如果您的南通出生证不慎遗失，您可以按照以下步骤进行登报声明：

1、准备材料：在办理登报声明前，请准备好以下材料：

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- 丢失出生证当事人的身份证复印件；

- 当事人户口簿；

- 出生证明丢失声明书（可向当地派出所或报社咨询格式和要求）。

2、选择报纸：一般情况下，南通地区的出生证遗失声明可以选择在《南通日报》、《江海晚报》等当地主流报纸上刊登。

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3、联系报社：拨打报社客服电话或前往报社营业厅，咨询办理登报声明相关事宜。

4、填写声明：按照报社提供的模板填写出生证明丢失声明书，确保信息准确无误。

5、缴费：根据报社的收费标准支付登报费用。

6、等待刊登：提交声明后，等待报纸刊登，一般情况下，遗失声明会在提交后的1-3个工作日内见报。

7、取证：在报纸刊登后，前往报社领取刊登证明，以备后续补办出生证时使用。

8、补办出生证：携带刊登证明、身份证、户口簿等相关材料，前往当地派出所户籍科申请补办出生证。

具体办理流程和所需材料可能因地区和政策调整而有所不同，建议您在办理前向当地相关部门咨询最新信息。