Y6～Y12都是响应变量，X1和X2是自变量（因子）。下面，我们通过这些响应变量和自变量形成的回归方程关系，以及等值线图和曲面图来理解曲面设计。
对Y6拟合回归方程。
Regression Equation in Uncoded Units
Y6 = 100.0 + 10.00 X1 + 5.000 X2 - 0.000000 X1*X1 - 0.000000 X2*X2 + 0.000000 X1*X2
方程不含二次项（平方项和交互项），是二元一次方程（线性方程）。
对Y6绘制等值线图。
因为是线性回归关系，所以等值线图的等值线是平行直线（没有弯曲），即没有二次项，线性关系。
最大值在右上角，最小值在右下角，但都没有封口，所以可以说没有最大值和最小值。
对Y6绘制曲面图。
因为是线性回归关系，所以曲面图是一个平面（没有曲面），即没有二次项，线性关系。
最大值在右上角，最小值在右下角，但都可以再延申，所以可以说没有最大值和最小值。
对Y7拟合回归方程。
方程不含平方项，含交互项，是二次方程。
因为是二次回归关系（但不含平方项），所以等值线图的等值线是略微有弯曲（因为不含平方项，所以弯曲不严重），即非线性关系。
最大值在右上角，最小值在右边，但都没有封口，所以不一定有极值存在。
因为是二次回归关系（但不含平方项），所以曲面图略有曲面（非平面），即非线性关系。
最大值在右上角，最小值在右下角，但都可以再延申，所以不一定有极值存在。
对Y8拟合回归方程。
方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号，开口朝下，有极大值。
等值线图显示，山顶，全封闭。中间深色是“大于96”，即山峰。四周每圈逐渐淡色，数值逐渐降低，即山脊。有极大值。
方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号，开口朝下，有极大值。
曲面图对照等值线图是一致的。中间突起（曲面）。有极大值。
方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号，开口朝下，有极大值。
对Y9拟合回归方程。
方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“+”号，开口朝上，有极小值。
等值线图显示，山顶，全封闭。中间深色是“小于102”，即山谷。四周每圈逐渐淡色，数值逐渐升高，即山脊。有极小值。
方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“+”号，开口朝上，有极小值。
曲面图对照等值线图是一致的。中间凹下（曲面）。有极小值。
方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“+”号，开口朝上，有极小值。
对Y10拟合回归方程。
方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。
b2-4ac＜0,一定有极值（b2-4ac≥0，一定没有极值）。a和c反号，b2-4ac＞0，肯定没有极值。要想b2-4ac＜0,则a和c必需同号才有可能。
b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。
等值线图显示，山顶，不封闭。中间深色是“大于100”，即山峰。四周每圈逐渐淡色，数值逐渐降低，即山脊。可能有极大值。
方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。
b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。
曲面图对照等值线图是一致的。中间向左上方突起（曲面），还可以延申，可能有极大值。
方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。
b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。
对Y11拟合回归方程。
方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。
b2-4ac＜0,一定有极值（b2-4ac≥0，一定没有极值）。a和c反号，b2-4ac＞0，肯定没有极值。要想b2-4ac＜0,则a和c必需同号才有可能。
b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。
等值线图显示，山顶，封闭。中间深色是“大于100”，即山峰。四周每圈逐渐淡色，数值逐渐降低，即山脊。有极大值（因为封闭）。
方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。
b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。
曲面图对照等值线图是一致的。中间向上突起（曲面），有极大值。
方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。
b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。
对Y12拟合回归方程。
方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号不致，有“+和-”号。马鞍型。
b2-4ac＜0,一定有极值（b2-4ac≥0，一定没有极值）。a和c反号，b2-4ac＞0，肯定没有极值。要想b2-4ac＜0,则a和c必需同号才有可能。
b2-4ac=（-30）2-4×(-2)×12=900+96=996＞0,无极值。
上下两头绿色区域是凸起部分（极大值区域），两边绿色部分是凹陷部分（极小值区域）。马鞍型。但不封口，可能有极值。
b2-4ac=（-30）2-4×(-2)×12=900+96=996＞0,无极值。
上下两头区域是凸起部分（极大值区域），两边部分是凹陷部分（极小值区域）。马鞍型。但可延申，可能有极值。
b2-4ac=（-30）2-4×(-2)×12=900+96=996＞0,无极值。
总结：
- 1.没有二次项，变线性。
- 2.二次项（平方项）系数方向一致。如果都为正，开口朝上，山谷型，有极小值。如果都为负，开口朝下，有极大值。
- 3.不一定有极值存在。
b2-4ac＜0,一定有极值（b2-4ac≥0，一定没有极值）。a和c反号，b2-4ac＞0，肯定没有极值。要想b2-4ac＜0,则a和c必需同号才有可能。
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