热门 | 最优投资决策：理论、模型和算法|方差|最优化|最优投资决策|算法

由上海交通大学叶中行教授、上海对外经贸大学赵霞教授撰写的《最优投资决策：理论、模型和算法》（北京：科学出版社，2024. 6）一书是一本研究型的教学用书，内容丰富，特色鲜明，既适合高等院校数学、统计学、经济学（含金融数学）等专业的本科生和研究生作为教材使用，也可以作为金融实务人员的参考用书。

《最优投资决策：理论、模型和算法》聚焦最优投资决策，也称现代投资学，而现代投资学是数理金融学的重要组成部分。数理金融学是利用数学工具研究金融问题，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融活动的规律并指导金融实务，其中一个重要支柱就是最优投资决策的理论、模型、算法和应用，它也是目前实务界热门的量化投资的理论和计算方法的基础。

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本书全面介绍、深入剖析马科维茨最优资产组合模型，并进行多方位、多层次的推广，介绍各种实用快速算法，极大地丰富了现代投资理论、模型和方法，使之更合理并更符合实际的市场环境，既方便学生学习理解，又适合实务工作者参考应用。

本书的最优资产组合问题是在金融范畴内、概率统计的框架和方法论下讨论的，因此第1章简要介绍本书涉及的概率统计的一些基础知识，以及资本资产定价和套利定价模型。从第2章开始由浅入深地展开本书的主要内容，首先从介绍马科维茨经典的均值–方差最优资产组合理论开始。

马科维茨的经典均值–方差模型分别用资产组合收益率的数学期望和方差（或标准差）来刻画它的收益和风险，在资产组合收益水平一定的条件下使其风险最小化，此为一个二次规划问题。基于此规划问题的解析解，可以得到最优资产组合上的投资有效前沿，其上的组合定义了“均值–方差” 有效的资产组合，对确定的方差水平具有最大期望收益率，或对确定的期望收益率水平有最小的方差。由经典的马科维茨均值-方差模型还推导出了一个十分有意义的两基金分离定理。如果组合中增加了无风险资产，可以导出资本资产定价公式，这也佐证了马科维茨经典模型的合理性。我们在第2章将详细介绍马科维茨的基本模型及一些简单变形，并且深究一些细节。

有些投资者可能对组合收益能否跑赢某个基准，比如无风险利率、某个证券指数、某些经济指标（如通货膨胀率）等感兴趣，这就需要研究与指数相关的优化模型，如基于资本资产定价或因子模型的组合优化，还有指数追踪模型等，前两个模型还可以达到降维的目的，我们将在第3 章讨论这些模型。

马科维茨均值-方差模型简单易解，结果完美，有很多优点，但也有局限性。他的模型有一些技术性的约束，比如模型求解过程中需要对协方差矩阵求逆，因此要求其非奇异，但当证券数量很多时很难满足。此外，在实际计算时常常用历史样本数据来估计均值、方差和协方差，当资产数大于样本数时，估计得到的协方差矩阵往往是奇异的。还有当市场上可交易的证券中包括基金时，基金本身就是基础证券的线性组合，这就导致协方差矩阵奇异化。处理奇异协方差矩阵的情形有多种办法。我们在第4 章介绍这些方法。

马科维茨均值–方差模型允许卖空，并假设无交易成本，对这些约束条件的放松或改变，使得模型得以扩展。比如，允许借贷且对借贷的数量或比例有限制时，包括不允许卖空，即增加了不等式约束，模型可能没有解析解，而要借助于数值解。一些基金管理公司（如养老基金、慈善基金、对冲基金等）对未来的现金流有流动性约束，证券交易市场对客户持股的比例数量有上限约束，等等，对分散性的约束导出最大熵资产组合。我们在第5章介绍各种可能的约束和对组合优化带来的困难，并从几何的视角帮助读者理解最优化的数学意义。

马科维茨均值–方差模型的一个最重要的假设是资产收益服从联合正态分布，此时将方差（或标准差）作为风险度量是合理的，但是实际市场上风险资产（主要指证券）收益的分布通常是尖峰厚尾，因此不满足正态假设。优化模型会有什么变化，这时仅仅考虑前二阶矩就不够了，我们将在第6 章讨论这些问题，探讨有高阶矩约束的优化模型稳定分布下的优化模型等。

关于风险度量的讨论将在第7章展开，我们将介绍绝对离差、下半方差、VaR、单位风险下的回报（如夏普比）和其他各种比率（如Omega 比）等风险度量。一个合理的风险度量需要满足四条公理化性质（单调性、平移不变性、正齐性和次可加性），人们构造出CVaR 和最坏CVaR 等一致风险度量，还有比一致风险度量稍弱的凸风险度量。关于风险度量研究的进展导出了新的收益–风险优化模型。

马科维茨均值–方差模型及其推广模型都是以币值（收益率本质上也是币值）来衡量投资效益，但是人们对于财富的满意程度并非和财富的币值呈线性关系，而是和投资者对财富效用的态度有关，因此期望效用最大化是比均值–方差分析更一般的投资决策的目标，而均值–方差对应的是二次效用，是一个特例。我们在第8 章讨论效用理论和效用函数，分析期望效用最大化和高阶近似，再次导出包含高阶矩的组合优化模型。本章还讨论了借助信息论方法的一个有趣的模型——对数增长率优化模型，也称log-最优组合。

马科维茨均值–方差经典模型是单周期的，通常投资者是多周期连续投资的，例如养老基金、慈善基金、信托基金等对未来固定时间点都有支付的流动性要求，因此将其推广到多周期是很自然的，我们在第9章讨论动态优化模型。但是方差作为风险度量却不适合跨周期调整，而换成二次效用就解决了这个问题。多周期动态最优化的另一个模型就是多周期log-最优化模型，我们讨论了在独立同分布市场、平稳市场和一般市场条件下log-最优组合的极限性质，还讨论了无市场分布的先验信息时的通用log-最优组合方法的构造方法和最优性。

由于实际利率是随机的，因此投资债券也是有风险的，我们在第10章将讨论利息理论、债券的风险管理和债券组合优化，特别地将介绍可违约债券定价，从而引入投资保险（比如银行的存款保险）的议题，这是值得研究的问题。

实务界更关心的是如何快速精准地计算出在各种约束条件下的最优资产组合，因此我们在第11 章介绍最优资产组合的计算方法。模型中的各种参数都需要基于观测到的数据进行估计，其中最重要的参数是协方差矩阵，因此我们将专门讨论协方差估计的各种方法。进而，简要综述约束优化问题的数值解法，并特别介绍了对于较复杂的有约束的优化问题的单点搜索和群体搜索法。

综上，本书内容十分丰富，具有内容的前沿性、结构的完整性、理论的严密性和算法的实用性等特点，本书介绍的各种模型中有相当部分是取自作者及与合作者的工作，具有较高的学术价值和可扩展性，对提高学生的研究水平和能力有很好的指导作用，无论对初学的本科生和研究生，还是对资深的实务界人士都有指导意义和参考价值。特别是书中提供了很多可以继续深入研讨的内容，本书每一章中都有不少附注，这些附注的内容，或是正文内容的补充，或是提出未解决的问题，是研究生学位论文选题的极富指导性的素材，这是本书的突出特色之一。本书按章列出参考文献，便于读者查阅。

当然需要指出的是，还有一些问题本书没有涉及，比如数据的获取、异常点的处理、参数估计的可靠性分析、误差分析和统计检验及最优资产组合模型在风险管理、经济流动性管理方面的应用等，值得读者去深入探究。近年来，最优投资决策的思想和方法在绿色金融、最优成本控制等方面也取得有意义的成果，ChatGPT 的出现给金融学包括最优投资决策的研究带来了新的挑战性问题，值得关注和研究。本书可以作为“现代投资学” 课程的教材，也可以作为“数理金融”、“金融数学” 和“金融工程” 等相关课程的教学内容。

本书由叶中行教授和赵霞教授联合执笔完成。本书的出版得到上海对外经贸大学“研究生教材建设项目”、上海高校学位点培优培育专项计划（2021—2025年）“统计学一级学科博士点培育专项计划”的支持。本书有部分数值仿真实例使用了最新的市场数据，并由研究生参与完成。

叶中行赵霞

2023 年12 月

本文摘编自《最优投资决策：理论、模型和算法》（叶中行，赵霞著。北京：科学出版社，2024. 6）一书“前言”，有删减修改，标题为编者所加。

（运筹与管理科学丛书；39）

ISBN 978-7-03-077895-6

责任编辑：王丽平范培培

本书聚焦数理金融领域中最优投资决策的理论、模型和算法，在详细介绍马科维茨均值-方差最优资产组合理论模型的基础上，对该模型的约束条件、协方差矩阵、风险度量、多周期优化、效用优化、组合结构（股票加债券）和概率分布假设等做了多层次、多方面的推广，并探究了模型的几何意义，最后介绍了均值-协方差的数值估计算法与约束优化的单点和群体搜索算法，丰富了现代投资理论、模型和方法。

本书是一本研究型的教学用书，内容丰富，特色鲜明，既适合高等院校数学、统计学、经济学（含金融数学）等专业的本科生和研究生作为教材使用，也可以作为金融实务人员的参考用书。

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本书较为全面地介绍了数理金融的基本知识，内容包括数理金融预备知识(第1章)、资本资产定价模型(第2、5章)、套利定价模型(第3章)、最优资产组合理论(第4章)、期权定价(第6、7章)、利率期限结构与利率衍生产品(第8章)、公司资本结构理论(第9章)。本书力求内容完整、新颖，语言流畅，通俗易懂，图文并茂，结合中国金融市场的实际数据进行讲解。每章后都配备了相当数量的习题，作为正文内容的补充。

（本文编辑：刘四旦）