女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
我们仔细观察一些建筑作品就会发现，在这些作品中，我们经常可以找到相同的几何形状。这是一种特殊的平面几何形状，它可以以各种方式呈现，但始终保持着规律性和活力：玫瑰窗或玫瑰花饰。我们将把目光停留在两座建筑上：罗马的坎皮多格利奥广场和伦敦绰号“小黄瓜”的摩天大楼。这两座建筑的历史、时代和建筑师都截然不同，然而，从特定的观察点来审视它们，我们会发现它们都有着相同类型和形状的玫瑰窗。我们的作品旨在激发学生的观察兴趣，同时也建议教师利用这个机会，按照连续的思路，从几何角度向学生介绍玫瑰窗、组成玫瑰窗的几何图形，并分析其在所观察的建筑中的象征意义和美学意义。
1 简介
2015 年米兰世博会。这一备受欢迎且非常成功的活动的标志性雕塑（图 1）是此次活动的亮点。
图1 生命之树（意大利米兰）。
几个世纪以来，生命之树以各种方式代表着人类。它的形状与其含义密切相关。生命之树的底部树根和末端树枝，呈现出由类似树叶和水滴的元素形成的规则纹理。树根和树顶连接在一起，形成一个旋涡状的运动，这似乎不仅描述了树的形状，还描述了树缓慢而有规律的生长过程 [1]。图 2 中的虚拟重建突出显示了这种感觉。
图2 生命之树的虚拟重建。
让我们从上往下看。我们看到的形状就是图中树根的形状。树冠由大叶子组成，这些叶子部分重叠，分布在规则的花冠中。
通过虚拟重建反射图像，我们可以看到一个名为“玫瑰窗”的物体（图 3）。
图3生命之树的虚拟投影。
首先，让我们试着给出玫瑰花窗的概念，然后再分析我们的重建作品，以了解它是否是玫瑰花窗以及属于哪种类型。
用现在的话来说，玫瑰窗是一种装饰元素，一般出现在罗马式或哥特式教堂的外墙上（图4），其特点是造型花卉元素重复 “追逐”，但保持在一个圆周内。从这个意义上说，它的形状被解释为基督教的一种象征，象征着人类生命的循环往复与圆圈所代表的上帝的无限性。
图4 卡普拉尼卡圣弗朗西斯科教堂（意大利维泰博）外墙上的玫瑰窗。
然而，在数学语言中，“玫瑰窗”一词具有非常精确的含义，甚至可以用来描述非常不同的物体。
玫瑰窗 “一词可解释为 ”大朵的玫瑰“，因此从广义上讲，也可解释为 ”大朵的造型花"。
因此，从几何学的角度来看，我们可以将数学中称为玫瑰曲线的几何图形作为“花朵”的例子。
玫瑰花如图5所示。通过观察，我们可以发现它具有中心对称的特征，并且可以刻在圆周上。基于这些考虑，我们对几何玫瑰进行了可能的定义。
图5 格兰迪玫瑰，源自十八世纪中叶提供方程的数学家的名字。
首先，请记住，在几何中，如果存在一个将图形映射到自身的变换，则该图形具有对称性。此外，我们还记得，旋转和反射是应用于图形的变换，保持其维度[2，3]。
因此，我们可以推导出，一个有限维度的图形，如果它具有某种对称性特征，那么就可以从它的一部分开始，通过旋转和反射的组合来构建它。
有了这些基本概念，让我们试着给玫瑰花形下定义。
如果一个中心对称的平面图形只能通过围绕对称中心旋转n 次（n = 2、3、......）才能得到，且旋转角度等于转角的1/n，那么这个图形就叫做循环玫瑰形。
图6是循环玫瑰的一个例子。它是米兰大教堂最著名的标志之一：“Raza”（或一个光芒四射的太阳，为比斯乔内加冕，是维斯康蒂家族的纹章标志），是位于主祭坛后方天顶中央窗户内的著名窗户的主要元素之一。
图6 米兰大教堂中的Raza。
图7和图8展示了它的几何重构。特别是，对图7中的底座“花瓣”进行连续旋转，就得到了图 8 中的玫瑰花。
图7 旋转玫瑰窗的局部构造。
图8 循环玫瑰窗的构造。
如果通过围绕中心的n 次（ n = 2、3、......）旋转和围绕通过中心的反射轴的n 次（ n = 2、3、......）反射的组合，可以建立一个具有中心对称的平面图形，则称为二面玫瑰。
在图9中，我们有一个二面角玫瑰的例子。这是米兰大教堂彩色玻璃窗的另一个玫瑰窗，位于南耳堂的后殿。
图9 米兰大教堂的玫瑰窗。
图10和图11显示了它的几何重构。可以看出，在玫瑰二面体中，由于全局变换的反射分量，除了对称中心之外，还有对称轴。
图10二面体玫瑰窗的局部结构。
图11四面体玫瑰窗的构造。
现在让我们看看图3的形状：它是一个中心对称的平面图形。它由十二片“叶子”组成，形成一个包含在圆周中的花冠。每个叶片相对于一个轴对称。形状的12个对称轴汇聚于一点，即对称中心(图12)。
图12生命之树虚拟投影中的对称性。
因此，它是一种几何形式，可以通过相对于对称轴的十二次“半叶”反射和围绕对称轴的十二次十二分之一转角幅度的旋转来产生。
在这一点上，我们能够得出结论，图3中的形状可以解释为二面角玫瑰，其中每片叶子在几何上是伯努利双纽线的一半[2]。
但是什么是伯努利双纽线呢？双纽线(图13)是一个封闭的平面曲线，中心有一个双点，有一个对称轴，它立即让人想起无限的数学符号，从而给玫瑰窗中的内在增加了象征性的标志。
图13伯努利双纽线。
这种特殊的二面体玫瑰将成为建筑中有趣和有意义的元素。
在这部作品中，我们提供了两个例子，两位建筑师米开朗基罗和福斯特设计的两个建筑的俯视图：时间上相隔几个世纪，不会弄错，但由同一个符号联系在一起。
这是两张天顶图。第一个在罗马的Piazza del Campidoglio，第二个在伦敦的Foster著名的小黄瓜。
我们在两个完全不同的地方有两朵玫瑰，也不同于教堂正面的经典玫瑰窗。
让我们试着去观察它们，找到几何形状，解读它的象征意义。
2 观察与组合
2.1 罗马坎皮多格里奥广场
罗马七座山丘中最著名的卡皮托利尼山（Capitoline Hill）荒废不堪，甚至被放牧的山羊侵占，教皇保罗三世（Paul III）于 1540 年左右委托米开朗基罗对广场进行改造。
米开朗基罗提议并获得了一个正面开阔、略呈梯形的广场，目的是使广场转向罗马广场，而不是转向同样处于荒废状态的罗马广场，主要是转向圣彼得广场，在那里，通过文艺复兴时期的建筑，城市的活力再次得到发展。
米开朗基罗设计或重新设计的宫殿俯瞰着广场。如今，卡皮托利尼博物馆和罗马市政府就设在这些建筑中（图 14）。
图14罗马的坎皮多利奥广场。
在广场上，米开朗基罗设计了著名的楼梯，由于工程进展缓慢，在现代按照米开朗基罗的设计(图15)，代替了以前的土路，路面实际上已经完成。事实上，仅在四个世纪后的1940年，米开朗基罗的最初想法再次得到考虑，广场根据米开朗基罗的设计铺设，米开朗基罗在中心放置了著名的马库斯·奥勒留镀金铜像(目前放置在Capitoline博物馆，由复制品取代)。
地板为深色石材，配以白色石材图案。所代表的图案通常被定义为一个镶嵌在椭圆形中的十二角星。
通过这个图案，人行道必须表现出这个被古罗马人视为神圣之地的中心地位的重新发现。
米开朗基罗在设计中准确地选择了生命的象征，生命本应在这个地方重生。
在这个图案（图16）中，我们发现了与本章开头所述相同的理念。在这里，一连串鳞片状的部分通过旋转相互追逐，并有一个变体：轮廓变成了椭圆形。换句话说，几何玫瑰窗发生了变形：向一个方向扩展。
图16坎皮多利奥广场地板的装饰图案。
著名的米开朗基罗广场图案也出现在2007年所有欧元区国家为纪念欧洲经济共同体成立50周年而发行的两枚欧元硬币上，该共同体的条约是在国会大厦的Palazzo dei Conservatori签署的。
2.2伦敦圣玛丽亚克斯街30号摩天大楼
我们改变环境和历史时期。让我们去伦敦，观察由当代建筑师诺曼·福斯特的工作室设计的建筑，我们看到他在他的家乡工作。
我们所观察的建筑是伦敦的圣玛丽斧 30 号摩天大楼，位于伦敦金融城，非正式地称为“小黄瓜”（图 17）。
图17圣玛丽斧街30号摩天大楼。
这座建筑高180 米，于2004年竣工，目前由一家保险公司使用，其原址是1992年被爱尔兰共和军引爆的炸弹严重损坏的大楼。由于该建筑遭受了严重破坏，因此决定不对其进行修复，而是建造一座完全不同的新建筑。
设计的结果是一座新颖而不笨重的建筑，内部空间宽敞、实用而明亮。
材料和能源生产组织使其成为一座环境可持续发展的建筑。
让我们来看看它的外形。这个昵称来自于它特有的鱼雷形状。
然而，我们的几何眼光促使我们做出两个考虑。
首先，我们观察到，它是一个围绕垂直轴旋转的圆周表面，其上叠加了一个锥形表面，并由一个圆圈封闭，这个圆圈就是闭合灯笼的形状。在这个意义上，我们提出了一个重建方案（图18）[4]。
图18圣玛丽亚克斯30号摩天大楼的虚拟重建。
其次，沿着穿过表面的较暗的线，我们抓住了一个类比，同时，也抓住了与生命之树的一个深刻的区别。这个长条，沿着投影在建筑表面的阿基米德螺旋图案，像生命之树树干的木质构件一样缠绕着。好好看看这两个数字！
由此可以看出两者的不同之处：生命之树的树根和树冠都是开放的，而小黄瓜的底部是封闭的，以适应城市的需要，因为城市是由狭窄的街道和众多的建筑组成的，而小黄瓜 的顶部则 “呈圆锥形”，这样就不会给风提供过大的吹拂面积。从高处俯瞰可以看到：两座建筑都有一个有趣的 “星形 ”玫瑰窗，这又将它们与从坎皮多格利奥广场顶端俯瞰的景色联系在一起（图 15 和图 19）。
图19：从上面看圣玛丽亚克斯30号摩天大楼。
我们的模拟(图20)确定了通过将双纽线的一半旋转等于圆角的十八分之一的旋转角而获得的玫瑰。
图20 圣玛丽亚克斯30号摩天大楼俯视模拟图。
建筑师是否特意研究了这种效果？无论答案如何，我们都认为，这种视觉效果为这座被誉为世界上最著名的建筑增添了额外的魅力。
我们首先观察了生命之树。它是生命的象征。通过对这一理念的延伸，坎皮多格里奥广场将这一象征作为文艺复兴时期新生活的中心，而福斯特的建筑作品则仍然是这一象征，它矗立在一个代表着重建和更新的生活的地方。
3 结论
除了通过类比将不同对象联系起来的观察好奇心之外，本作品还想传递一个信息：对任何主题的展望，即使是肤浅的，但具有强烈的跨学科性，都有助于激发对各个方向的兴趣[4]。
如果用户是学生，他可以借此机会探索不同领域的主题[5]。在这种情况下，用户可以对几何图形的某些方面产生更浓厚的兴趣，同时特别注意观察建筑物体；也可以激发用户寻找现实中的实例和应用，从理论上研究几何图形的某些部分；还可以通过关注象征意义来完成每次观察，这有助于形成一种参与性和感性的视野。
参考文献
1. Caliò F, Marchetti E (2017) Curves and surfaces: method and creativity in design process, TOJET: Turk Online J Educ Technol 1:688–693
2. Betti R, di Geometria L (1995) vol 1 e 2. Zanichelli, Bologna
3. Budden FJ (1972) The fascination of groups. Cambridge University Press, Cambridge
4. Caliò F, Lazzari C, Marchetti E (2020) Architetture in superficie-Osservare il mondo con gliocchi della Matematica. Francesco Brioschi Editore, Milano
5. Caliò F, Marchetti E (2020) To observe, to deduce, to reconstruct, to know, faces of geometry. From Agnesi to Mirzakhani. In: Magnaghi Delfino P, Mele G, Norando T (eds) Lecture notes in networks and systems, vol 88, Springer, pp 41–54. ISBN 978-3-030-29795-4
6. Franca Caliò, Caterina Lazzari, and Elena Marchetti, Roses in Architecture: One Symbol, Different Objects
青山不改，绿水长流，在下告退。
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