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数学悖论系列之一（画家悖论）

数学悖论和谬误长期以来一直引起数学家的兴趣。数学悖论是一种出乎意料的数学结论，即使推理中的每一步都是有效的，也很难被接受。另一方面，数学谬误是不正确的推理导致明显错误或荒谬的意外结果的例子。

数学悖论是任何看似自相矛盾（或相互矛盾）但同时又完全合乎逻辑的陈述（或一组陈述）。悖论（至少是数学悖论）只是一个看似正确的错误陈述，因为缺乏基本的逻辑或信息或将逻辑应用于不适用的情况。数学中有很多悖论。

在经典逻辑中，逻辑悖论是不允许的；但在准一致性逻辑中，逻辑悖论是允许的。

悖论有几种类型，有一种悖论我们可以称之为现象学悖论，即数学结果与数学应该建模的基本真理相矛盾；然后是逻辑悖论，即一个可以证明既正确又错误的陈述。

在经典逻辑中（其中每个陈述要么是真的，要么是假的，但不是两者兼而有之），可以很容易地证明，一个逻辑矛盾需要所有其他陈述。因此，如果逻辑矛盾存在于逻辑系统中，那么这个系统就毫无用处。因此，悖论必须被消除。现象学悖论通过微调公理以使悖论结果不再随之而来，或者接受结果为真并宣布我们的直觉已经得到完善，从而被驱逐。逻辑悖论通常通过仔细微调公理来解决。

“悖论”这个词没有数学定义，在字典中找到的定义与语句的感知方式有关。但从未见过一个数学定义取决于主观感知的方式。

大多数数学家主要对区分真假感兴趣，而不关心没有真值的事物。当然，很多事情很难区分；可以称这些悖论为悖论，也可以称它们为困难或令人困惑，这只是语义。

然而，在集合论中，悖论非常重要。它们仍然没有一个实际的严格定义，但这也是它们有趣的部分原因。集合论者研究给定某些公理的理论中哪些陈述，哪些不存在于理论中。一个自相矛盾的陈述只是那种棘手的、难以捉摸的东西，使这种工作变得有趣。

悖论是经典演绎逻辑的对立面。根据任何一个矛盾的爆炸原理，你既可以证明又可以反驳一切。

因此，当数学中出现悖论时，它们会受到极其严肃的对待；数学的基础已经过修订，以消除已知的基础。但现代集合论需要一个更复杂的“构造”概念来避免像罗素悖论这样的事情，以及各种现代形式的逻辑，这些逻辑必须竭尽全力避免说谎者悖论的更有问题的变体。

逻辑是对真理以及我们如何通过数学推导获得普遍真理的研究。它是数学最基本的语言，也是证明的基本原则。

笔者参考了大量英文素材，计划陆续完成《数学悖论系列》文章的撰写，今天发表的是第一篇。

一、画家悖论

画家的悖论（又名加布里埃尔的号角——见图1）：喇叭可以容纳有限体积的油漆，但其内表面积是无限的，因此不能涂漆。乍一看，这似乎有悖常理。

图 1

其实，任何有限体积都由无限数量的面积层组成，这相当于无限的“表面积”。这可以用一个“数学”冰块的例子来说明，我们“假说”它融化成无限表面积的无限薄膜。大家可能在遇到微积分之前很难理解这一点，微积分通常用于建立画家的悖论。

加布里埃尔的号角是一个几何图形（形式上是一个截断的锐性双曲固体），体积有限，表面积无限。因此，虽然它可以用有限量的油漆填充，但需要无限量的油漆来覆盖其表面。对此的分析和证明通常是用微积分完成的，但不一定是。也可将表面积和体积的定义设置为无穷级数，可以将问题简化为确定级数是否收敛——这可以通过对其成员进行代数变换来完成。

这个明显悖论的解决方式是它只发生在无限扩展对象和无限可扩展和可分割对象的非物理纯数学抽象中。由于在现实世界中，喇叭和油漆都必须由有限大小的原子制成，因此喇叭内部开口的大小和油漆层的厚度都有下限，这使得两者都是有限的。

从数学上讲，这个物体很有趣，因为它可以包含有限的体积，但它的表面积是无限的。也就是说，你可以用有限量的颜料填充喇叭，但它所包含的整个颜料不足以涂上该物体的内表面。

事实上，从理论数学意义上讲，有限量的油漆可以覆盖无限的区域，前提是涂层的厚度“足够快”地变得很小，以补偿不断扩大的区域。在这种情况下，随着喇叭变窄，内表面涂层也被迫发生。然而，要在喇叭的外表面涂上恒定厚度的油漆，无论多么薄，都需要无限量的油漆。

下面就用微积分方法来解释这个“悖论”。在这里，喇叭的内表面与其外表面是相等的。

如果将 y=1/x 的图像从 1 绘制到无穷大，会发现该图像虽然不会与 x 轴相交，但会无限逼近 x 轴(见图2)。现在，将此图像以 x 轴作为旋转轴旋转一周后得到一个无穷无尽的长角形固体物体（见图3)——一个数学对象，即“加布里埃尔的号角”。