)，于是抛物线L'解析式为y=a(x-4)²-a，它与x轴有两个交点分别是(3,0)和(5,0)，所以抛物线L与抛物线L'有一个公共点(3,0)，即点B.
解题思考
在解决本题第2问的时候，作图仍然是难点，按张钦博士示范课中的反演作图法去构图，基本可以做到“秒杀”，比原参考答案的方法要简单许多，尤其是第3问，理解平移是关键，平移抛物线只需要关注它的顶点即可，本质上抛物线的平移等价于顶点的平移，因为在平移过程中抛物线的形状(开口方向和开口大小)不变。
在实际解题中，我发现不少学生采用的方法是将抛物线L和抛物线L'的解析式联立起来，从而得到一个高次方程，然后无路可走，甚至个别学生企图用解高次方程的方法，且不说这是超标内容，即便用起来，计算量也很大，并不是本题推荐解法，个人也不推荐。
而利用数形结合，从函数本身的性质出发去理解图形，效果会好得多，这也进一步说明我们在函数教学过程中，需要引导学生理解函数本质，即变量间的关系。
在审题过程中，按题目叙述顺序去逐一解读，有利于形成正确的解题逻辑，当然这也与命题要求一致，当发现点D横坐标为定值时，本小题其实大部分已经出来了。这种解法正是建立在对动点类问题原理的理解之上，通常情况下，动点问题，我们需要弄清楚谁是动点，怎么动，带动谁，而在这个过程中，一定存在不变的量，找准这个量，解起来就容易多了。
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