女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
1995年9月，澳大利亚建筑事务所 Ashton Raggatt McDougall（ARM）邀请著名数学家罗杰·彭罗斯为他们即将完工的墨尔本皇家理工学院历史悠久的Storey Hall建筑群翻新工程揭幕。彭罗斯承认该设计似乎“非常令人兴奋”（彭罗斯，1996 年），但他遗憾地拒绝了邀请，理由是他已经承担了太多的项目，无法在规定的时间访问澳大利亚。他在回复邀请函的最后附上了一份神秘的后记，其中记录了他目前正在研究“单拼块问题”，最近“发现了一个由一种拼块和复杂的匹配规则组成的拼块集，可以通过额外的两种小拼块来执行”（彭罗斯，1996 年）。这份后记是了解彭罗斯与Storey Hall之间神秘联系的第一条线索，也是了解一位科学家与一座备受争议的获奖建筑之间神秘联系的第一条线索。
Storey Hall意义重大的原因有很多，但只有一个原因促使ARM邀请彭罗斯开放它。新落成的楼层大厅实际上覆盖着一组特殊的巨型非周期性密铺，这些密铺是罗杰·彭罗斯在20世纪70年代发现的，后来被称为彭罗斯密铺。虽然从历史上看，建筑总是与密铺和图案工艺密切相关，但Storey Hall代表了这一传统的复兴。
但是什么是彭罗斯密铺，它与一般建筑尤其是门厅有什么关系呢？本文概述了彭罗斯密铺的特殊属性和特征，然后介绍了它们在ARM楼层大厅中的使用方式。这种二元分析的目的不是批评Storey Hall或其对非周期性密铺的使用，而是将ARM的设计作为一种催化剂，在建筑形式生成的背景下对彭罗斯密铺进行更深入的分析。
周期密铺和非周期密铺
几何学家Grunbaum和Shephard记录到“密铺艺术一定起源于文明历史的很早时期”，因为随着“用石头覆盖地板”的第一次尝试，人类“可以说已经开始了密铺的制作”(Grunbaum和Shephard，1987: 1)。纵观历史，密铺总是与建筑联系在一起。从最早的原始小屋铺上编织席子，用砖石砌成墙壁，或刻上几何图案的那一刻起，用数学术语来说，它就变成了密铺结构。这是因为数学密铺不是由组合材料的工艺来定义的，而是由通过应用一组通常为多边形的形状来重复创建图案来定义的。由于这个原因，切割石马赛克和彩绘壁画或雕刻的凯尔特绳结一样，都是数学密铺的例子。在数学意义上，任何使用有限的一组形状覆盖或填充表面的几何图案系统都被认为是密铺。Grunbaum和Shephard认为建筑艺术总是与密铺工艺密切相关的原因之一是，密铺或图案通过装饰为建筑物表面增添了丰富性。这种装饰的价值不仅仅在于美观，还在于象征性、实用性和经济性。Grunbaum和Shephard认为，在历史上的任何时候，“无论哪种密铺受到欢迎，它的艺术和技术总是吸引着熟练的工匠、有创造力的从业者和慷慨的资助者”(1987: 1)。然而，尽管历史上有许多关于通过几何原理形成建筑的论文，但这些著作很少考虑密铺和建筑之间的关系。2此外，尽管约翰尼斯·开普勒在他1619年的著作《和谐世界》中分析了密铺图案，但理解密铺属性的严格科学的方法仅在最近几十年才形成。
20世纪60年代早期，人们对王昊的作品越来越热衷，这在数学界已成为不争的事实。1961年，哲学家王昊对使用几何作为符号逻辑工具时的模式识别问题产生了兴趣。王昊想确定是否有一个程序来确定给定一组多边形形状后，它们是否会以一定重复其构型的方式密铺一个平面。重复其配置或显示多条对称线的密铺通常称为周期性密铺。最容易识别的周期性密铺是基于正方形、矩形、梯形或平行四边形的集合。为了检验是否存在一种程序来确定一组形状是否会周期性密铺，王昊开发了一组正方形拼块，每个拼块都具有不同的颜色边缘。王昊拼块的边缘只允许连接其他相同颜色的边缘——它们不能旋转或反射，只能平移。王昊推测，如果存在非周期性密铺（不重复其图案的密铺），那么他无法推导出一个决策程序，由此给定的一组拼块将周期性地密铺一个平面。相反，如果可以确定决策过程，那么就不存在非周期性的密铺系统（Rubinsteim 1996:20–21）。
为了澄清王昊的推测，必须了解有两种类型的非周期性密铺。有些拼块集可以周期性和非周期性地填充一个平面，有些拼块集只能非周期性地填充一个平面。3前者的一个例子是Gardner的周期性和非周期性拼块集；选择由放置拼块的人决定（图78.1和78.2）。这种几何集合的例子数不胜数；彭罗斯经常使用马乔里·赖斯1976年的单个拼块集来解释这一观点（图78.3）。尽管如此，在数学中通常被称为非周期性的形状集通常是那些只能非周期性地填充平面的形状集，或者那些必须是非周期性的形状集。这后一类形状是王昊主要关注的形状。
图78.1：周期性使用的加德纳四边形拼块集(正方形周期)。
图78.2：非周期性使用的加德纳四边形拼块集（仍具有正方形周期）。
Fig. 78.3 Rice’s single polygon set tiling a surface periodically. Image: author
图78.3：赖斯的单多边形集周期性地密铺一个曲面。
1965年Robert Berger发展了王昊的论文，证明了不存在周期性密铺曲面的判定过程，因此一定存在一组非周期性拼块。认识到这一点后，Berger着手寻找第一组非周期性拼块。他发现的拼块系统由20000多种不同形状组成，第二年展出。然而，Berger的密铺系统是基于一种逻辑特性，在接下来的几年里，许多数学家生产了数量越来越少的拼块集，这些拼块集将非周期性地填充一个平面。1967年，Berger将拼块数量从20426块减少到104块，1968年，唐纳德·克努特进一步将拼块数量减少到92块。然而，在1971年，当拉斐尔·罗宾逊允许旋转和反射一组拼块，然后从拼块上完全去除颜色时，发生了更戏剧性的减少。Robinson没有使用颜色，而是使用了一系列几何添加和缩进来确保某些边缘可以组合在一起，而其他边缘则不能。通过这种方式，Robinson将Knuth的92张牌减少到了6张牌（图78.4和78.5）。实质上，Robinson的拼块仍然是王昊拼块，因为它们仍然基于正方形密铺图案，因此它们代表了建立在基础正方形周期上的最小可能非周期拼块集。然而，尽管方形密铺周期的最小限制是六块拼块，但彭罗斯在1973年提出，通过使用平行四边形密铺周期，该集合可以减少到只有两块拼块。此外，彭罗斯随后提出了两组两块拼块，每种拼块只能非周期密铺。
图78.4：罗宾逊的六块拼块套装。
图78.5：显示强迫非周期性的罗宾逊拼块。
数学家约翰·康威将第一套“彭罗斯拼块”命名为“飞镖和风筝”套装，该套装源自一个菱形（或平行四边形），其四条边的长度相等（长度=ø），钝角为108°，锐角为72°。然后在菱形的锐角之间画一条线（将每个锐角分成两个32°角），其长度等于沿这条线测量的菱形典型边的长度（即ø）（图78.6和78.7）。以这种方式创建的新点连接到菱形的剩余钝角。然后沿着这两条线切割菱形，形成风筝形状（角度为72°、72°、72°和144°）和飞镖形状（角度为36°、72°、36°和216°）。然后，如果连接钝角的两条切割线的长度为1，则创建的其他长度按比例是黄金分割点的反射（即ϕ=（1+√5）/2）。最后，这样创建的两个形状，风筝和镖，被着色或缩进，以确保它们只能连接到某些其他表面，因此只能非周期密铺。
图78.6：彭罗斯飞镖和风筝拼块的构造。
图78.7：显示强迫非周期的彭罗斯飞镖和风筝图案（为清晰起见，去掉了图案上的色块和压痕）。
彭罗斯拼块“飞镖和风筝"组的一个有趣特性是，如果要密铺一个无限大的表面，所需的风筝数量是飞镖数量的 (1+√5)/2（约 1.618）倍；换句话说，飞镖和风筝的比例是黄金分割点。
第二组彭罗斯非周期性拼块中的第一块拼块与用于构建第一对拼块的起始菱形完全相同。也就是说，第一块拼块是一个边长相等（长度 = ϕ）的菱形，钝角为 108°，锐角为 72°。第二块菱形砖也有四条边，长度与第一块相等，但钝角为 144°，锐角为 36°。然后用颜色、阴影或凹痕对它们进行修改，以确保它们按周期排列（图 78.8 和 78.9）。第二组笔画的比例和比率同样反映了黄金分割的特征。通过仔细观察多种比例的毕达哥拉斯五角星图（图 78.10），可以更容易地理解这两组彭罗斯拼块与黄金分割点之间的密切关系。
图78.8：彭罗斯双平行四边形拼块的构造。
图78.9：显示强迫非周期性的彭罗斯孪生平行四边形拼块（为清晰起见，去掉了强迫图案的色块和凹痕）。
图78.10：毕达哥拉斯五角星图，显示了不同比例的四块彭罗斯拼块。
彭罗斯密铺图案的一个特殊特征是它们表现出准对称性。正常情况下，拼块图案中任何类型的对称都会使一组拼块呈现周期性，但彭罗斯拼块通过旋转72°显示出部分对称，而不是完全对称。因此，彭罗斯密铺被称为是准对称的。这一特性很重要，因为直到1984年，人们还认为所有的晶体材料都必须基于具有常规周期对称性的晶格。晶体仅在旋转2、3、4和6次时表现出旋转对称性。然而，在1984年，丹妮·谢克曼通过电子显微照相发现了铝锰合金中的一种非周期性晶体结构。这种被称为准晶的晶体结构几乎具有五重对称性，就像彭罗斯拼块图案几乎对称一样。尽管正如克拉克内尔记录的那样，早在1966年就发现了晶体的五重对称性，但人们普遍认为晶体不可能具有五重对称性，因为形态结晶学中对此一无所知（克拉克内尔1969年）。对加德纳来说，准晶的发现在科学界产生了巨大的反响:
在物理学家、化学家和晶体学家中，这一发现的影响是爆炸性的。类似的非周期性结构很快被引入其他合金，并开始出现数十篇论文。很明显，固体物质可以表现出任何旋转对称的非周期晶格。两个或两个以上的各种各样的实心砖被提议作为模型，一些强迫非周期性，一些仅仅允许(加德纳1989: 25)。
五重准对称违背了晶体限制定律，该定律表明晶格不能具有五重对称。然而，正如Stewart和Golubitsky所坚持的那样，“准晶体‘几乎重复’了它们的结构，并且可以具有五重对称轴”（Stewart和Golubitsky 1993: 95）。然而，尽管非周期拼块图案的几何和数学有了这些最新的发展，彭罗斯拼块仍然被广泛认为是“娱乐数学”的例子（Gardner 1989）。虽然彭罗斯密铺可能具有一些潜在的能力来描述自然无机形态中的晶体异常或“对称性破坏”（Stewart和Golubitsky 1993年），但它们在很大程度上仍然没有明确应用于任何特定领域。
斯托里大厅
斯托里大厅是一个大型礼堂，其附属空间建在一个现有的历史建筑中（图78.11和78.12）。该建筑于1996年底投入使用，此后获得了多项州级和国家级设计奖。设计中最有争议的地方是，ARM公司精心修复和保留了原有维多利亚时期建筑的某些部分，但却将其与色彩鲜艳、几何形状的现代建筑结合在一起。建筑设计师兼评论家诺曼·戴（Norman Day）描述说，维多利亚时期的原始细节几乎完全被“白色、绿色、粉色、紫色和红色面板，以及密铺的绿色霓虹灯和巨大的白色半透明反射灯具面板”（Day 1995: 36）的复杂贴花所淹没。这些拼块覆盖了斯旺斯顿街建筑的外立面和大部分内部空间，都是彭罗斯拼块的第二组（双平行四边形），按照彭罗斯的颜色（而不是彭罗斯的凹痕）进行标记。用ARM的话说，在建筑外部，彭罗斯拼块“笼罩在面纱和帷幔、折叠的窗帘、美味的花边和粗壮的绳索线条中，标示着彭罗斯神秘几何的内部边界”（Ashton Raggatt McDougall 1996: 9）。在建筑内部，尤其是在礼堂空间，“拼块仿佛在多个维度上重复自己的图案”。
ARM声称，在Storey Hall 的设计中，他们使用彭罗斯拼块作为双重策略的一部分，即改变现有结构中占主导地位的欧几里得几何图形，并将其作为“新科学”力量的象征。对于ARM 来说，使用彭罗斯拼块不仅仅是指平面填充几何，而是指与他们所描述的“新数学”相关的更大的概念转变。不同的批评者将这一说法解读为彭罗斯密铺与分形几何之间存在联系。例如，Day声称，彭罗斯拼块必须与外墙本身的形式结合起来阅读，外墙是“现场浇筑的混凝土墙”，“根据新的复杂几何学”而扭曲（Day 1995: 40）。在建筑内部，阅读彭罗斯拼块背后含义的行为变得更加复杂，因为这些拼块与一系列其他科学和几何图形层叠在一起（Kohane 1996: 8-15）。诺曼·戴认为，在彭罗斯的几何图形中，还有通向“混沌理论、沃尔特·伯利·格里芬、城市主义、性革命、女权主义、爱因斯坦的石窟、柏拉图的洞穴、X 和 Y 染色体、金库雕塑、悖论[和]语境主义”的标志（Day 1995: 37）。
但是，彭罗斯拼块是否具有意义，或者它们仅仅是几何知识的图标？当本章作者向查尔斯·詹克斯（Charles Jencks）询问将数学形式应用于历史建筑外观的有效性时，詹克斯回答说，图标的使用越具有“变革性”，结果就越有趣。在詹克斯看来，虽然斯托雷厅“在剖面图或平面图上并没有真正使用彭罗斯拼块图案......但它在墙体深度、整体装饰和图标方面仍然使用了彭罗斯拼块图案”（Ostwald et al.）。詹克斯认为，所有这些用途都是创造建筑形式的适当手段。但这种使用方式难道不是简单的“贴花”或“纯装饰”吗？詹克斯认为，在斯托里大厅发生的事情远不止将彭罗斯拼块转换成建筑装饰这么简单。他说：“看看这里的照明，以及它与古老的维多利亚式建筑之间的关系。它的肌理与维多利亚时期的建筑相似，具有相同的信息密度”。如果只是简单的“贴花或应用装饰”，那就“没有组织深度更高的东西有趣”（Ostwald 等人，1996 年：30）。
ARM使用彭罗斯拼块作为建筑形式的生成器，这似乎并不反映其对地形数学的精读，而是反映其对这些思想在理解类晶体中的作用的认识，以及与分形几何的联系，但这种联系并不那么直接。莱昂·范·沙克（Leon van Schaik）（1996: 5）将斯托雷厅描述为“一种通过当代表面数学来工作的建筑”。对于van Schaik来说，彭罗斯拼块不仅指的是地形数学，而且是“形式展开的交响乐，将我们包裹在与新数学的空间性的相遇中”。从这个角度来看，使用彭罗斯拼块所产生的建筑形式只是建筑与拼块之间历史关系的延伸，而这种关系近年来似乎缺乏创造性。
彭罗斯密铺和建筑
尽管它们可能用于解释准晶，彭罗斯密铺仍然只是简单的平面填充图案，具有一些不寻常的性质。此外，这些不寻常的属性并没有以任何明显的方式与架构特别相关。4最后，在架构的上下文中，周期拼块集合与非周期集合是相同的；选择使用一个还是另一个纯粹是审美的。然而，由于彭罗斯的发现，拼块几何学有了两个新的发展，似乎对建筑形式的发展更有利可图。这两个发展看起来更有用的原因是它们促进了对非周期密铺中空间维度以及拓扑维度的理解。1976年，数学家罗伯特·阿曼(Robert Ammann)提出，可以设计一个两分量集合，它可以非周期性地密铺空间。这意味着阿曼的拼块不是“平面填充”系统，而是“空间填充”重要的是，这个相同的系统是由日本建筑师和几何学家宫崎浩二(宫崎1977)在大约同一时间独立发现的。阿曼的非周期性空间填充拼块是通过创建两个实体形成的一对菱形，每个实体都有六个边，与彭罗斯用于形成飞镖和风筝组的起始菱形完全相同。也就是说，空间填充拼块的每个表面都是菱形，其边长相等，108角为钝角，72角为锐角。以这种方式产生的两个立体与彼得·艾森曼的X房屋轴测图模型的基本几何形状有着不可思议的相似之处，也与他的el偶数奇数房屋项目(Eisenman 1982，1995)相似。当以某种方式着色或修改时，阿曼的拼块只能在三维空间中非周期地组合在一起。
密铺几何学的最后一个发现——一个相当复杂的发现，必须在这里以非常肤浅的方式描述——涉及密铺平面中的强制洞。值得注意的是，为了描述彭罗斯非周期密铺中强迫洞的存在，数学家们求助于建筑隐喻的使用（奥斯特瓦尔德和摩尔1995；奥斯特瓦尔德等人1997年）。例如，约翰·康威将洞理论的发现描述为类似于想象“一座巨大的寺庙，地板上密铺着彭罗斯拼块，正中央有一根圆柱。拼块似乎在柱子下面。实际上，柱子覆盖了一个无法密铺的洞”（加德纳1989:26–27）。彭罗斯拼块的某些组合（以及任何必要的非周期性拼块）可能会强制无法密铺的区域。传统上，这种类型的错误是通过移除一些周围的拼块并重新加工图案直到没有洞为止来纠正的。但是如果洞形成了，它们会以许多微妙而重要的方式影响更大的格局。密铺平面中的孔，就像填充空间的非周期拼块一样，是突出的几何空间系统，揭示了建筑、彭罗斯密铺和其他非周期密铺之间的许多可能联系。非周期密铺的这两个方面值得在体系结构中进一步研究。
参考文献
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青山不改，绿水长流，在下告退。
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