2024年武汉中考数学第24题
作为二次函数综合压轴题，2024年武汉中考数学第24题颇有难度，尤其是其第3问，含参坐标较多，结论却是定直线，非常考验学生的基本计算推演，也符合初高衔接要求。
这一类问题的求解，除了基本计算能力之外，更需要对二次函数的深入理解，对其中几何元素的深入理解，以及对数与形关系的深入理解，这三个“深入理解”需要我们在平时教学中去落实，才能在面临压轴题时，从容不迫。
题目
抛物线y=1/2x²+2x-5/2交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C.
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图1，连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q，若BC平分线段PQ，求点P的坐标；
(3)如图2，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG，若∠EGF=90°，求直线DE的解析式.
解析：
01
(1)点C坐标直接观察得到，(0,-5/2)，将解析式化为交点式，y=1/2(x-1)(x+5)得到点A(1,0)，B(-5,0)；
02
(2)关键词“平行”和“中点”触发构造全等三角形的buff，但在坐标系中，沿坐标轴方向的平行线才是解决本题最需要的，过点P作PH∥y轴，如下图：
显然△PHJ≌△QCJ，于是得到PH=QC，我们利用它来构建方程，设P(t,1/2t²+2t-5/2)，求出直线BC解析式y=-1/2x-5/2，表示出点H(t,-1/2t-5/2)，这样就可以表示出PH=-1/2t-5/2-(1/2t²+25-5/2)；
再求出直线AC解析式y=5/2x-5/2，设PQ解析式为y=5/2x+b，代入P点坐标，得PQ解析式为y=5/2x+1/2t²-t/2-5/2，这样可得到点Q坐标(0,1/2t²-t/2-5/2)，于是QC可以表示出来，QC=1/2t²-t/2-5/2+5/2；
联立得方程-1/2t-5/2-(1/2t²+25-5/2)=1/2t²-t/2-5/2+5/2
解得t1=0(舍)，t2=-2，则P(-2,-9/2)；
03
(3)根据题目给出的条件，目前可以确定的是抛物线解析式y=1/2x²+2x-5/2，点D坐标为(0,-5)，∠EGF=90°，或理解为DE⊥FG，如下图：
直线EF过原点，则可设直线EF为y=kx，直线DE经过点D，则可设直线DE为y=mx-5，然后分别用参数表示出E、F、G三个点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，这三个点恰好是一个直角三角形的三个顶点，因此我们需要探究这三个点坐标间的关系，过点G作y轴的垂线，再分别过点E、F作x轴的垂线，如下图：
我们很容易可以得到EM:GN=GM:FN，推导如下：
解题反思
本题难点在第3问，多数学生在面对三个动点多个参数的时候，会手足无措，这个时候就极考验学生的应变能力，三个动点中，EF过原点且∠EGF=90°，再加上EG过点D，事实上已经确定了这三个点的位置，因此最终所求的直线DE是一条确定的直线。
在解题过程中，也有学生列出了过于复杂的关系式，例如用参数表示出△EFG三边，然后用勾股定理列出一个等式，导致次数太高，在后续化简带来极大麻烦。
在面对多参数综合题的时候，我们需要学会抓住关键的等量关系，同时需要较强的计算推理能力，从而得到正确的关系式，这在未来学习更多函数知识的时候非常重要。
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