数学悖论系列之二(平行公设悖论)|几何学|定理|平行公设悖论|数学悖论|流形|高斯|黎曼

数学悖论系列之二(平行公设悖论)

二、平行公设悖论(The paradox of the parallel axiom)

希腊最伟大的成就之一是建立了平面几何的规则。这个系统包括一系列未定义的术语，如点和线，以及公理(假设)。在几何学中，“公理”和“假设”本质上是可以互换的。在古代，它们指的是“显然正确”的命题，只需陈述，而不必证明。定理是公理的逻辑推论。

在几何学中，“命题”都是定理：它们是使用公理和有效规则得出的。“推论”是通常被认为是另一个定理的“简单推论”的定理。是否是推论完全是主观的。有时作者认为的“推论”比相应的定理更重要。“引理”也是如此，它们是被认为有助于证明其他在作者看来更重要的定理的定理。在现代数学中，不再假设公理是“显然正确”。公理仅仅是我们做出的“背景”假设。

几何学的基础是概念和哲学。欧几里得几何的哲学基础是公理化方法，这是希腊人对西方科学的最大贡献。没有它，就没有任何科学。当然，数学以前就存在了欧几里得几何，但欧几里得几何之后的数学是一门科学，那就是数学结论是通过逻辑而不是经验证明来保证的。

十八世纪以欧几里得的几何学结束，它被誉为人类思想的伟大成就之一。第五个假设的笨拙仍然是一部作品中的瑕疵，否则，这部作品是不朽的完美。我们确切地知道空间的几何形状，欧几里得向我们揭示了这一点。

正因这部作品的不完美，导致欧几里得几何埋藏着最大的悖论，一个标志着19世纪前几何历史的悖论——第五公设悖论，希腊塞萨洛尼基亚里士多德大学(Aristotle University of Thessaloniki)数学家乔治·姆潘特斯（George Mpantes）称之为平行公设悖论。著名的平行公设到底发生了什么？当然，第五个公设缺乏其他四个公设所具有的简洁性和简单易懂性...这里的谬误不在于假设与我们的首要原则相反的东西，而在于假设一些他们没有暗示的事情。

(一)欧几里得几何学中的公理(假设)

将几何表述为一个公理系统的巨大优势在于，它不再需要记忆一长串关于宇宙本质的独立事实——人们只需要知道一小组假设，通过应用推理规则，人们就可以重建整个几何真理的集合。

毫无疑问，希腊人在阐述他们的几何时，试图描述一个真实的世界，即使它可能是一个理想的世界。早期公理系统的构建者将点和线称为未定义的术语，他们也相当清楚地认为它们是真实的对象，他们认为他们正在开发的系统是对真实世界越来越精细和准确的描述。另一方面，代数的进步并不完全如此确定，人们比非常传统的几何领域更容易接受观点的变化。

1.欧几里得的几何学中，主要的公理/假设

(1)公理

共有5条公理：

与同一事物相等的事物也彼此相等；

如果把相等加到相等上，那么整体是相等的；

如果从相等中减去相等，余数相等；

彼此重合的事物彼此相等；

整体大于局部。

(2)假设

共有5条假设(公设)：

给定任意两个不同的点，总有一条线包含它们；

任意线段均可延伸为无限长线；

给定一个点和一个半径，存在一个以该点为圆心和该半径为半径的圆；

所有直角都彼此相等；

如果平面上的两条直线与另一条直线相交，并且如果一边的内角之和小于两个直角，那么如果在内角之和小于两个直角的那一边延伸足够长，这两条直线就会相交。

第5个假设比前面的4个假设复杂得多，它看起来更像一个定理，而不是一个不证自明的命题。由于从前四个假设中推导出它的所有尝试都失败了，欧几里得只是把它作为一个假设包括进来，因为他知道他需要它。例如，像这样的假设对于证明欧几里得最著名的定理之一是必要的，即三角形的内角和是180度。

数学家们发现了更容易表述第5个假设的替代形式，比如“对于不在给定直线上的任何给定点，恰好有一条直线通过该点，但不与给定直线相交”。

(二)试图证明平行公设的2000多年探索

如果将欧几里得第五公设与其他四条公设进行比较，你会发现它更复杂，而其他四条公设则非常基础。这导致许多数学家相信欧几里得第五公设不是一个基本真理，而是一个可以从其他四条公设中推导出来的结果。

古往今来的几何学家都试图证明平行假设可以从其余的假设中得到证明，因此没有必要假设它。试图的过程是假设它的虚假性，然后得出一个矛盾。否定平行假设得出了许多奇怪的结论，一些几何学家发现了如此大的荒谬之处，以至于他们得出结论，平行假设确实是从其他假设中得出的。

试图证明它的人很多，但都失败了。到上个世纪末，还表明第五公设独立于其余的公设，即所有证明它的尝试从一开始就注定要失败。

我们现在知道为什么会发生这种情况：欧几里得几何并不是唯一可能的几何。假设第五公设是正确的，欧几里得几何就诞生了；但如果我们抛弃第五公设，就可以构建其他几何系统（其中甚至平行线也可以相交）。现在我们知道欧几里得第五公设不是普遍真理，但只要我们局限于研究欧几里得几何，我们就假设它是正确的。

1.2000多年几何史的主题——平行公设的证明

试图证明第五公设的最早信息来源是普罗克洛斯 (Proclus,，410-485年)对欧几里得《几何原本》的注释。他写了一个简明的《几何学发展概要》，宇数虽不多，但已包括从泰勒斯 (Thales，约公元前 625-前547年）到欧几里得（Ευκλειδης ，约公元前330-公元前275年）数百年间主要数学家的事迹，这是几何学史的重要资料。

普罗克洛斯生活在欧几里得之后700多年，公元5世纪时，他在雅典的新柏拉图学院教书。虽然这是数学史的一个无价的来源，但评注不太可能是完整的。普罗克洛斯提到克罗狄斯·托勒密（Claudius Ptolemaeus, 约90-168年)试图证明公设，并证明托勒密无意中假设了后来被称为公平公理的东西。普罗克洛斯留下了他自己的一个证明，但后者依赖于平行线总是相距有限距离的假设，这个假设可以被证明是等价于第五公设。

al-Gauhary(9世纪)从一个命题推导出第五个公设，即通过一个角内部的任何一点都可以画一条与该角两边相交的线。他从一个隐含的假设中推导出这个命题，即如果一条线与另外两条线相交所确定的内错角相等，那么与给定两条线相交的所有线的内错角也是相等的。A.M.Legendre (1800)在他的第五公设的证明中隐含地使用了这个命题。但这个命题隐含着平行公设是成立的这个大前提。

al-Haytham（10世纪）的运动学方法受到Omar Khayyam(11世纪）的批评，他自己的证明于1936年首次发表。Nasir ad-Din at-Tusi（13世纪）更为幸运，1657 年，他的作品的拉丁文版在欧洲出版。at-Tusi 批判性地分析了 al-Gauhary、al-Haytham 和 Omar Khayyam 的作品。在他自己的一次尝试中，at-Tusi 试图通过还原和荒谬来证明这个假设。这似乎是第一次尝试通过从第五个假设是错误的假设中得出矛盾来证明该假设。

John Wallis受到at-Tusi工作的启发，于1663年7月11日在牛津大学发表演讲。为了证明这个假设，他明确地假设，对于每个数字，都有一个任意大小的相似数字。与许多（甚至后来的）数学家不同，John Wallis意识到他的证明是基于一个与假设等价的假设。

at-Tusi的推理路线由米兰耶稣会学院的修辞学、神学和哲学教授Girolamo Saccheri(1667–1733年)采用。1733 年，Saccher出版了一部两卷本的著作，名为《欧几里得摆脱一切缺陷》。给定一条线和一个不在线上的点，关于通过该点的直线数，Saccher认为正好有三种可能性：(A)正好有一条平行线;(B)没有平行线;(C)有不止一条平行线。

这三种假设分别称为直角、钝角和锐角假设。第一个等价于欧几里得的第五假设；利用欧几里得的第二个假设，他证明了（B）确实会导致矛盾；而对于（C），他证明了几个反直觉的陈述，但无法正式获得逻辑矛盾。

Saccher的作品几乎没有引起人们的注意，直到 1899 年他的同胞Eugenio Beltrami(1835-1900 年）重新出版之前，他几乎不为人知。1766年，Heinrich Lambert(1728-1777年）发表了类似的研究。他还观察到：在假设（B）下得出的结果类似于已知的球形几何结果；并建议，从（C）得出的几何可以在假想半径的球体上可视化。

Adrien-Marie Legendre (1752-1833年)几十年来一直专注于第五假设。他的作品出现在他非常受欢迎的《几何元素》（1794-1823）中。Legendre成功地普及了几何学和第五假设的问题，当然，他未能证明第五假设；他最后一篇关于平行线的文章发表于1833年。1837年，俄罗斯数学家N .罗巴切夫斯基(N.Lobachevsky，1792-1856年)发表了关于非欧几里得几何的论文；1838年，匈牙利人亚诺什·波尔约(János Bolyai，1802-1860年)也发表了类似的文章。

(三)完全否定平行公设的结果

通过改变欧几里得的一个基本假设（5第假设），可以完美地构造另外两个几何学说，尽管与欧几里得几何学有很大不同，但在各个方面都一致。这些被称为罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几里得几何。在那之前，公理化几何学的基础是欧几里得的五个假设。

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauß，1777-1855年)、罗巴切夫斯基、亚诺什·波尔约和波恩哈德·黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866年)——传统上与非欧几何的发现联系在一起。

非欧几里得几何的发现对19世纪和20世纪数学的发展产生了深远的影响。两千多年来，《几何原本》一直是数学圣经、公理方法的基础和演绎知识的来源。然而，欧几里得的公设是基于我们（或他）对几何对象的直觉。随着非欧几里得几何的发现，《几何原本》经过仔细研究，发现其中存在逻辑上的遗漏。结果，公理方法脱离了直觉，被形式化，最终导致了元数学和模型论的发展，并最终导致了哥德尔定理和亚伯拉罕·罗宾逊 (Abraham Robinson，1918 - 1974年)的非标准分析。爱因斯坦的广义相对论基于物质扭曲空间并重新定义其几何形状的思想。

1.非欧氏几何的发现历史

在非欧几里得几何中，第五个公设被它的一个否定所取代:通过一个不在线上的点，没有或者有一条以上直线平行于给定的直线。高斯显然是第一个得出这样一个结论的人，用这种方法不可能得到任何矛盾。

高斯发明了“非欧几里得几何”这个术语，但从未发表过任何关于这个主题的东西。另一方面，他引入了曲面曲率的概念，在此基础上，黎曼后来发展了微分几何，成为爱因斯坦广义相对论的基础。

数学家们一直试图证明第五公设是从其他四个公设推导出来的定理，但罗巴切夫斯基并没有试图把这个公设证明为一个定理。相反，他研究了第五公设不一定成立的几何学。罗巴切夫斯基将欧几里得几何归类为这种更一般几何学的一个特例。他的主要著作《几何学》完成于1823 年，直到1909 年才以原始形式出版。1826年2 月11 日在喀山大学物理数学科学系的会议上，罗巴切夫斯基要求听取他关于新几何学的工作，并将他的论文《几何基础的简明概述》发送给审稿人。这篇论文的文本没有留存下来，但这些想法可能以修改过的形式被纳入了罗巴切夫斯基关于双曲几何的第一篇出版物中。1829年，他发表了这项关于非欧几里得几何的著作，这是该主题的第一篇印刷版论述，它发表在《喀山信使报》上。

波尔约也曾试图将第五公设从其他四个公设中推导出来，以取代欧几里得的平行公设。但他很快放弃了这种方法，正如他的笔记本所显示的那样。1820 年，他开始发展双曲几何的基本思想。有证据表明，到了1824 年他已经发展出了他的论文中出现的大部分内容。1838年，他发表的文章阐述了“一个完整的非欧几里得几何系统”。

黎曼在1854年首先注意到，虽然欧几里得意味着，这种解释并不一定遵循公设:一条直线可以无限延伸。黎曼写道:我们必须区分无界和无限范围...空间的无界拥有...比任何外部经验更大的经验确定性。但它的无限程度决不由此而来。圆可以无限延伸，因为它们没有终点。(“兜圈子”就是这个意思:重复做某事，但似乎没有达到某个目的或看不到尽头。)然而，圆的范围是有限的。他作出另一个否定“通过一条直线外的点，人们不能构造任何与给定直线平行的直线”，这已被命名为黎曼几何或椭圆几何。

意大利人欧金尼奥·贝尔特拉米（Eugenio Beltrami，1835-1900年)发现了一个模型，并定义了空间、直线、平行度等概念。法国数学家亨利·庞加莱(Jules Henri Poincaré，1854-1912年)也做了类似的工作。

1868年，贝尔特拉米出版了《非欧几里得几何解释》，这是一个突破。贝尔特拉米发现罗巴切夫斯基的几何允许用欧几里得几何来解释。由此可以得出结论，如果罗巴切夫斯基的几何导致矛盾，欧几里得几何也是矛盾的。换句话说，欧几里得几何的一致性意味着罗巴切夫斯基几何的一致性。这种结构现在被称为罗巴切夫斯基几何的贝尔特拉米-克莱因模型。有时它被称为投影模型，因为它可以扩展到圆锥截面，并建立在普通直线的不寻常用法上。在贝尔特拉米-克莱因模型中，双曲面被映射到圆的内部，具有双曲面上的测地线对应于圆上的弦；虽然保留了“直线性”，但代价是扭曲了角度。

1880 年左右，庞加莱又发展了两个模型：庞加莱圆盘模型——双曲面被映射到圆盘的内部，双曲测地线被映射到圆盘中与边界圆成直角的圆弧（或直径）；庞加莱上半平面模型——双曲面被映射到x轴上方的半平面上，双曲测地线被映射到与x轴成直角的半圆（或垂直射线）。这两个庞加莱模型都会扭曲距离，同时保留切线测量的角度。

庞加莱圆盘模型是一个 n-维双曲几何模型。几何中的“直线”（准确地说是测地线）对应到任意垂直于圆盘边界的圆孤或是圆盘的直径。庞加莱圆盘模型、克莱因模型以及庞加莱上半平面模型，一起被贝尔特拉米用来证明双曲几何与欧几里得几何的相容性等价。

只要我们同意圆盘代表一个平面模型，我们就可以选择任意一点作为未来圆的中心。模型构建的棘手(且不明显)部分在于距离测量的定义。罗巴切夫斯基的几何学是无限延伸的。为了使其适合有界区域，必须改变距离函数。它是这样修改的，使得圆盘上的所有点都位于离定义圆无限远的地方。当向那个圆移动时，固定长度的欧几里得线段以非欧几里得长度增长。

(四)部分否定平行公设的结果

美国新墨西哥大学盖洛普分校数学家Florentin Smarandache教授(1997年获摩尔多瓦国立大学数学博士学位)在数学中引入了几何学中公理或定理的否定程度：如果在同一空间中，一个公理表现不同(即有效和无效；或者仅仅是无效的，但是以至少两种不同的方式)，即是说“一个公理被部分否定了或者说一个公理有一个否定的程度”。这在某种程度上类似于模糊逻辑中的否定(有一定程度的真和一定程度的假)，或者更一般地类似于中性逻辑中的否定——有一定程度的真、一定程度的假，和一定程度的中立(既非真也非假，但未知：模棱两可，不确定)。

因此，作为一个特例，欧几里得、罗巴切夫斯基和黎曼几何可以通过一些Smarandache几何在同一空间中统一起来。这些最后的几何可以是部分欧几里得的和部分非欧几里得的。Smarandache几何似乎与相对论(因为它们包括子空间中的黎曼几何)和平行宇宙有关。这些几何图形将许多不同结构的几何空间连接成一个具有多种结构的异质的多元空间。

Smarandache部分否定了平行公设的直线和外部点，这样从这些外部点可以构建给定的直线:

1.只有一条平行线——在几何空间的某个区域(欧几里得几何学)；

2.更多的纬线，但数量有限——在另一个空间区域；

3.无数的纬线，但可数——在另一个区域空间；

4.无数的平行线，但不可数——在另一个区域空间(罗巴切夫斯基几何)；

5.没有平行线——在另一个区域空间(黎曼几何)。

这次对平行公设的否定并不像之前那样100%的否定。因此，整个空间被分成五个区域(地带)，每个地带功能不同。这样一来就有四种几何变体:欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何、黎曼几何以及Smarandache几何(描述相对论时空甚至整个宇宙的Smarandache几何模型)。

(五)现代几何

在现代数学中，“欧几里得空间”的定义如Rn，但这通常不被认为是一种“公理”方法，相反，这是“分析”方法。在这种方法中，点被定义为实数的有序元组，线是满足关系的此类元组的集合，而三角形只是定义三角形的 3 个点之间的线上点的总集合。在“公理”或“综合”方法中，点和线被视为未定义的概念——它们没有正式的数学定义，而是我们指定它们的行为通过公理。欧几里得没有走这么远——他试图“定义”它们，比如说“点是没有部分的”、“线是无宽度的长度”等等。这些本身在数学上没有用处——只是直观“定义”。

所以在现代公理化中，至少有一个概念被视为原始的（希尔伯特【David Hilbert，1862–1943年】的公理中，点和线都是原始的；塔斯基【Alfred Tarski，1901 – 1983年】的公理中，只有点，事实上，由于塔斯基的理论不涉及集合，所以甚至不能用一组点来定义一条线！），没有数学定义。

欧几里得说，你可以构造两个圆，以线段的每个点为中心，半径等于给定的线段。然后圆的交点加上线段两端的两个点定义了三角形，并且它是等边的。他的构造的问题在于没有足够的公理来证明它的全部。线段和圆的存在当然是可以证明的，但是当他提到交点时，他遇到了麻烦。

我们需要的是一个关于两点之间直线唯一性的假设。希尔伯特的公理解决了这些挑战：他给出了一个公理，说两点之间的直线由两个给定点唯一确定；他还给出了“连续性公理”，保证圆和直线会相交（他的连续性公理甚至更强——它们保证平面上所有实数的存在，而你只需要所谓的“无理数”就能正确得到圆的交点）。

现代几何(黎曼几何)以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义曲率（截面曲率处处为常数）（a是常数），则当a=0时是普通的欧几里得几何；当a>0时，就是椭圆几何；而当a<0时为双曲几何。三类几何的模型流形分别是欧几里得空间、单位球面和双曲空间。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。

截面曲率是用来表达曲面凹凸程度这个属性的。曲面的属性可分为局部属性和全局属性。在较早的文献中，局部性质的研究被称为小几何学；对全局性质的研究被称为大几何学。本地属性是位于表面，另一个更微妙的区别应该是在表面的内在属性和外在属性之间。粗略地说，内在属性是不依赖于表面浸入环境的方式的表面空间，而外在属性取决于环境空间的属性。例如，我们将看到高斯曲率是一个内在概念，而垂直于某个点的曲面是一个外在概念。

截面曲率表示在给定点和给定二维方向上的“弯曲”程度。通常，这种弯曲随不同的二维方向而变化；但是，如果每个点的曲率不取决于点的选择，那么它不会因点而异（舒尔定理）。截面曲率的相同消失是局部等距的必要和充分条件（在大范围内，它可以不同于）。黎曼将截面曲率定义为二维曲面的高斯曲率，由高斯公式计算。这个值可以是正数、零或负数：

球面是正曲率表面的典型例子；欧氏空间的任何凸子空间的曲率处处为零；鞍形曲面是具有负曲率的二维图形。

截面曲率是一个局部定义的值，它给出某一点处一种特殊类型的二维子空间的曲率，其中定义表面的两个维度作为切向量输入。流形中可能存在同时允许负曲率和正曲率截面的点，就像“物理学中的应用”部分讨论的史瓦西度量的情况一样。截面曲率的一个重要性质是，在黎曼流形上，它会随着所考虑的流形中的点和切向量的选择而平滑变化。

对于截面曲率，还有另一种直观的解释。这种解释既好又实用，具体来说：我们看到正截面曲率会减少相对于平面的距离；而负截面曲率会增加相对于平面的距离。截面曲率亦称黎曼曲率，在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式，也是曲面高斯曲率的推广。

宇宙几何（仅限空间维度）：因为欧几里得几何、双曲几何和椭圆几何都是一致的，那么问题就来了，哪个才是真正的空间几何？罗巴切夫斯基已经尝试通过测量天狼星的视差并将天狼星作为一个平行角的理想点来测量宇宙的曲率；而庞加莱通过他的球体世界思想实验得出结论，日常经验并不一定排除其他几何形状。几何化猜想给出了我们空间基本几何的八种可能性的完整列表。确定哪一个适用的问题在于要想得出明确的答案，我们需要能够观察非常大的几何体形状——比银河系中的任何星座都大得多。

宇宙几何（狭义相对论）：狭义相对论将空间和时间置于同等地位，因此人们考虑的是统一时空的几何学，而不是分别考虑空间和时间。在相对论中，与其考虑欧几里得几何、椭圆几何和双曲几何，还不如考虑闵可夫斯基空间、德西特空间和反德西特空间，它们分别对应零曲率、正曲率和负曲率。

1.黎曼几何(椭圆几何)

黎曼几何的原则承认其他三个欧几里得公设，却完全否定欧几里得第五公设的有效性并修改他的第二公设的非欧几里得几何之一。虽然黎曼几何的一些定理与欧几里得的相同，但大多数是不同的。例如：

(1)在欧几里得几何中，两条平行线被认为处处等距；在椭圆几何中，平行线是不存在的。

(2)在欧几里得几何中，三角形的内角和是 180°；在椭圆几何中，三角形的内角和总是大于 180°，但小于 540°。(图 7的三角形的内角和大于 180°、图 8的三角形的内角和为270°)

(3)在欧几里得几何中，不同面积的多边形可以是相似的；在椭圆几何中，不同面积的相似多边形是不存在的。

椭圆几何是用来表示球面几何的公理形式化的术语，其中每对对映点都被视为单个点。球面几何的内在解析视图是由德国数学家黎曼在19 世纪开发的，通常称为黎曼球面。因此也称之为球面几何或黎曼几何，但这个术语更正确地适用于微分几何的一部分，它提供了一种内在描述任何曲面的方法。

图 7

图 8

2.双曲几何（罗巴切夫斯基几何）

双曲几何，一种非欧几里得几何，它的原则承认其他四个欧几里得公设，却拒绝欧几里得第五个“平行”公设的有效性。在双曲几何中，通过不在给定直线上的一个点，至少有两条直线平行于给定直线。取代欧几里得几何中的平行公设的双曲几何本身并无矛盾之处，仍可以推得一系列属于它的定理。这也说明了平行公设独立于前四条公设，换句话说，无法由前四条公设推得平行公设。双曲几何有各种各样的理论应用，包括几何群论和模形式理论。

虽然双曲几何的许多定理与欧几里得的相同，但其他的却不同。例如：

(1)在欧几里得几何中，两条平行线被认为处处等距；在双曲几何中，两条平行线向一个方向会聚，向另一个方向发散。

(2)在欧几里得几何中，三角形内角之和等于两个直角；在双曲几何中，三角形内角之和小于两个直角(极端的情况下，三角形的三条边长趋近于无限，而三个内角趋近于0°——此时的三角形称作理想三角形)。(图9的三角形的内角和小于 180°)

(3)欧几里得几何中，四边形的内角和为360∘；双曲几何中，四边形的内角和小于360∘。

(4)在欧几里得几何中，存在矩形；在双曲几何中，没有矩形。

(5)在欧几里得几何中，不同面积的多边形可以是相似的；在双曲几何中，不同面积的相似多边形是不存在的。

(6)在欧几里得几何中，相似三角形不一定全等；在双曲几何中，相似三角形全等。

(7)在欧几里得几何中，每个三角形皆存在内切圆以及外接圆；在双曲几何中，每个双曲三角形皆存在内切圆，但并非每个双曲三角形都有外接圆。

(8)在欧几里得几何中，同一直线的垂线和斜线一定相交；在双曲几何中，同一直线的垂线和斜线不一定相交。

(9)在欧几里得几何中，过不在同一直线上的三个点，一定能做一个圆；在双曲几何中，过不在同一直线上的三个点，不一定能做一个圆。

从上面所列举的双曲几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观有矛盾。所以双曲几何中的一些几何事实没有象欧氏几何那样容易被接受。但是，我们可以用习惯的欧氏几何中的事实作一个直观“模型”来解释双曲几何是正确的，比如上面提到的贝尔特拉米-克莱因模型、庞加莱圆盘模型以及庞加莱上半平面模型。

图 9

3.欧几里得几何、椭圆几何和双曲几何的圆周长

欧几里得几何、椭圆几何和双曲几何的圆都是距中心固定距离的所有点的轨迹。这里的距离是指两点之间最短的距离，在前者是指直线；在后两者是指测地线。

测地线是曲面上的一个点沿着曲面移动，如果这个点受到的加速度的大小始终为0，加速度的方向始终垂直于曲面，那么这个点经过的路径就叫测地线。也就是说，一个点沿着曲面移动，如果它受到的加速度只由曲面的弯曲引起的，不受到其它任何外力影响，那么这个点经过的路径就叫测地线。

曲面的任何法向截面都是测地线。法向截面是使用包含曲面法线的平面对曲面进行切片而产生的曲线，该平面在曲线的每个点处都包含曲面法线。法向截面最常见的例子是对称平面形成的截面。因此，与对称平面的任何交点始终都是测地线。

大圆是球面几何的“直线”，球面上最短的距离是大圆路线。这样的曲线被称为“内在”直线。

(1)球面圆周小于欧氏平面上相同半径的圆周

证明过程见图10、图11：

图 10

图 11

(2)双曲面圆周大于欧氏平面上相同半径的圆周

作双曲线(见图 12)，并让它绕y轴旋转一周即得到一双曲面(见图 13)。在图 13中：分别过原点的α、β、γ平面(皆与y轴只有一个交点【原点】且不垂直)切割双曲面得到三条彼此相交于双曲圆圆心P的测地线，其中一条测地线D1D2映射到庞加莱圆盘中的欧氏圆弧(测地线)与边界垂直；另二条测地线映射到庞加莱圆盘中的欧氏圆弧(测地线)也与边界垂直(没画出来)。另外，这三条测地线(双曲“直线”)除过双曲圆圆心P外，还与其相交。

正曲率对应的是封闭空间（如球形空间），它使空间收缩（相对于平面）；负曲率对应的是开放式无限空间（如双曲空间）。而最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角，它还将所有空间映射到一个单位圆盘上。