小乐数学科普：GIMPS最新发现已知最大素数——2 ¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ - 1（第52个梅森素数M136279841）|gimps|mersenne|小乐数学科普|库珀|梅森素数

作者：Mersenne Research, Inc 2024-10-21

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-10-22

2024 年 10 月 21 日，互联网梅森素数大搜索（GIMPS——Great Internet Mersenne Prime Search）发现了已知最大的素数 2 ¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ -1，它有41024320 个十进制数字。

这个素数是来自美国加利福尼亚州圣何塞的卢克·杜兰特（Luke Durant）在 10 月 12 日首次发现的。卢克是目前 GIMPS 最多产的贡献者。数千名志愿者与他一起使用www.mersenne.org/download/上提供的免费 GIMPS 软件。

新的素数，也称为 M136279841，是通过将 136279841 个2相乘，然后减去 1 计算得出的（2^136279841 - 1）。它比之前记录的素数多了超过 1600 万位，属于一类极其罕见的素数，称为梅森素数。这是迄今为止发现的第 52 个已知的梅森素数，每一个梅森素数都变得越来越难找到。

梅森素数以法国僧侣马林·梅森（Marin Mersenne，1588 - 1648）的名字命名，他在 350 多年前研究了这些数字。

GIMPS 成立于 1996 年，发现了迄今为止最大的18个梅森素数。志愿者下载一个免费程序来搜索这些素数，任何幸运地找到新素数的人都会获得 3000 美元的奖励。Chris Caldwell 教授创建了一个有关已知最大素数的权威网站，该网站目前由志愿者维护，并且拥有梅森素数的精彩历史。

GPU的崛起

这个素数结束了普通个人计算机寻找这些巨大素数 28 年的统治。2017 年，Mihai Preda 看到 PC 中 GPU 的能力不断增强，编写了 GpuOwl 程序来测试梅森数的素性，使所有 GIMPS 用户都可以使用他的软件。

36 岁的研究员、前 NVIDIA 员工卢克·杜兰特（Luke Durant）也了解他帮助设计的 GPU 的强大功能。卢克认为找到新的梅森素数将很好地证明 GPU 的用途不仅仅限于人工智能。GPU 也非常适合基础数学和科学研究。

Luke 于 2023 年 10 月开始为 GIMPS 做出贡献，并相信云中 GPU 可用性的爆炸性增长为 Mihai 开发的软件提供了独特的机会。卢克开发了基础设施在许多 GPU 服务器上运行和维护一套 GIMPS 软件。在这个素数被发现时，卢克的“云超级计算机”由数千个服务器 GPU 组成，横跨 17 个国家/地区的 24 个数据中心区域。

经过近一年的测试，卢克终于获得了回报。10 月 11 日，爱尔兰都柏林的 NVIDIA A100 GPU 报告称 M136279841 可能是素数。10 月 12 日，美国德克萨斯州圣安东尼奥市的 NVIDIA H100 通过 Lucas-Lehmer 测试证实了素性。

验证新素数

GIMPS 用户运行的程序执行费马可能素数检验。每一个成功的测试结果几乎肯定是一个新的素数。一旦 GIMPS 服务器收到可能的素数通知，就会在不同的硬件上使用不同的程序运行几个确定的 Lucas-Lehmer 素数测试。

Prime95 用于查找以前的梅森素数，由 Aaron Blosser 在 Intel CPU 上运行以验证新素数。PRPLL 是 GpuOwl 的一个分支，由 Luke Durant、James Heinrich、Serge Batalov、Ken Kriesel 和 Mihai Preda 在 AMD 和 NVIDIA GPU 上运行，以确认新的素数。Mlucas 由已故 Ernst Mayer 编写，由 Serge Batalov 在 Intel CPU 上运行，并于 10 月 19 日确认了素数。CUDALucas 是一个较旧的 GPU 程序，由 Serge Batalov 和 Luke Durant 在 NVIDIA GPU 上运行，也确认了这个新素数。

这是使用可能素数测试（probable prime test）发现的第一个 GIMPS 素数，引发了一些争论，即官方发现日期应该是进行可能素数测试的日期还是运行 Lucas-Lehmer 素性测试的日期。我们选择了Lucas-Lehmer日期。

关于Mersenne.org的互联网梅森素数大搜索

互联网梅森素数大搜索（GIMPS）由 George Woltman 于 1996 年 1 月成立，旨在发现新的梅森素数的世界纪录。1997 年，Scott Kurowski 使 GIMPS 能够自动利用数千台普通计算机的能力来搜索这些“稀有的数学宝石”。大多数 GIMPS 成员都加入了寻找可能发现创纪录的、罕见的、历史性的新梅森素数的兴奋之旅。寻找更多梅森素数的工作已经在进行中。可能存在尚未发现的更小的梅森素数，并且几乎可以肯定还有更大的梅森素数等待被发现。任何拥有相当强大的 PC 或 GPU 的人都可以加入 GIMPS 并成为一名大型素数猎人，并可能获得研究发现奖。所有必要的软件均可在www.mersenne.org/download/上免费下载。GIMPS 的组织形式是 Mersenne Research, Inc.，一家 501(c)(3) 科学研究慈善机构。如需了解更多信息，请访问www.mersenneforum.org和www.mersenne.org ；欢迎捐款。

GIMPS 是世界上寿命最长的分布式项目之一。它始于仅在英特尔 PC 上运行的软件。几年之内，恩斯特·梅耶尔（Ernst Mayer）编写了一个可以在各种非英特尔处理器上运行的程序。他的程序对于独立验证几乎所有 GIMPS 素数都发挥了重要作用。十年前，GPU 专用软件被添加到 GIMPS 系列中。几年后，Mihai Preda 开创性的 gpuowl 计划问世。GIMPS 现在为各种 CPU 和 GPU 提供了一整套程序。

这个素数的功劳不仅归功于发现素数的 Luke Durant、负责软件开发的 Preda 和 Woltman、维护 Primenet 服务器的 Blosser，还归功于筛选了数百万非素数候选者的数千名 GIMPS 志愿者。为了表彰上述所有人，这一发现的官方荣誉归功于“L. Durant、M. Preda、G. Woltman、A. Blosser 等人”。

George Woltman 负责 GIMPS 的软件，开发用于查找 GIMPS 前 17 个素数的 Prime95 客户端软件。Mihai Preda 编写并维护了 GpuOwl GPU 软件，随后 Woltman 参与了程序开发，最终实现了这一目标。Aaron Blosser 是系统管理员，根据需要升级和维护 PrimeNet 服务器。如果志愿者的计算机或 GPU 发现了新的梅森素数，志愿者就有机会获得3000 美元或 50000 美元的研究发现奖。电子前沿基金会（EFF）管理着 15 万美元的奖金（由一位匿名捐助者资助），奖励发现 1 亿位数的素数。卢克·杜兰特 (Luke Durant) 的发现有资格获得 3000 美元的 GIMPS 研究发现奖。他计划将该奖项捐赠给阿拉巴马州数学与科学学院的数学系。

GIMPS 项目背后的算术算法有着独特的历史。发现最近大梅森素数的程序基于一种特殊的算法。20 世纪 90 年代初期，已故的 Apple 杰出科学家Richard Crandall发现了使卷积（本质上是大乘法运算）速度加倍的方法。该方法不仅适用于素数搜索，还适用于计算的其他方面。在此工作期间，他还获得了快速椭圆加密系统的专利，该系统现在归苹果电脑所有，该系统使用梅森素数来快速加密和解密消息。George Woltman 用汇编语言实现了 Crandall 的算法，从而产生了一个效率空前的素数搜索程序，这项工作导致了 GIMPS 项目的成功。

从小学到高中的学校老师都使用 GIMPS 来激发学生对数学的兴趣。运行免费软件的学生正在为数学研究做出贡献。

有关梅森素数的更多信息

长期以来，素数一直让业余和专业数学家着迷。如果大于 1 的整数的唯一约数（因数）是 1 和它本身，则该整数称为素数。起始的素数是 2、3、5、7、11 等。例如，数字 10 不是素数，因为它可以被 2 和 5 整除。梅森素数是 2ᴾ -1 形式的素数。第一个梅森素数是 3、7、31 和 127，分别对应于 P = 2、3、5 和 7。现在已知的梅森素数有 52 个。

自从欧几里得大约公元前 350 年首次讨论梅森素数以来，梅森素数一直是数论的核心。他们现在的名字是法国僧侣马林·梅森（Marin Mersenne ，1588 - 1648），他做出了一个著名的猜想，即哪些P值将产生素数。人们花了300年的时间和数学上的几个重要发现才解决了他的猜想。

欧几里得证明了每个梅森素数都会生成一个完美数（完全数）。完美数是其真因数之和等于该数本身的数。最小的完全数是 6 = 1 + 2 + 3，第二个完全数是 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14。欧拉（1707 - 1783）证明所有偶完全数都来自梅森素数。新发现的完美数是2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴⁰ × (2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹-1)。这个数字长度超过8200万位！是否存在奇完美数仍然未知。

目前这些大梅森素数的实际用途很少，这促使一些人问“为什么要寻找这些大素数”？几十年前，同样的疑虑就已经存在，直到基于素数的重要密码算法被开发出来。有关搜索大素数的更多充分理由，请参阅此处： https://www.mersenne.org/why_join/

先前的 GIMPS 发现

以前的 GIMPS 梅森素数发现是由在各个国家的成员做出的。

2018 年 12 月，Patrick Laroche 等人。在美国发现了第 51 个已知的梅森素数

2017 年 12 月，乔纳森·佩斯 (Jonathan Pace) 等人。在美国发现了第 50 个已知的梅森素数

2016 年 1 月，柯蒂斯·库珀 (Curtis Cooper) 等人。在美国发现了第 49 个已知的梅森素数

2013 年 1 月，柯蒂斯·库珀 (Curtis Cooper) 等人。在美国发现了第48个梅森素数

2009 年 4 月，Odd Magnar Strindmo 等人。在挪威发现了第 46 个梅森素数（已知第 47 个）。

2008 年 9 月，Hans-Michael Elvenich 等人。在德国发现了第 45 个梅森素数（已知第 46 个）。

2008 年 8 月，Edson Smith 等人。在美国发现了第 47 个梅森素数（已知第 45 个）

2006 年 9 月，柯蒂斯·库珀 (Curtis Cooper) 和史蒂文·布恩 (Steven Boone) 等人。发现了美国第 44 个梅森素数

2005 年 12 月，柯蒂斯·库珀 (Curtis Cooper) 和史蒂文·布恩 (Steven Boone) 等人。发现了美国第 43 个梅森素数