几何和数论方面的里程碑式成果标志着2024年是数学令人兴奋的一年，此时AI人工智能的进步正开始改变数学学科的未来。
2024年数学领域的三项最大突破，包括在高维中堆积球体的更好方法、避免形成数字模式的新方法，以及所谓几何朗兰兹猜想的800页证明。
图源：Richard Borge|Quanta 视频： https://youtu.be/lwVSeXswWZY
作者：Jordana Cepelewicz 量子杂志数学编辑 2024-12-16
译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-12-18
五月，由九名数学家组成的团队宣布取得重大突破。他们证明了所谓的几何朗兰兹猜想——这是建立数学“大统一理论”的更广泛研究计划的核心组成部分。这个证明总共有800多页，标志着30年工作的顶峰，用一位数学家的话说，这是一项“最高成就”。
“这是美丽的数学，”另一个人说。“同类中最好的。”
同类中最好，不仅因为它是一项开创性的数学成果——解决了一个巨大的开放问题，现在有望影响未来数十年的研究——还因为它涉及建立深刻的、意想不到的联系。通常，当数学家找到方法将看似不相关的想法相互对话，打破不同研究领域之间的障碍时，就会产生最好的结果。几何朗兰兹猜想的证明就是这样的结果。
这并不是2024年唯一的重大进展。事实上，仅在几何领域就有几个里程碑式的证明。一些人，正如几何朗兰兹案例中，最终解决了几十年前的猜想。其他人则（对其他命题）提供了令人惊讶的反例。
但这样的突破通常不会凭空而来。它们是通过数十年的努力、通过渐进步骤的积累而成为可能的。今年，这种风尚也出现了许多令人兴奋的结果，特别是在数论方面。其中包括黎曼猜想和abc猜想等著名棘手问题的进展。
这就是在众多情况下数学进步的运作方式：这儿有一个新想法，那儿有另一个想法，直到以前看起来完全不可能的事情变得不那么不可能。
几何朗兰兹猜想被证明
图源：Nan Cao|Quanta
可以说，2024年的最大成果来自朗兰兹纲领，这是一个有着50年历史的雄心勃勃的愿景，如果实现，将连接数学研究的不同领域。它的目标本质上是重新绘制数学地图——将各个大陆合并成一个统一的盘古大陆。
但证明朗兰兹纲领的实际结果往往极其困难。这些命题本身非常复杂和技术性很强，更不用说证明它们所需的技术了。
1980年代，一位数学家提出了该纲领关键组成部分之一的几何版本——几何朗兰兹猜想，其中涉及称为“层”（sheaf，或“束”更合适）的深奥数学对象（参阅 ）。该猜想被视为朗兰兹纲领的核心部分，但几十年来，没有人能够解决它——直到今年。这个证明对于该纲领的其余部分来说是一个巨大的福音，数学家们很高兴在接下来的几年里探索它的后继成果，他们相信这将产生深远的影响。正如一位数学家所说，“它将渗透学科之间的所有壁障。”
AI人工智能的作用日益增强
如果以正确的方式看待，椭圆曲线可以像鸟一样成群。
视频制作：Paul Chaikin|Quanta
当诸如ChatGPT（一种“大语言模型”）之类的新人工智能系统首次引入时，它们的数学能力只是模因（meme）的东西，而且不是一种好的方式。聊天机器人无法正确做加法，更不用说解决更复杂的应用题了。至于产生成熟的证明——算了吧。当谈到数学时，人工智能似乎只会继续挣扎。
但今年，谷歌DeepMind的新模型将人工智能变成了国际数学奥林匹克竞赛的有力竞争者，这是世界上最重要的高中生数学竞赛。一月份，该公司发布了AlphaGeometry，这是一个能够证明几何问题的模型，几乎可以与人类金牌得主媲美。（参阅 ）半年内，AlphaGeometry 2可以轻松获得金牌，并且当与谷歌的大语言模型Gemini集成时，可以很好地证明更普遍的问题，从而在完整的奥林匹克考试中获得银牌。DeepMind将这个最新模型称为AlphaProof。
AlphaProof是一项巨大的成就。它展示了人工智能快速增长的数学能力，并为该技术有一天如何在原创研究中充当数学“副驾驶”带来了希望。
三月份，量子杂志报道了这种情况是如何发生的。2022年，数学家利用机器学习发现了所谓椭圆曲线的重要方程中的奇怪模式。这些模式美丽得令人吃惊：如果你从正确的角度观察椭圆曲线的某些数值特性，它们就像鸟儿成群结队的方式，这种现象被称为“椋鸟群飞”（murmuration）。此后的几年里，研究人员一直试图理解这些数学“椋鸟群飞”现象。（参阅 ）在此过程中，他们在数论的许多不同对象中发现了它们，从而产生了重要的新工作和见解，包括发展出一种新颖的函数。
随着人工智能方法变得更加复杂，这种故事只会变得更加普遍。我们以前已经看到过——计算机如何逐渐进入数学世界，并为数学家探索开辟新的前景。现在，数学家们正试图预测人工智能会是什么样子。
球堆积记录被打破
更密集的方法来堆积高维球体
视频制作：Dave Whyte|Quanta
与几何朗兰兹猜想不同，球体堆积问题很容易表述：如何排列相同的球体以填充尽可能多的体积而不重叠？在三维空间中，你可以将球体排列成金字塔形的一堆，就像杂货店里堆放橙子的方式一样。但在更高维度呢？
直到2016年乌克兰数学家Maryna Viazovska（玛丽娜·维亚佐夫斯卡，1984 -）证明特定的晶格对于在8维和24维空间中填充球体是最优的，之前没人知道任何高于3维的答案。在所有其他维度中，确切的答案仍然未知。
数学家还希望找到一个通用的解——一个公式，提供一种在任意高维度上密集堆积球体的方法，即使这种堆积并不完全最优。4月，量子杂志报道了75年来在该版本球堆积问题上的首次重大进展。该成果提高了以前堆积的效率，同时利用了一种新颖的方法：数学家们没有像维亚佐夫斯卡那样以良好、有组织的方式堆积球体，而是使用图论以非常无序的方式堆积。（参阅 ）
这并不是2024年唯一的堆积结果。两位数学家——包括托马斯·黑尔斯（Thomas Hales，1958 -），他在1990年代证明了在三维空间中堆积球体的最优方法——也证明了关于最糟糕的堆积形状的命题。（参阅 ）
数学家找到50年前米尔诺猜想的反例
图源：Alex Eben Meyer|Quanta
证明古老猜想的正确性很重要，但反驳它们也很重要。正如一位数学家告诉量子杂志的那样，“我们必须保持怀疑，即使是对于直觉上看起来很可能是真的事情。”这种方法带来了另一个重要的几何证明：三位数学家找到了米尔诺猜想的反例，米尔诺猜想是一个有50年历史的问题，涉及物体的整体形状和放大时的样子之间的关系。这项工作涉及一种新型结构的开发，揭示了可能形状的宇宙比数学家想象的还要奇怪——尽管他们一直认为它相当奇怪。（参阅 ）
数论中的重要进展
图源：Nico Roper|Quanta
解决这些主要的几何问题就像在数学景观中竖立高耸的纪念碑。但为未来的纪念碑奠定更好的基础也至关重要。这正是2024年数论中所发生的情况：数学家在更好地理解该领域一些最重要问题方面取得了至关重要的进展，尽管是渐进的。
例如，两位数学家证明了黎曼假设可能的例外数量的新估计，这可以说是数学中最大的开放问题。这项工作不仅打破了之前保持了80年的记录，而且带来了关于素数分布的新结果。
同样，三名研究生证明，在集合不可避免地包含均匀间隔分布的数字模式之前，可以更好地估计集合可以达到的最大大小。这项工作探讨了数学中的无序如何不可避免地产生秩序，标志着几十年来“Szemeredi塞梅雷迪问题”的首次进展。（参阅 ）
与此同时，数学家Hector Pasten最近在理解数列2、5、10、17、26等（即n²+1形式的所有数字）的性质方面取得了进展。他的证明使数学家能够探索加法和乘法运算之间复杂的关系。它还使他能够证明abc猜想的某些情况的新估计，这是数学中另一个最重要的问题，也是最具争议的问题之一。（参阅 ）
所有这些数论问题距离解决还有很长的路要走。但随着一步一步的推进，数学家们开发出了强大的新工具包并阐明了新的观点。谁能预测2025年及以后会发生什么？
参考资料
https://www.quantamagazine.org/the-year-in-math-20241216/
https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
https://www.quantamagazine.org/what-are-sheaves-20240719/
https://www.nytimes.com/2024/07/23/technology/ai-chatbots-chatgpt-math.html
https://www.nytimes.com/2024/01/17/science/ai-computers-mathematics-olympiad.html
https://www.nytimes.com/2024/07/25/science/ai-math-alphaproof-deepmind.html
https://www.scientificamerican.com/article/ai-will-become-mathematicians-co-pilot/
https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/
https://www.quantamagazine.org/the-quest-to-decode-the-mandelbrot-set-maths-famed-fractal-20240126/
https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/
https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-03/home.html?active=allissues
https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/
https://www.quantamagazine.org/to-pack-spheres-tightly-mathematicians-throw-them-at-random-20240430/
https://www.quantamagazine.org/why-is-this-shape-so-terrible-to-pack-20240628/
https://www.quantamagazine.org/maths-bunkbed-conjecture-has-been-debunked-20241101/
https://www.quantamagazine.org/strangely-curved-shapes-break-50-year-old-geometry-conjecture-20240514/
https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/
https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/
https://www.quantamagazine.org/big-advance-on-simple-sounding-math-problem-was-a-century-in-the-making-20241014/
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