小乐数学科普：数学就是不同的思维——《量子杂志》每周数学随笔|小乐|数学家|物理学家|科学|量子杂志

《量子杂志》每周都会解释推动现代研究的最重要思想之一。本周，数学专栏作家Joseph Howlett详细介绍了数学思维的魅力和重要性。

作者：Joseph Howlett（量子杂志数学专栏作家） 2024-12-16

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-12-17

直到一年多前，我还是一名实验物理学家。我一直都在使用数学，所以你可能会认为，成为一名数学记者对我来说是再合适不过了。从很多方面来说，这的确没错。但从其他方面来看，我的新知识家园星球感觉就像一个外星世界。

在我以前的生活里，我研究的是物理对象和可测量的现象。数学是让我能够做到这一点的工具。我曾经嘲笑过我的理论学家朋友，他们不告诉我他们最近在“研究”什么，而是告诉我他们在“思考”什么。这让我想起这些朋友整天躺在办公桌前，头向后仰，眼睛眯着看着天花板，心思飘忽不定。现在，我采访的每个人都以同样的方式谈论他们的研究。

数学家关注的数学类型与我作为物理学家所使用的工具截然不同。他们的工作深受人类对美和抽象概念的驱动，并将纯逻辑推向极限。实验和观察可以帮助指导数学家的理解，但最终，他们不会接受某些东西在数学上是正确的，除非他们能提出一个严谨的论证来证明它。正如一位数学家最近向我保证的那样，“没有严格的证据表明某人不能活到超过一千岁。这只是一个经验事实。”

这种对严谨性的强调有时会带来看似不可能的现象的证明。例如，巴拿赫-塔斯基（Banach-Tarski）悖论说（参阅），你可以把一个球打碎，然后用它制造出两个与原球一模一样的球。对我这个物理学家来说，这听起来像是从无到有创造物质，但从数学上来说，毫无疑问这是正确的——而且也很美妙。

我欣赏这种严谨的思维方式。我并不怀念物理学的一点是，当你试图跟上讲座或论文时，你经常站在不稳定的理论基础上。数学是如此坚固，如此没有虚晃的架势（原文用词hand-waving，在物理里表示其所描述的论断没有严格的根据，译者注）。在某种程度上，数学真理是由比我过去整天拧紧的真空法兰上的钢螺栓更坚固的东西构成的。

数学思维似乎过于苛刻，但它很重要。作为一门艺术和一门科学，它展示了人类创造力的力量，同时也揭示了我们周围世界的奥秘。它甚至有各种各样的实际应用：曾经被视为无用的数学抽象现在在密码学、化学、工程、机器学习等领域发挥着至关重要的作用。但从本质上讲，数学是关于探索、发现、美和理解的。

以下是《Quanta Magazine量子杂志》在2024年讲述的一些数学故事，它们常常挑战我对数学的认知，帮助我适应了这个新世界。

改变我数学思维的故事

我对数学的理解以及数学从业者的思维方式很大程度上来自于阅读量子杂志的解释和问答。如果你一年前问我如何正确定义2的平方根，我会感到困惑——它是当你将它乘以自身时等于2的数字！但在阅读Jordana Cepelewicz的解释后（参阅），我明白了数学家需要如何根据完善的公理和定理来具体定义一切，包括数字。因此，2的平方根需要更严格的定义。

我经常听到伽利略说宇宙“是用数学语言写成的”，但直到我读到克莱尔·瓦赞（Claire Voisin）的这篇问答时（参阅，以及），我才意识到不同的数学语言可以描述同一个宇宙。她解释了数学家们如何努力在不同的数学语言（比如代数语言和几何语言）之间进行翻译，以获得新的见解。物理学家经常使用不同的描述来尝试理解相同的基本现实，他们的想法是，没有一种描述比另一种更“真实”。我从未想过数学语言也可以以同样的方式运作。

在我当物理学家的日子里，我通常被困在三维空间中（不包括时间）。数学家不受物理现实的限制，可以飞越更高的平面，那里充满了他们自己无法理解的对象。他们只能通过观察嵌入其中的更简单、更低维的形状来感受这些形状的边缘。今年，数学家发现了比他们之前认为的更奇怪、更丰富的嵌入，这表明四维世界比他们所知道的还要奇怪。

2024年的一条数学新闻确实吸引了我的注意，部分原因是我是一个狂热的观鸟爱好者，但也因为它表明数学和其他科学一样，充满了偶然的发现。Lyndie Chiou 今年早些时候报道了一种神秘的数学模式，称为“椋鸟群飞”（murmuration，参阅），因其类似于翱翔的椋鸟群中形成的华丽的波浪状涟漪而得名。这种模式是由一位名叫 Alexey Pozdnyakov 的本科生发现的，当时他使用一个公共方程式数据库绘制了一张图，而这在资深数论学家看来是永远不会发生的。他在这张图中看到的奇怪涟漪远不仅限于这些方程式，后来被证明在数论及其他领域无处不在。在我最近参加的石溪大学关于该主题的研讨会上，麻省理工学院的数论学家 Andrew Sutherland 展示了 Pozdnyakov 的图，并将其与“他们在培养皿中发现霉菌以发现青霉素”进行了类比。

感谢这些故事，我的数学基础（某种程度上）稳定了下来，我迫不及待地想看看2025年会带来什么新的突破。

网络上

彼得·佩西克（Peter Pesic）撰写的长篇论文《阿贝尔的证明》（Abel's Proof）让我明白了现代数学为何充斥着深奥的抽象概念。它还让我开始思考不可解性 — — 有些数学问题，即使是非常简单的问题，也是可以证明无法证明的。

统计学在我心中占有特殊的地位。它对于我们理解世界至关重要，但同时也非常复杂和微妙。我喜欢阅读由统计学家Andrew Gelman创办的博客“统计建模、因果推断和社会科学” ，其中有关于统计学及其在科学中经常被滥用的清晰对话。

在一个实际应用并不重要的领域，我对数学家认为什么是有趣的东西非常感兴趣。这让我找到了维基百科上的“有趣数字悖论”页面，这真是令人愉快。（我最喜欢的有趣数字是142857。）

随着我撰写的每一个新故事，我越来越了解数学家的工作方式。例如，他们的工作日常是什么样子的？我很高兴在数学家Kimball Martin的主页上找到这篇“日常生活”帖子。

参考资料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4865837

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-marvel-at-crazy-cuts-through-four-dimensions-20240422/

https://mp.weixin.qq.com/s/eia9KK4LQnmTnOP7tbtG3w

https://mitpress.mit.edu/9780262661829/abels-proof/

https://statmodeling.stat.columbia.edu