面对无穷大，数数没有任何意义|巧克力|悖论|无穷大|进度条

纵观整个历史，很多学者都曾与无穷大狭路相逢，都曾遭遇阻碍，都曾选择了放弃。他们中的很多人说，这个怪兽太过离奇，说它既不是数学，也不是什么合理的思维，应该把它留在它自己的黑暗深渊中。它那超出一切控制的行为是让人无法接受的，而且似乎是无可救药的。

想要把适用于大数的模式和推理应用于无穷大，是一个根本性的错误。无穷大有着截然不同的本质，这就要求我们为它创造新的思维方式。

想象一下，你发了疯似地计数到无穷大。你开始安静地计数，旁边放着一个进度条，它显示出你从 0% 到 100% 的实时进度（图 3.4）。无穷大由符号∞表示，这个符号是数学家约翰·沃利斯（John Wallis）在 1655 年提出来的。

你觉得这个进度条会随着你的计数过程发生怎样的变化呢？比如说，在整整三个月后，你会打破杰里米·哈珀的纪录，这个进度条会是什么样子呢？这个问题很奇怪，答案也很奇怪。当你数到一百万的时候，这个进度条仍会显示令人失望的 0%。它怎么可能会是别的样子呢？因为和无穷大剩下要数的数量相比，你刚刚数完的一百万根本算不上什么。

无论你数到多大的数量，结果都一样。哪怕你数到十亿，数到古戈尔，数到“asamkhyeya”，甚至数到古戈尔普勒克斯，进度条依然会无情地停留在 0% ！面对无穷大，数数没有任何意义。所有的数都很小。它们中的任何一个被单拎出来，对所有跟随其后的数来说都是微不足道的。

简而言之，在这个进度条上，所有的数都聚集在零的位置上（图 3.5）。在 0% 和 100% 之间绝对什么都没有。没有一个数会位于进度条的 1%、50% 和 95%。说到底，这是相当合乎逻辑的，因为无穷大的一半已经是无穷的了。如果你的进度条走到了一半，那么它实际上已经走到了终点。

由这些思考得出的唯一合理结论是，进度条的表现形式完全不适用于这种情况。如果你的目标是数到一个非常大的数，哪怕数到古戈尔普勒克斯，那么你的进度条也会乖乖地从 0% 走到 100%，遍历介于两者之间所有的数。但是，从“巨大”到“无穷大”的过渡标志着一种瞬间的突破，所有对“有限”行之有效的方法会突然变成逻辑上的灾难。像刚才这样的悖论会滚滚而来。你刚一开始思考无穷大，这些悖论就会毫无预兆地出现，并让你的常识和本能变得毫无用武之地。

不幸的是，对于那些以为可以像忘记一场噩梦那样忘记无穷大的人来说，想要摆脱它可不是件容易的事。你把它从数论中驱逐出去，它又回到了几何中。你对几何视而不见，它又出现在代数里。对于那些害怕去思考无穷大的人，我们应当保持宽容，但今天，我们将无法容许自己这样使性子。如果我们想要继续前进，迎接自己发起的挑战，如果我们想要解开边境线的秘密和海岸线悖论，如果我们想要不断深入探索宇宙的机制，就不该惧怕横亘在前进道路上的悖论。直觉将经历几次暴风雨，但我们绝不能退缩。

但在这次冒险中，我们并非全然无助，我们会获得两个支持。第一个支持来自数学家，他们没有向无穷大这头怪兽缴械投降，而是设法一点一点地驯服了这头怪兽。第二个支持来自巧克力。

想象一下，你每天都会从一家巨型巧克力店的玻璃橱窗前经过，每每因为禁不住美食的诱惑而停下脚步。你每天在店里买两块巧克力，然后把它们带回家，但是你每次只吃一块，把另一块留下来。

渐渐地，你的橱柜里装满了所有买回来但还没有被吃掉的巧克力。更准确地说，你的库存每天增加一块。走进这家巧克力店的第一天，你储存起第一块巧克力。第二天，你储存起第二块，第三天，储存第三块，依此类推……一年之后，你的库存达到了 365 块！二十六年之后，你储存的巧克力不会少于 10 000 块！现在，让我们问一下自己这个问题：假设你能永远活下去，并无限期地储存下去，那么在抵达时间尽头的那一天，你储存的巧克力会有多少块呢？

好吧，这个问题问得很蠢。我们都知道，“时间的尽头”不具有任何意义。就算精确用词很重要——我们稍后会做这件事情——但我敢肯定，你的直觉会赋予这个问题某种意义，即便是含糊的意义。因为你的库存每天都会增加一块，所以在永恒的尽头（也就是无穷大日子的尽头），将你积攒的巧克力库存估计为一个无穷大的数量似乎是合乎逻辑的。

话虽如此，我们还是来做一些数学运算，并试着更严谨地证实这一点吧。为此，我们就从为你的巧克力编号开始。让我们把你第一天购买的巧克力编为 1 号和 2 号，把你第二天购买的巧克力编为 3 号和 4号，依此类推（图 3.6）。

现在，我们来确认一下你的消耗量。假设你每天吃掉当天购买的两块巧克力中的第一块，那么，你在第一天吃掉了 1 号巧克力，然后在第二天吃掉了 3 号巧克力，在第三天吃掉了 5 号巧克力，依此类推（图 3.7）。

通过这种方式，我们可以看出，你日复一日吃掉的巧克力的编号都是奇数。编号为偶数的巧克力（2 号、4 号、6 号……）被储存在橱柜里，因而注定永远都不会被吃掉。

那么现在，我们就可以为问题设定一个更精准的含义了。我们想要知道抵达永恒尽头的那一天还剩下多少块巧克力，就等于想要知道会有多少块巧克力不会被吃掉。在这种情况下，答案就很简单了，那就是所有偶数巧克力的数量。而且由于偶数总数是一个无穷大的数量，因此到最后，你的库存巧克力会是一个无穷大的数量。

到目前为止，数学似乎增强了我们的直觉，而我们距离可以宣告自己了解到一些东西仅有一步之遥了。但我们必须保持谨慎，让我们再做一个思维实验。现在想象一下，你决定按照编号顺序吃掉巧克力，而不是每天吃掉当天购买的两块巧克力中的一块。这样一来，你就会在第一天吃掉 1 号巧克力，在第二天吃掉 2 号巧克力，在第三天吃掉 3号巧克力，依此类推（图 3.8）。

在以这种方式进行操作时，你会惊讶地发现，巧克力绝对会在某一天被全部吃光。100 号巧克力会在第一百天被吃掉，1 000 000 001 号巧克力会在第十亿零一天被吃掉，古戈尔普勒克斯号巧克力会在第古戈尔普勒克斯天被吃掉，依此类推。因此，我们会得到这样一个奇怪的结论：在永恒的尽头，你的库存会变空。你的橱柜里一块巧克力都不会剩下。

如果你是一个正常人，那么这个结果必定会让你感到错乱。每天都只增不减的库存怎么可能归零呢？况且，结果怎么会因为选择吃掉编号不同的巧克力就不一样了呢？我们面对的是一个真正的悖论。但我们必须承认，在第二种情况下，所有的巧克力最终都会被吃掉。在时间的尽头，你的橱柜里一块巧克力也不会剩下。

就是在这一刻，我们会倾向于认为，无穷大的运作机制中毫无数学和逻辑可言。同样的计算根据不同的运算方式会得出不同的结果，这简直荒谬！就像很多伟大的学者那样，我们可能会想要放弃对无穷大的思考。但现在需要的正是坚持不懈。

不管这听起来有多奇怪，但我们在上文中描述的计算并没有任何错误。如果你每天吃掉其中一块当天购买的巧克力，那么在永恒的尽头就会剩下无穷大数量的巧克力；而如果你按照顺序吃掉这些巧克力，那么一块巧克力都不会剩下。这个结果之所以会让我们感到震惊，是因为它违背了我们小时候在学校里学到的基本计算规则：一个运算的结果并不取决于被计算的对象。

巴比伦的书吏已经明白了这一点，而这就是他们数字系统的强大优势之一。如果我告诉你 5 − 2 = 3，你无须知道 5、2 和 3 的具体所指就能确定这个等式是正确的。如果你有五块巧克力，我从中拿走两块，那你那里肯定就会剩下三块。无论我拿走的是前两块、后两块还是任意两块，全都无关紧要，这对剩下三块这一结果不会产生任何影响。无论现实的情况如何，运算的结果都是不变的（图 3.9）。