数学悖论系列之六（选择公理的悖论)|巴拿赫|数学悖论|豪斯多夫|选择公理|集合论

数学悖论系列之六（选择公理的悖论)

六、选择公理的悖论(the paradox of axiom of choice)

选择公理（AC）大约在一个世纪前制定，此后几十年一直存在争议，它可能被认为是数学界的最后一次大争论。选择公理是由数学家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在1904年首次提出的。它现在是数学许多部分使用的基本假设。假设 AC 等同于假设以下任何原则（以及许多其他原则）：给定任意两个集合，一个集合的基数小于或等于另一个集合的基数 -- 即，一个集合与另一个集合的某个子集一一对应；场 F 上的任何向量空间在该场上都有一个基 —— 即一个最大线性独立子集；紧凑拓扑空间的任何乘积都是紧凑的……

一些纯数学家和许多应用数学家（包括一些数学物理学家）对选择公理感到不舒服。尽管 AC 简化了数学的某些部分，但它也产生了一些与日常“普通”经验无关甚至相反的结果：它暗示了一些相当奇怪、违反直觉的物体的存在。与选择公理相关的最著名的悖论是巴拿赫-塔尔斯基悖论，它表明一个实心球可以被分割成有限多个部分，并以刚性运动（即旋转和平移，允许部分相互移动）移动这些部分，并将它们重新组合以形成球的两个副本。结果似乎与我们关于物理学的一些直觉相矛盾——例如，来自经典牛顿物理学的质量守恒定律。

分球怪论，这一结果违背物理直觉更准确的说法是：勒贝格测度是在 R^3 的某些子集上定义的，但它不能以保留其两个最重要属性的方式扩展到R^3的所有子集——两个不相交集的并集的测度是它们的测度之和，而测度在平移和旋转下保持不变——巴拿赫-塔尔斯基悖论分解中的片段是勒贝格不可测的。因此，巴拿赫-塔尔斯基悖论给出了一个推论，即存在无法测量的集合。

（一）基础知识

1.勒贝格测度(Lebesgue measure)

测度的概念扩展了间隔的长度概念，或平面中“足够简单的形状”的面积，或更高维空间中“足够简单的形状”的体积。但这种扩展很快就失去了其直观的意义。一个重要的测度由法国数学家勒贝格（Henri Lebesgue）在1901年给出：勒贝格测度。

勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测，勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，R的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

关于“空集勒贝格测度的意义、有限可加与可数可加的区别以及巴拿赫(巴拿赫) 测度”(见图56)。

图 56

我们看到，有理数集无法由表示稠密点构成的区间长度这种方法来表示其测量值。标准解决方案是用连续实数集来表示长度（和其他类似量级）。取位于 0 和 1 之间的实数，每个实数代表线段上的一个点，且每个实数都被分配零测度，这样我们将得到如下的点序列：

1、1/2、1/3、2/3、1/4、3/5、1/5、…、（还有更多）…

接着我们定义极限和，将其应用到从 0 到 1 的实数区间中的点，那样一来所得的可数无限集的测度大小为零。这就是我们熟悉的可数无限和：

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + … = 0

对于连续统大小的点集，没有办法形成这样的序列。即使试图将其写成这样的列表也会产生误导。因为列表表明我们有一个可数集，其中有第一个成员、第二个成员、第三个成员等等。连续统大小的集合要大得多，而且不允许枚举。当底层集合是连续统大小时，测度论将集合的大小与指定的测度分开。

标准测度理论没有提供不可数可加性的规则。就解决测度悖论而言，当基础集合是连续统大小时，勒贝格测度理论从分配的测度中分离出集合的大小。度量被分配给连续统大小区间的无限子集，规则是这样的：对于区间 [a，b]，分配度量（b-a）。这个勒贝格测度符合可数可加性规则，例如区间[a，b]和[b，c]组合形成区间[a，c]时，前两者的度量是(b-a)和(c-b)；它们的和是(c-b) + (b-a) = (c-a)，而这正是区间[a，c]的度量。另一个更丰富的例子是零和一之间的有理数。一旦我们分别给每个有理数分配了一个零测度，可数可加性就迫使我们给整个有理数区间分配一个零测度。

对于不可测集，在连续统大小的系统中，只有其的一些子集才可以被一致地赋予可数可加测度。例如，上面定义的勒贝格测度可以通过有限和可数加法从原始定义的区间扩展到更多子集。然而，仍有许多子集不可能扩展勒贝格测度。因此，一项措施的具体说明通常需要三个要素：首先是界定感兴趣系统的一组点；第二是对将被分配测量的子集的说明；第三是指定给每个子集的测量值的规格。

识别哪些集合是不可测量的已经被证明是微妙的。困难在于，根据我们的最佳理解，这些集合是不可构造的。这意味着我们可以推断它们的存在，但我们不能指向一个特定的集合并宣布“那个集合是不可测量的”！如果假设选择公理为真，则可以证明并非所有欧氏空间的子集都是勒贝格可测的，这样的集合的例子包括维塔利集合，以及豪斯多夫悖论、巴拿赫-塔斯基悖论假设的不可测集。

2.ZFC公理集合论系统(ZFC axiomatic set theory system)

(1)ZFC公理集合论系统

有选择公理的集合论(ZFC)，是一个公理系统，用于正式定义集合论。具体来说，ZFC是大约9个公理(取决于惯例和精确的表述)的集合，它们一起通过集合论的使用定义了数学的核心(见图57)。

图 57

ZF这 8 个公理定义了一个一致的理论：ZF（当然，很难证明这个系统是一致的）。选择公理是集合论中的一个公理，具有广泛的影响，有时会产生违反直觉的后果。它指出，对于任何集合的集合，都可以构造一个新集合，其中包含原始集合中的每个集合的一个元素。换句话说，可以从集合中的每个集合当中选择一个元素。当选择公理添加到上述八个公理中时，该理论就变成了 ZFC（选择的“C”），正是这个系统通常被用作数学的基础。

直观上，选择公理保证了通过一系列选择获得的数学对象的存在，因此它可以被视为有限过程到无限设置的延伸。虽然这种扩展看似显而易见且合理，但它也相当强大；允许它会导致一些意想不到的、也许是不自然的后果。

选择公理是集合论中的一个原则，它指出对于任何非空集的集合，存在一个函数可以从每个

集合中恰好选择一个元素(见图 58)。

图 58

20世纪逻辑的发展确立了选择公理独立于集合论的公认公理ZF；也就是说，有选择公理的集合论(ZFC)和没有选择公理的集合论(ZF¬c)都是逻辑上一致的理论。尽管如此，大多数数学家普遍接受选择公理为真，并在必要时使用它。

ZFC 只是可以用作数学公式的众多公理系统之一，因此相对于其他类似的系统，它有一定的优势和劣势。

ZFC的主要优点是便于集合论本身的研究，尽管从某些角度来看这也是一个缺点。特别是，大多数现代数学可以在更弱的公理系统中得到证明，如皮亚诺公理，所有这些都可以在策梅洛集合论中用选择公理进行证明。因此，从某种意义上说，为了使集合论更容易，ZFC“太强了”。

另一方面，另一个常见的批评是，与其他公理系统相比，ZFC太弱了。例如，连续统假说(以及一些其他问题)可以被证明是独立于ZFC的，这意味着它既不能用给定的公理证明也不能被证伪。因此，有些人选择采用ZFC的各种扩展，或密切相关的系统，如ZF+AD——其中选择公理被确定性公理所取代。

ZFC确实产生了一种“理论”。从形式上讲，一个理论仅仅是给定的形式语言中的一组句子。任何一组公理都会产生一个理论，即从这个公理集合中可证明的句子集合。按照ZFC的说法，这个理论描述了集合的性质，包括在ZFC的公理下什么集合可以被构造或者被证明存在。

另外，一阶逻辑和ZFC根本不是同一层次的两个东西。一阶逻辑是一个逻辑系统，它包括逻辑公理和演绎规则的集合，而ZFC是根据一阶语言编写的公理的集合。一阶逻辑中的任何公理系统都被认为是自动包含了一阶逻辑的所有逻辑公理，所以ZFC可以说包含了更多的公理，也因此可以证明更多的东西。但由于哥德尔的不完备性定理意味着任何“合理的”公理系统都不可能是完整的，也就是说，总有一些陈述不能用公理来证明或证伪。

当我们说我们可以证明某些集合的存在时，我们的意思是这些集合存在于ZFC的所有模型中。更一般地，当我们用集合中相关对象的给定构造来证明一个定理时，我们的意思是这种构造可以在ZFC的所有模型中进行，并且相应的定理对于ZFC的所有模型中的这种构造都是正确的。

从历史上看，ZFC被表述为一种定义集合论的方法，这种方法避免了诸如罗素悖论之类的悖论，尽管该理论仍然存在一些不令人满意的方面：特别是，可以表明选择公理独立于其余公理，因此省略了选择公理的ZFC仍然是一致的理论(ZF)。巴拿赫-塔尔斯基悖论是选择公理的违反直觉的结果，在该悖论中，一个球可以被重新排列成两个与原球大小相同的球。

选择公理断言每个集合都可以是有序的，即它可以是线性有序的，因此每个非空子集都有一个最小的元素。

选择公理(AC)实际上只是关于做出选择。换句话说，对于任何一组非空组(集合)，至少有一个集合——我们称之为“选择集”——正好有一个来自所有其他集合的项目。想象一个巨大的图书馆，里面有数不尽的书：每本书都是一个装满故事的集合，而图书馆就是一套书。选择公理允许我们从每本书里选择一个故事来创作一本新书，我们不需要挑选故事的规则；我们知道我们能做到。——这本新书是我们的“选择集”，里面有来自图书馆每本书的故事。

尽管选择公理是独一无二的，但它在特殊情况下也有变化。想象一下，不同的任务有不同的工具——虽然它们都做相似的工作，但有些更适合某些任务。

“依赖选择原则”可以被认为是做出一连串的选择，每个选择都依赖于前一个选择；“可数选择公理”是针对当我们只从一个我们能数的集合列表中挑选的时候，比如第一集合、第二集合等；无限的集合，每个集合至少有一个数字，而AC允许您从每个集合中选择一个数字来组成一个新的集合——因为如果没有AC，如果我们试图从无限多的集合中选择，我们就不能得到这个集合。

总之，选择公理是一个重要的数学工具，它让我们对无法解决的问题说“是”。这就像有一把神奇的钥匙，可以打开一栋大楼里的任何一把锁。有了AC，我们有能力一次做出无限多的选择，即使没有明确的选择方法。选择公理的范围很广，几乎触及了数学的每个领域。一个例子是证明任何有方向的空间(向量空间)都有一个“基础”，这意味着我们可以用某种方式描述空间中的每一点。

当我们谈论AC时，我们经常听到它与另外两个数学原理联系在一起:策梅洛-弗兰科尔集合论(ZF)和广义连续统假设(GCH)。AC在ZF独树一帜：我们不能用其他的ZF原则来证明它的对错。

策梅洛-弗兰科尔集合论(ZF):这就像集合论数学的规则手册，它给出了一套规则，但不包括选择公理；广义连续统假设(GCH):这是一个关于无限集合大小的陈述，这个主题通过选择公理这样的工具变得更加清晰。

(2)等价于选择公理的陈述

选择公理（AC）等价于以下陈述：

佐恩引理:每个部分有序的非空集合中至少有一个极大元素，并且每个链都有一个上限。

良序定理:每个集合都可以是良序的，并且符合选择公理。

豪斯多夫的极大原理:每个偏序集包含一个极大链。

每个向量空间都有一个基：任何两个集合要么具有相同的基数，要么其中一个集合的基数比另一个小。

每个满射函数 f：X→Y 都有一个右逆函数，即函数 g：Y→X 使得 f（g（y））=y 对于所有 y∈Y。

3.哥德尔不完备性定理(Gödel’s Incompleteness Theorems)

美国杰出数学家哥德尔于本世纪30年代提出了不完备性定理。他指出：一个包含逻辑和初等数论的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可能证明的。哥德尔不完备性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性，他证明了，任何一组可以作为数学可能基础的公理都不可避免地是不完备的；总会有关于数字的真实事实无法用这些公理来证明。他还表明，任何候选公理集都无法证明其自身的一致性。

哥德尔实际上告诉人们，任何想要为数学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的。他的不完备性定理意味着不可能有万事万物的数学理论，不可能有可证明和真实事物的统一。数学家能证明什么取决于他们的初始假设，而不是所有答案都源于任何基本事实。

自哥德尔发现不完备性定理以来的89年里，数学家们偶然发现了哥德尔定理所预言的那种无法回答的问题。例如，哥德尔本人帮助确立了关于无穷大大小的连续统假设是不可判定的。在物理学中甚至出现了无法判定的问题，这表明哥德尔的不完备性不仅影响着数学，而且以某种不为人知的方式折磨着现实。

为了理解哥德尔定理，首先必须理解当中至关重要的概念，如“形式系统”、“一致性”和“完备性”。

粗略地说，一个形式系统是一个配有推理规则的公理系统，它允许人们产生新的定理。公理集要求是有限的，或者至少是可判定的。如果满足这个条件，这个理论就叫做“递归公理化”，或者简单地说，“公理化”。

一个形式系统是相容的：如果没有一个陈述使得这个陈述本身和它的否定在这个系统中都是可导的——在这种情况下，只有一致的系统才是有意义的。因为这是一个基本的逻辑事实，在不一致的形式系统中，每一个陈述都是可导的。

一个形式系统是完备的是指“如果对于该系统语言的每一个陈述，该陈述或其否定都可以在该系统中被导出(即被证明)”。因此，这样的系统是平凡完备的。

哥德尔建立了两个不同但相关的不完备性定理，通常称为第一不完备性定理和第二不完备性定理。“哥德尔定理”有时被用来指这两者的结合，但也可以指任何一个——通常是第一个单独使用。第一个定理可以大致表述如下：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为假。第二定理：如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。

哥德尔定理是数理逻辑、人工智能、集合论的基石，是数学史上的一个里程碑。美国著名数学家冯·诺伊曼说过：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪念碑。”

（二）著名的三个选择公理的悖论

1.罗素悖论(Russell's Paradox)

在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮胡须的人刮胡须，我也只给这些人刮胡须。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮胡须的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮胡须的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡须长了，他本能地抓起了剃刀，我们看他能不能给他自己刮胡须呢？如果他不给自己刮胡须，他就属于“不给自己刮胡须的人”，他就要给自己刮胡须；而如果他给自己刮胡须呢？他又属于“给自己刮胡须的人”，他就不该给自己刮胡须。——这就是理发师悖论。

理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮胡须的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

罗素悖论可以简单描述为：假设N是由所有不属于自身的集合所组成的集合，那么请问N属于自身吗？如果N属于N，那么按照定义，N不应当把自身作为元素；如果N不属于N，则按照定义N应当包含N。——这就形成了矛盾。

上述悖论是罗素悖论的一种说法，罗素悖论是以英国数学家和哲学家伯特兰·罗素（1872-1970年）的名字命名——通过假设所有集合中的一个集合的存在，我们可以产生各种悖论。避免这类悖论的唯一方法是得出结论：不存在所有集合的集合。也就是说，所有集合的集合不能是集合本身。

哥德尔提到“通过分析康托尔的集合论所导致的悖论，他将它们从所有数学技术细节中解放出来，从而揭示了一个惊人的事实，即我们的逻辑、直觉(即：关于诸如真理、概念、存在、阶级等概念的直觉)是自相矛盾的”。数学家和哲学家理所当然地认为概念(即属性)和相应的类(即集合)或多或少是可以互换的。红色的概念可以与所有红色事物的类别相提并论；偶数的概念可以用偶数的类来识别。

直到20世纪初，怀特海和罗素在撰写《数学原理》时，“类”和“集合”这两个词就是同义词。今天，对某个适当类的引用——比如普遍类，或序数类——总是使用“只是一个 façon de parler”这个短语来描述：一种说话方式，仅此而已。弗雷格确实假设了无限制的集合理解，这是导致罗素悖论的致命原则。但他只使用了一次，他的工作作为谓词演算幸存至今。

假设，就像弗雷格的《算术集合论》中那样，集合可以由任何条件自由定义，那么R是一个定义良好的集合。当考虑R是否是自身的一个元素时，问题就出现了：如果R是R的元素，那么根据定义，R不是R的元素，这是一个矛盾；如果R不是R的一个元素，那么R必定是R的一个元素(这也是根据它的定义)，这也是一个矛盾。

朴素集合论（即使用自然语言而不是形式逻辑来接近集合论）的任何可定义的集合都是集合。正如罗素悖论所表明的那样，这导致了一些问题。事实证明，任何命题都可以从矛盾中得到证明，因此像罗素悖论这样的矛盾的存在对数学来说似乎是灾难性的。由于集合论通常被视为数学公理化发展的基础，罗素悖论对数学的基础提出了质疑。(朴素集合论正式定义和表述，见图59。)

图 59

罗素自己提出了一个名为“类型理论”的解决方案，这就像为集合创建级别，并说袋子只能容纳它们下面级别的东西，而不能容纳它们自己的级别或上面的东西。那样的话，如果不改变规则，有问题的集合就无法存在。然而，一些思想家对这些修正并不感到兴奋。他们认为这些解决方案使集合论变得沉闷而复杂，背离了集合只是一袋袋东西的简洁理念。他们在寻找重建数学的新方法，没有这种悖论，但保持什么是集合的清晰和常识性的概念。

20世纪初，大量的研究投入到为集合论开发一致的公理（即无矛盾的公理）中。1908年，恩斯特·策梅洛（1871–1953年）为集合论提出了一系列公理，避免了朴素集合论的不一致性。20世纪20年代，亚伯拉罕·弗兰克尔（1891-1965年）、苏拉夫·斯科勒姆（1887-1963年）和策梅洛对策梅洛的公理进行了调整，形成了九条公理的集合——称为ZFC，其中ZF代表策梅洛，弗兰克尔代表选择公理；而C代表九条公理之一的选择公理。

不严格地说，选择公理表明，给定任何集合的集合，每个集合至少包含一个元素，从每个集合中选择一个对象是可能的，即使集合的集合是无限的。数学中有一段时间，选择公理是有争议的，但现在它被普遍接受。集合论有几种相互竞争的公理化方法，但ZFC被大多数数学家认为是公理的规范集合。

简而言之，ZFC通过定义一组公理解决了这个悖论(见图59)，在这组公理中，不一定存在一组满足某个给定属性的对象，这与朴素集合论不同；在朴素集合论中，任何属性都可以定义一组满足它的对象。

如果我们接受宇宙集合V，一切都属于，那么肯定 V∈V：属于自己的。所以，也许宇宙集合是问题的根源。然而，这种洞察力并没有给我们指明出路。罗素悖论出现了两种截然不同的解决方案(见图 60)：要么改变逻辑语言，即一阶逻辑，用于表达集合论的公理；或者改变集合论的公理，同时保留它们所表达的逻辑语言。

罗素在《数学原理》中与怀特海一起尝试重新定义集合论时采用了第一种方法，并在此过程中发展了类型论。然而，尽管他们最终成功地以这种方式定义了算术，但他们无法使用纯逻辑来做到这一点，因此出现了其他问题。事实上，哥德尔证明了皮亚诺算术是不完备的（假设皮亚诺算术是一致的），基本上表明罗素的方法不可能形式化。在此过程中，哥德尔展示了他广受赞誉的不完备性定理。

图 60

总之，罗素悖论不是一个遥远的幻想，而是一个现实的困境，触及数学的稳定性。它的触角延伸到了计算机科学和语言学等实际领域，影响了理论和现实世界的应用。反思悖论提高了我们设计可靠系统的能力，无论是数学的、数字的还是逻辑的，并使我们成为更明智的思考者。

2.巴拿赫-塔尔斯基悖论(the 巴拿赫-Tarski paradox)

(1)费利克斯·豪斯多夫悖论(Felix Hausdorff paradox)

在数学中，豪斯多夫悖论以费利克斯·豪斯多夫命名，该悖论指出，如果删除球体 S^2中的某个可数子集，则剩余部分可以分为三个子集 A、B 和 C，使得 A、B、C 和 B ∪ C 都是全等的。由此可知，在S^2上，不存在定义在所有子集上的“有限可加测度”，使得全等集的测度相等。这个悖论发表于1914年。更为著名的巴拿赫-塔斯基悖论的证明运用了豪斯多夫的思想。

这个悖论表明，在所有子集上定义的球体上不存在在全等部分上相等的“有限可加测度”。(豪斯多夫在同一篇论文中首先给出了一个更简单的结果，即不存在定义在所有子集上的可数可加测度。)球体上旋转群的结构在这里起着至关重要的作用——这个事实在平面或直线上并不成立。事实上，正如巴拿赫后来所表明的，可以为欧几里得平面上的所有有界子集定义“面积”（以及实直线上的“长度”），使得全等集具有相等的“面积”或“长度”。然而，这个面积只是有限可加的，所以巴拿赫测度不是完全意义上的测度，但它等于后者存在的集合上的勒贝格测度。特别是，它意味着如果平面（或实直线）的两个开子集是均等分解的，那么它们具有相等的勒贝格测度(面积或长度相等)。

有时，豪斯多夫悖论指的是豪斯多夫的另一条定理，该定理在同一篇论文中得到证明。该定理指出，可以将单位区间“分割”成可数个部分，这些部分（仅通过平移）可以重新组装成长度为 2 的区间。豪斯多夫描述了这些构造，以表明在实直线上不可能存在非平凡的平移不变测度，该测度为所有有界实数子集分配一个大小。——这个定理依赖于选择公理。

至于豪斯多夫悖论的证明，可参考图61。

图 61

我们知道豪斯多夫悖论取决于选择公理。但由于其一些令人困惑的矛盾含义，选择公理在数学界是存在争议的。虽然大多数数学家都相信它的真实性，并坚持认为它现在应该被普遍接受。然而，其他人认为它的含义是如此反直觉和荒谬，以至于他们采取了哲学立场，认为它不可能是真的。豪斯多夫悖论是否真实，取决于你是否接受选择公理为真。

(2)巴拿赫-塔尔斯基悖论(the Banach-Tarski paradox)

1924年斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基他们运用了豪斯多夫的思想首次提出并证明了巴拿赫-塔斯基悖论(定理)：在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。他们提出这一“分球怪论”的原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意味着选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。在一些叙述中这条定理被看成是悖论，但是定理本身没有逻辑上不一致的地方，实际上不符合悖论的定义(见图62)。

图 62

对于这个“分球怪论”，伊利诺伊大学的马頔·西纳波娃说：“很快，人们就发现这完全违反直觉。”然而，远不至于此，这个悖论还与数学中最令人费解的概念之一——“无穷大”扯上关系。

无穷大感觉上像一个数字，但它的行为却不像。我们可以把任何一个有限的数加或减到无穷大，结果仍然是我们开始时的那个无穷大。但这并不意味着所有的无穷大都是平等的。

可数和不可数无穷大之间的这种差异使得自然数比实数更小——数学家通过说两者具有不同的“基数”来传达这种区别。1891年乔治·康托尔证明了实数确实比自然数多。他还证明了直线上的无穷多个点与填充一个形状(如球体)的体积的无穷多个点具有相同的基数。

巴拿赫和塔尔斯基意识到，我们可以把一个球体分成两个，方法是把它所包含的不可数的无穷个点分成几个(或其他有限数量)集合——这些集合当中的每一个的元素都有无穷多个，它们都是不可数的无限（无穷）集合。而他们的分离手法是通过非常特殊的解剖过程进行的。

要构建这些无限集合中的一个，首先要选择一个起点——球体上的任何一点都可以。接下来，要选择两个角度测量值，但这两个角度测量值应是无理数。然后我们开始旋转球体：其中一个角度是南北旋转，另一个角度是东西旋转。

现在我们再将球体向北、向南、向东或向西旋转适当的度数——那样我们会到达一个新的点：这是我们集合中的第二个点(第一个点是我们的起点)。紧接着在这四个方向中的任何一个方向上再次旋转球体，但有一个条件，我们不能直接回到我们来的方向——在我们向东旋转之后，不要向西旋转……如果我们重复这个过程无限次，我们将创建一个有无限多个点的集合。

这个集合将有几个关键属性：第一，它永远不会包含同一个点超过一次——这是由于我们的旋转角度是无理数而保证的；第二，这个集合将是可数的无穷大——我们可以给通过旋转过程选择的每个点分配一个自然数。

从球体上的任何一点开始重复同样的过程。每个起点都生成自己唯一的一组后续点。这样，我们可以创建无数个集合，每个集合包含可数的无限个点。一旦我们有了这些集合，我们就要把他们的点分成几组：四个组将通过在一个点上着陆之前执行的最后一次旋转来识别；第五组将包含球体的中心点和极点处的所有点；第六组将收集每个起点。

图 63

如果我们把这些组组合起来，它们仍然只能产生一个球体(见图63)——而不是巴拿赫和塔尔斯基所追求的两个球体。“整个球体就是这个不可数的物体，”多伦多大学的集合论者斯潘塞·昂格尔说，“但是它被分解成一堆可数的碎片。”

为了让它翻倍，我们采纳数学家费利克斯·豪斯多夫的一个想法，允许他们旋转一个组中的所有点，以创建一个不同的点集，该点集比他们开始时的组更大，例如包含最终向东旋转导出的所有点的组。现在，再将这个组向西旋转——这立即否定了所有这些最终的向东旋转，并将该组转换为在集合构建过程中紧接着形成原始集合的点的（仍然无限的）集合。该组现在包含以北、南和至关重要的东旋转结束的点，这是该组的原始基础。换句话说，旋转后的部分包含新的东西和旧的自己。

无穷的性质使得这种表面上的增加成为可能。将整个东组向西旋转会清除所有最近的东旋转，那么还剩下什么呢？在最终的东行之前没有西行的路径，因为回溯是不允许的。但是在这些最后的东转弯之前，有无限多的东结尾的路径(没有规则禁止我们的最后两次东-东转弯)。无数以北和南结尾的路径也是如此。仅仅通过向西旋转整个东组，我们就把它变成了一个包含所有东、北和南的点的组。所有的起点现在都在那里了(因为每条只包含一个东转弯的路径，现在都回到了原点)。

此时，我们已经复制了六组中三组的所有点(北、南和起点)。接下来，我们只需要复制其他三组(东、西和极点/中心)。前两个很简单：只要将北组向南旋转，即可获得所有北、东和西的点。最后，我们需要复制极点和中心点。这一过程类似于戴维·希尔伯特在1924年提出的另一个与无穷有关的论点“希尔伯特大酒店”，同年巴拿赫和塔尔斯基提出了他们的悖论。

在“希尔伯特大酒店”这个思维实验中，一个有无数个房间的酒店永远没有“最后”的房间或最终的客人，你可以随时添加更多的房间而不会耗尽空间。现在想象缺失的那组极点是分布在复制球体上不同纬度线上的空位——将每条纬线上的所有点移过去，无穷就会填补空缺。

而空置的中心点位于另一个圆上，也可以用同样的方法填充。结果，我们复制了所有六组——每六个组就可以合并成一个球体，这样我们克隆了二个球体，即“一”变“二”。

结果感觉不可能，仅仅通过分解和重新排列，我们怎么能让一个物体的体积翻倍呢？使巴拿赫-塔尔斯基悖论成为可能的数学规则被称为选择公理。这是一个被称为策梅洛-弗兰科尔集合论或ZFC的系统中的九个公理之一，该系统是现代数学的基础。

巴拿赫-塔尔斯基结构的主要关键是：我们可以把一个可测量的集合分解成不可测量的集合。在某种意义上，度量类似于体积。事实上，巴拿赫-塔尔斯基定理在应用于物理世界的意义上是不“现实”的。反对巴拿赫-塔尔斯基定理物理实现的可能性的通常论点是基于质量守恒的物理定律，而不是体积。

与几何中的大多数定理不同，这个结果的数学证明以一种批判的方式依赖于集合论公理的选择。可以使用选择公理来证明，选择公理允许构造不可测量的集合，即不具有普通意义上的体积的点的集合，并且其构造需要不可计数的选择(见图64)。

图 64

一个球和它自身的两个拷贝是等度分解的。对球来说，五块就足够做到这点了，但少于五块却不行。这个悖论甚至有个更强的版本：任意两个三维欧几里得空间具有非空内部的子集是等度分解的。

巴拿赫 - 塔斯基悖论出人意料的地方是仅用有限块进行旋转和平移就能完成变换。使这个悖论成为可能的是无限的卷绕。技术上，这是不可测的，因此它们不具有“合理的”范围或者平常说的“体积”。

对于三维以上的情形这个悖论依然成立，但对于欧几里得平面它不成立。（以上叙述不适用于三维空间的二维子集，因为这个子集可能具有空的内部。）同时，也有一些悖论性的分解组合在平面上成立：一个圆盘可以分割成有限块并重新拼成一个面积相同的实心正方形。

这个悖论表明如果等度分解的子集被认为具有相同体积的话，就无法对欧几里得空间的有界子集定义什么叫做“体积”。这个悖论也表明在数学中存在一类集合不具有类似长度、面积或者体积的度量。

勒贝格可测集容易构造，例如直线上的任意开区间或者闭区间都是勒贝格可测集，它们的测度就是区间的长度。意大利数学家维塔利在1905年使用选择公理在实直线上得到了第一个不可测集。另一个著名的不可测集是德国数学家豪斯多夫在1914年发表的豪斯多夫悖论。巴拿赫-塔斯基悖论是在豪斯多夫悖论的基础上产生的，它分割球体得到的子集正是不可测集，因为假如它们是勒贝格可测集，它们的测度的和既等于原球的体积，又等于（在旋转和平移后）两个原球的体积，这与测度的旋转不变和有限可加性矛盾。

美国数学家科恩在1963年证明选择公理和广义连续统假设独立于 ZF 集合论。索洛维使用他的方法在1970年证明了在 ZF 集合论中，实直线上的所有集合都是勒贝格可测集，即使加入一个较弱的选择公理（DC）也得不到不可测集。所以，为了得到不可测集，选择公理是必要的。

(3)球体反转(sphere inversion)

拓扑学研究的是不会因连续变形而改变的几何对象的属性。一个标准的低级数学笑话是，拓扑学家认为咖啡杯和甜甜圈等价，因为它们都是鸟居——一个可以不断变形为另一个，而不会切割或压皱表面，这被称为同胚。

球体是一个二维表面，就像无限薄的肥皂泡或气球（但没有用于充气的孔）。将气球翻过来很容易：在气球上切一个洞，将其拉过洞，然后修复洞。但不开孔能做到吗？用数学术语来说，翻转球体意味着将球体从内向外翻转，使其表面始终连续（无撕裂或孔洞）且光滑（无折叠、折痕或扭结）。该表面必须能够无限制地拉伸和弯曲，并且能够与自身相交，因此它不能由普通材料制成。

1958年，S·斯梅尔提出了所谓的“球体反转”。该定律断言，可以通过连续变形将球体由内向外转动，而不会导致球体刺穿、撕裂、出现折痕或挤压表面。随着计算机动画的出现，斯梅尔的球体反转已经成为现实，至少在三维虚拟空间中是这样。这一结果是如此违反直觉，证明如此技术性，以至于该结果多年来一直存在争议。

计算反点的球体（即执行几何反演的球体）。例如，环状体是环面上的反演。反演球体的中心称为反演中心，其半径称为反演半径。当考虑对偶多面体时，反转球体通常被称为中间球体（或中间球体，或往复球体）。在二维空间中，反转球会坍缩成一个反转圆。

自从最初的证明以来，人们已经发现了许多球体外翻的实现方式，其普遍性和复杂性不一而足。1961年，阿诺德·夏皮罗设计了一种明确的外翻术，但没有公开发表。菲利普斯（1966年）听说了这一结果，并试图复制它，实际上设计了一个他自己的独立方法。莫兰设计了另一种外翻姿势，这成为马克斯（1977年）电影的基础。莫兰的外翻还产生了描述这一过程的显式代数方程。弗朗西斯和莫兰（1979年）随后出版了夏皮罗的原始方法。

3.冯·诺依曼悖论(von Neumann paradox)

在数学中，以约翰·冯·诺依曼命名的冯·诺依曼悖论是这样一种思想，即人们可以将一个平面图形(如单位正方形)分成若干点集，并对每个点集进行面积保持仿射变换，从而得到两个与原始图形大小相同的平面图形(见图65)。约翰·冯·诺依曼在1929年利用选择公理假设证明了这一点。它基于早期的巴拿赫-塔尔斯基悖论，后者又基于豪斯多夫悖论。

图 65

巴拿赫和塔尔斯基已经证明，使用等距变换，拆开和重新组装一个二维图形的结果必然与原始图形具有相同的面积。这将使得不可能从一个单位正方形创建两个单位正方形。但是冯·诺依曼意识到，这种所谓的矛盾分解的诀窍是使用一组变换，其中包括作为子群的具有两个生成元的自由群，而面积保持变换群(无论是特殊的线性群还是特殊的仿射群)包含这样的子群，并且这开启了使用它们执行矛盾分解的可能性。

冯·诺依曼的方法概述可参考图66中的(非正式)描述。

图 66

冯·诺依曼在研究巴拿赫-塔尔斯基现象的过程中分离出的一类群对许多数学领域来说是非常重要的：这些是顺从群，或具有不变均值的群，包括所有有限群和所有可解群。一般来说，当在等分解性定义中用于等价的群不可接受时，就会出现悖论分解。

悖论通常是一个令人困惑的结论，我们似乎被我们的推理所驱使，但这是非常违反直觉的。在这些悖论中，有一大堆逻辑性质的悖论，这些悖论甚至让专业逻辑学家也感到困惑，比如“化圆为方”。这个问题由 A. Tarski 在 1925 年提出，它询问是否有可能将平面中的圆盘划分为有限数量的集合，这些集合可以使用平面的等距重新排列以形成正方形的分区。M. Laczkovich 在1989 年宣布了积极的结果。