长假终于开始了，各个商场、景区、车站瞬间涌入了庞大的人流，这些地方的厕所也经受了巨大的考验，尤其是女厕所。经常可以见到“男厕冷清清，女厕排长队”的现象（图 1）。许多女性常常需要排队半小时才能上厕所。这种长时间的排队显著影响了女性出行的舒适性和便利性。长期以来，如何有效缩短女性上厕所排队时间，一直是全球性的难题。
造成女性上厕所排队的原因是多方面的。首先，设计上的差异导致男厕能容纳更多小便池，而女厕通常只有占地面积较大的隔间（图 2）。这导致在相同空间面积内，女厕可用的厕位比男厕少 20%-30%。
图 2: 相同面积男厕可以有更多厕位
其次，女性上厕所需要的时间本身就比男性长，通常是男性的 1.5 倍至 2 倍[1]。这点不难理解，想想男、女各自的上厕所流程就知道了。男性小便时，流程包括解、掏、滋、抖、收，闪电五连鞭一气呵成，方便快捷。而女性小便时，需要依次打开隔间门、再关上隔间门、脱裤子蹲下、排尿、冲水、抽纸擦屁屁、起身穿裤子、打开隔间门、最后再关上隔间门。特别是当穿着连体裤、丝袜等复杂衣裙，这个过程会更加耗时（图 3）。
图 3: 女性漂亮的衣裙可能会增加上厕所时间
如果遇上生理期，女性更换卫生巾的撕、拉、扯、贴这一套复杂流程也会大大增加如厕时间（图 4）。此外，女性在厕所中还可能进行整理内衣、补妆、使用手机等额外活动[2]，这些操作都会进一步增加她们的如厕时间。
图 4: 如果碰上生理期，情况将变得更为复杂
从世界上第一个女厕所设立以来，女厕所排队问题就一直备受关注，各国也都致力于解决这一问题，我国也不例外。2014 年，台湾省东海大学设计的“绅士厕所”夺下红点国际设计“最佳奖”，该厕所通过双面可开门的厕位来优化使用效率。2016 年上海引入的首个无性别公厕包括 10 个通用厕位。同年，我国还更新了城市公共厕所的设计标准，将女厕位与男厕位的比例调整为至少 2:1。很多人意识到，面积上男女厕所一样大的设计看似公平，实际并不合理。要解决女厕所排长队问题，最好的方法就是直接或间接增加女厕位。本文将从数学模型的角度，讨论厕所男女厕位分配对排队等待时间的影响。
问题
本文考虑这样一个问题：在一个可建造 20 个隔间的典型区域内，如何合理分配男女厕位以减少等待时间[3]。假定男性小便池和隔间所占面积（含配套面积）的比例为 3/4，且男厕至少配置 2 个隔间。设女厕的厕位数为 （全部为隔间），男厕的厕位数为 （包括 2 个隔间及 - 2 个小便池）。为了最大化空间利用率（尽可能设置更多的厕位），同时考虑到面积限制，有以下约束条件：
例如，若在女厕设置 = 10 个厕位，那么男厕应配置 = 12 个厕位。图 5 展示了这种厕位分配情况下的厕所平面图。
图 5: 10 个女厕位 + 12 个男厕位的厕所布局
虽然此种厕位分配可保证男女厕所面积大致相等，但在上式的约束条件中并未作此要求，如图 6 所示的布局方案也在本文讨论的范围中。
图 6: 12 个女厕位 + 10 个男厕位的厕所布局
接下来，本文将分别利用排队论（queueing theory）模型和离散事件模拟（Discrete Event Simulation）来研究厕位最优分配问题。
排队论模型
当前要讨论的问题属于典型的排队系统，也称为随机服务系统。排队论为这类问题提供了标准的数学理论和方法。将需要上厕所的人视作排队论中的顾客，厕所中每一个厕位则相当于一个服务台。在这种情况下，排队上厕所问题可被简化为排队论中的经典 M/M/c 模型[4,5]。在“M/M/c”模型中，第一个“M”表示顾客到达过程遵循负指数分布，第二个“M”表示服务时间也遵循负指数分布，而“c”则代表服务台的数量。在应用 M/M/c 模型解决上厕所排队问题之前，本文先介绍一下该模型的基本概念和原理。
在 M/M/c 排队模型中，顾客到达 个服务台前并排队等候，直到得到服务。每个服务台最多同时为一名顾客提供服务。系统中的顾客数量 = 在队列中等待的顾客数量 + 正在接受服务的顾客数量。如图 7 所示，假设顾客相继到达的时间服从参数为 的负指数分布，我们称 为到达率，它表示平均单位时间到达的顾客数。系统中共有 个服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 的负指数分布。我们称 为服务率，为单个服务台单位时间能服务的顾客数，或平均服务时长的倒数。
图 7: M/M/c 排队模型示意图及状态转移
令 表示在时间 时有 个顾客在系统中（在队列中或正在接受服务）的概率。如果服务强度 = < 1，即单位时间内到达的顾客数小于单位时间内所有服务台能处理的顾客数，则经过足够长的时间，系统将进入稳定状态（又称平衡状态）。在这种情况下，队列长度不会无限增加。处于平衡状态下， 的大小将不再依赖于时间 ，因此可以直接用 来表示系统中有 个顾客的概率。如图 7 所示，处于平衡状态的系统应满足以下状态平衡方程 由此可以得出顾客在系统中的概率分布
考虑到概率总和必须等于 1，有
因此，可以得到系统的空闲概率：
当系统中顾客数量达到或超过服务台数量时，新到的顾客必须等待。顾客需要排队等待的概率为：
由以上得到的稳态分布可得平均队长
根据 Little 定律，稳定系统中平均排队顾客数量等于平均到达率乘以顾客排队的平均时间。因此，顾客的平均排队等待时间为：
上式也容易理解，稳态系统中，一个顾客排队等待时间等于在他身后重新形成长为 的队列所需的时间。至此，本文已经推导出了 M/M/c 排队模型中平均队长和平均等待时间。
在本文要讨论的问题中，假设平均每 10 秒（1/6 分钟）就有一名男性和女性需要上厕所，即男女到达的时间均服从参数为 = 6 min 的负指数分布。忽略男性使用隔间或小便池之间的时间差异，假设男性上厕所的平均时间为 1 分钟，女性为 1 分 30 秒，即男女上厕所的时间分别服从参数为 = 1 min 和 = 1/1.5 = 2/3 min 的负指数分布。如果厕所的厕位分配如图 5，即男女厕位数分别为 = 10 和 = 12。将这些参数代入 M/M/c 模型中，可以计算出男女平均排队等待时间分别为 0.22 s 和 60.19 s。如果代入不同的女厕位数，相应的有不同的男厕位数，就可以得到不同厕位分配下男女上厕所平均排队等待时间了，如图 8 所示。
图 8: 不同厕位数男女如厕排队等待时间
结果表明，当女厕位数从 10 增加到 11 时，女性的平均等待时间显著降低至原来的 1/3。这说明，即使是一个厕位的变动，也能对等待时间产生显著影响。进一步分析显示，随着女厕位数的增加，女性的平均等待时间持续减少，而男厕位数减少导致男性的平均等待时间逐渐增加。当男女厕位数分别设为 10 和 12 时，男女的总平均等待时间最低，仅为 4.8 秒，并且男女排队等待时间的差距也最小，女性的等待时间仅比男性多 6.5 秒。由于本文仅分析了单一公共厕所的情况，厕位比例可能显得不够连续。然而，从图 8 的分析可以推断，在更广泛的多厕所环境中，总的男女厕位的最佳比例应介于 10:12 至 8:13 之间，即大约在 1:1.2 至 1:1.7 之间。
需要注意的是，M/M/c 模型仅适用于处于稳定状态的系统。为了确保排队系统达到稳定状态，男女厕所的服务强度都需要小于 1，即：
这意味着男厕和女厕的厕位数必须分别大于 6 和 9。这也是为什么在图 8 中，本文仅考虑女厕的厕位数从 10 增加到 14，而相应的男厕位数从 12 减少到 7 的配置。
离散事件模拟
离散事件模拟使我们能够考虑更复杂的厕所布局方案，比如引入男女通用厕位（又称中性厕位）。通用厕位的利用效率更高，能够有效减少平均等待时间。在男女通用厕所中，所有隔间都可供男性和女性使用，并可为男性额外配置一定数量的小便池。假设通用厕位数量为 ，男性小便池数量为 ，则问题中的面积约束条件变为：
以男女厕所面积相等的基准布局（图 5）为例，对其略作调整，将所有男厕和女厕的隔间改为男女通用厕位，相应的模拟结果如图 13 所示。对比调整前的结果（图 9）可以发现，这种调整使女性的平均排队等待时间从 6 分 33 秒降低到了 2 分 36 秒，而男性的等待时间依旧保持在半分钟以内。这种布局大幅缓解了女性的排队等待问题，同时也没有对男性造成太大影响。不过在这种厕位分配下，女性的平均等待时间仍是男性的 5 倍多，两者之间的差异依然明显。
为进一步降低女性上厕所的排队等待时间，可以将通用厕位数增加到 14 个，同时将男性小便池数量压缩至 8 个。这种厕位分配方案的模拟结果如图 14。女性的平均等待时间进一步降低到了 1 分 26 秒，而男性的平均等待时间增加到了近 1 分钟。这种厕位分配下，女性的平均等待时间只比男性多半分钟。
图 13 和 14 的方案中仍然为男性保留了专用小便池，这可能会引起部分女性的不满。如果要保证在所有情况下男性和女性平均等待时间严格相同，可以考虑不再为男性配备专用小便池，而将所有厕位都改为通用隔间。这种情况下的模拟结果如图 15 所示，此时男女将拥有相同的平均等待时间 2 分 7 秒。然而，无论对男性还是女性，这种方案都比保留 8 个小便池的方案（图 14）更糟糕。这是因为全部改为隔间会减少总的厕位数，迫使所有男性也必须和女性一起排队使用隔间。
为了确定最佳的男女通用厕位分配方案，本文对更多不同通用厕位分配进行了模拟，结果如图 16 所示。随着通用厕位数的增加，女性的平均等待时间最初有所减少，但当通用厕位增加到 14 个后，女性的平均等待时间反而开始轻微增加。同时，随着男性专用小便池的减少，男性的平均等待时间持续上升。当通用厕位数增加到 18 个及以上时，男女的平均等待时间基本保持稳定。在所有厕位配置中，设置 14 个通用厕位和 8 个男用小便池时，女性的平均等待时间最短，同时也是男女总平均等待时间最短的配置。
追求所谓的“公平”不应以牺牲效率为代价，强行消除男女等待时间的差异会导致双方的等待时间都增加。因此，在考虑男女通用厕位的配置中，设置 14 个通用厕位和 8 个男用小便池的配置（图 14）被证明是最佳的方案。此外，我们还可从图 16 中推断，在更广泛的多通用厕所环境中，总的男厕位数与通用厕位数的最佳比例应介于 9:13 至 6:15 之间，即大约在 1:1.5 至 1:2.5 之间。
结论
本文通过排队论模型和离散事件模拟研究了如何通过优化厕位分配，以减少女性上厕所的等待时间，同时也考虑了对男性使用者的影响。以一个可建设 20 个隔间的空间为例，本文详细分析了不同的厕所配置方案，包括传统的男女独立厕所和创新的男女通用厕所。
排队论模型表明，适当增加女厕的隔间数量可以显著减少女性的等待时间，同时不显著增加男性等待时间。特别是当男女厕位数分别设为 10 和 12 时，实现了男女总平均等待时间最低，并且男女排队等待时间的差距也最小，表现出最佳的公平性。将模型结果推广到更广泛的多厕所环境中，总的男女厕位的最佳比例大约在 1:1.2 至 1:1.7 之间。离散事件模拟进一步验证了这些发现，并探索了将男女厕所隔间转换为通用厕位的效果。模拟结果显示，引入男女通用厕位不仅提高了厕所的使用效率，还显著缩短了女性的等待时间，而不会显著增加男性的等待时间。特别是当通用厕位数设为 14 个，男用小便池设为 8 个时，得到了最优的配置，实现了男女总平均等待时间的最短和相对平衡。将模型结果推广到更广泛的多通用厕所环境中，总的男厕位数与通用厕位数的最佳比例大约在 1:1.5 至 1:2.5 之间。
此外，本文还发现，如果进一步增加通用厕位数量，女性的等待时间并没有显著降低，反而因为男性小便池数量的减少导致男性等待时间增加。本研究还考虑了完全取消男性专用小便池的方案，将所有厕位改为男女通用厕位。虽然这种方案在理论上能够实现男女等待时间的完全平等，但实际上它增加了所有使用者的等待时间，这表明在设计公共厕所时需要在效率和公平之间找到适当的平衡。
本研究为男女独立厕所和通用厕所的设计提供了深刻见解，并提出具体的配置建议，以改善公共厕所的功能，使其更加人性化和高效。此外，本文的模型和模拟方法同样适用于其他公共设施的资源配置。
参考文献
[1]Michelle A Baillie, Shawndel Fraser, and Michael J Brown. Do women spend more time in the restroom than men? Psychological reports, 105(3):789–790, 2009.
[2]Bright Side. Why women have to wait longer to use public toilets, 2021: https://brightside.me/articles/why-women-have-to-wait-longer-to-use-public-toilets-802254
[3]Kurt Van Hautegem and Wouter Rogiest. No more queueing at the ladies' rooma, 2017: https://peopleqm.blogspot.com/2017/07/no-more-queueing-at-ladies-room.html
[4]Ivo Adan and Jacques Resing. Queueing systems. Eindhoven University of Technology, pages 43–45, 2015: https://www.win.tue.nl/~iadan/queueing.pdf
[5]Charles Zaiontz. Queueing theory, 2023: https://real-statistics.com/probability-functions/queueing-theory
[6]李东风. 统计计算-随机服务系统模拟, 2017: https://www.math.pku.edu.cn/teachers/lidf/docs/statcomp/html/_statcompbook/sim-des.html
[7]Manuel D Rossetti. Simulation modeling and Arena. John Wiley & Sons, 2015: https://rossetti.github.io/RossettiArenaBook/simulating-a-queueing-system-by-hand.html
作者：大馒头
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