动中觅静究其理

2024年成都中考数学第25题

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在2024年各地中考数学卷的二次函数压轴题中,含参与动点几乎是一种伴生现象,对于含参二次函数,多数情况下困难在于作图,若不能作出函数图象,或者想像不出对应的函数图象,这种综合题对于多数中等生几乎就无解了。

一般情况下,这一类问题的解决,需要学生首先理解无参二次函数的图象性质,然后引入新的参数后,思考参数会引发图象哪些变化,并归纳总结出若干经验,再利用这些经验去解决新的含参问题。

2024年成都中考数学第25题,是典型的含参动点二次函数综合题,难点虽然在第3问,但第2问也很有意思,解法众多,特别是用反演原理的独特解法,可极大简化计算,是一道优秀的压轴题。

题目

如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L:y=ax²-2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),其顶点为C,D是抛物线第四象限上一点.

(1)求线段AB的长;

(2)当a=1时,若△ACD的面积与△ABD的面积相等,求tan∠ABD的值;

(3)延长CD交x轴于点E,当AD=DE时,将△ABD沿DE方向平移得到△A'B'E,将抛物线L平移得到抛物线L',使得点A',B'都落在抛物线L'上,试判断抛物线L‘与L是否交于某个定点,若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.

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解析:

01

(1)将解析式写成交点式:y=a(x+1)(x-3),便可得到A(-1,0),B(3,0),于是AB=4;

02

(2)作点B关于点A的对称点M,连接MC,过点A作AD∥MC,AD与抛物线交于点D,如下图:

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这是如何想到的?原理是等高转等距.

假设我们找到了合适的点D,使△ACD和三角形ABD面积相等,则过点B向AD作高,再过点C向AD作高,它们应该是等高,过点B作的那条平行线(虚线)与AD,MC正好构成一组平行线,它们间的距离相等,不妨过点A作AD垂线,则AF,AG可作为△ABD和△ACD的高,如下图:

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则我们容易证明△ABF≌△AMG,于是自然也能证明AB=AM,所以D点若存在,则上图一定也存在,那么我们可以反演作图,先确定点M,再确定点D;

当a=1时,由M(-5,0),C(1,-4),先求出MC解析式为y=-2/3x-10/3,不妨设AD为y=-2/3x+b,代入点A坐标,求出AD解析式为y=-2/3x-2/3,再与抛物线联立得方程:-2/3x-2/3=x²-2x-3,解得x1=-1,x2=7/3,于是点D(7/3,-20/9);

接下来的求解就很简单了,过点D向x轴作垂线DK,如下图:

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根据D(7/3,-20/9)和B(3,0),分别求出BK=2/3,DK=20/9,于是tan∠ABD=10/3;

03

(3)先按要求作草图如下:

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按题目叙述条件的顺序,我们先解读AD=DE,可设D(t,at²-2at-3a),过点D作DF⊥x轴,则点F(t,0),在等腰△ADE中,可知点F是AE中点,因此利用中点公式可写出点E坐标为(2t+1,0);

请注意,此时我们已经表示出了C、D、E点坐标,显然它们在一条直线上,不妨利用C、E写出直线解析式,然后再代入点D坐标,以期得到参数t的关系式,推导如下:

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这个推导结果说明,点D的横坐标是定值,即点D在直线x=2上;

接着我们来解读条件“沿DE方向平移”,观察D、E两点坐标,D(2,-3a),E(5,0),横坐标增加了3,纵坐标增加了3a;

△ABD平移至△A'B'E,我们需要关注的是抛物线L是否也沿DE平移了相同距离,这就是题目中“使得点A',B'都落在抛物线L'上”的意义,它明白无误地告诉我们,原抛物线L的顶点C(1,-4a)平移到新顶点C'(4,-a),于是抛物线L'解析式为y=a(x-4)²-a,它与x轴有两个交点分别是(3,0)和(5,0),所以抛物线L与抛物线L'有一个公共点(3,0),即点B.

解题思考

在解决本题第2问的时候,作图仍然是难点,按张钦博士示范课中的反演作图法去构图,基本可以做到“秒杀”,比原参考答案的方法要简单许多,尤其是第3问,理解平移是关键,平移抛物线只需要关注它的顶点即可,本质上抛物线的平移等价于顶点的平移,因为在平移过程中抛物线的形状(开口方向和开口大小)不变。

在实际解题中,我发现不少学生采用的方法是将抛物线L和抛物线L'的解析式联立起来,从而得到一个高次方程,然后无路可走,甚至个别学生企图用解高次方程的方法,且不说这是超标内容,即便用起来,计算量也很大,并不是本题推荐解法,个人也不推荐。

而利用数形结合,从函数本身的性质出发去理解图形,效果会好得多,这也进一步说明我们在函数教学过程中,需要引导学生理解函数本质,即变量间的关系。

在审题过程中,按题目叙述顺序去逐一解读,有利于形成正确的解题逻辑,当然这也与命题要求一致,当发现点D横坐标为定值时,本小题其实大部分已经出来了。这种解法正是建立在对动点类问题原理的理解之上,通常情况下,动点问题,我们需要弄清楚谁是动点,怎么动,带动谁,而在这个过程中,一定存在不变的量,找准这个量,解起来就容易多了。