来源：老胡说科学
在今年五月，一支由九位数学家组成的团队宣布了一项重大突破：他们证明了几何朗兰兹猜想，这是一个广泛数学研究计划的核心内容，旨在为数学构建一个“统一大理论”。这项证明共有超过800页，标志着长达30年的努力终于结出硕果。
之所以被认为最优秀，不仅因为它是一个开创性的数学成果，解决了一个长久未解的难题，并且有望影响未来数十年的研究，更因为它揭示了深刻且意外的联系。往往，最伟大的数学突破出现在将看似无关的思想联系起来，突破学科间壁垒的时刻。几何朗兰兹猜想的证明，正是这样一次典型的跨界成果。
但这一突破并非孤立存在。事实上，在几何领域，2024年已涌现出几项具有里程碑意义的成果。像朗兰兹猜想这样的证明，终于解开了悬而未决的疑题。其他成果则给出了令人惊讶的反例。
然而，这些突破并非凭空而来，而是通过数十年不懈的努力，逐步积累得以实现的。今年，尤其是在数论领域，类似的激动人心的成果层出不穷，包括黎曼猜想和abc猜想的进展。
数学的发展就像是这样：一个新的思路从某处冒出来，又从另一处涌现，直到曾经看似不可能的事情，变得稍微可能一些。
几何朗兰兹猜想的证明
可以说，2024年最大的数学突破，来自朗兰兹计划。这是一个已有50年历史、雄心勃勃的数学愿景，若能实现，将会打破数学领域的隔阂，连接起非常不同的数学领域。其目标本质上是重新绘制数学的地图，将分隔开来的“大陆”合并成一个统一的“泛古大陆”。
然而，要在朗兰兹计划中取得实际成果，通常是极其困难的。计划中的陈述本身既复杂又技术性十足，更不用说要提供证明所需的精湛技巧了。
上世纪80年代，一位数学家提出了该计划中的关键组成部分——几何版本的朗兰兹猜想，涉及到一种名为“层”（sheaves）的深奥数学对象。这个猜想一直被视为朗兰兹计划的核心部分，但直到今年，才最终有数学家成功证明。这一证明为整个计划提供了巨大的推动，数学家们对未来几年由此带来的研究成果充满了期待，他们认为这些成果将对各个学科产生深远影响。正如一位数学家所言，“它将突破学科间的所有壁垒。”
人工智能日益重要的角色
当像ChatGPT这样的人工智能系统（即“大型语言模型”）首次问世时，它们的数学能力曾成为笑柄。连加法都算错，更不用说解决复杂的数学问题了。至于生成完整的数学证明，那简直是不可想象的。对于数学来说，似乎人工智能只能继续挣扎。
然而，2024年，谷歌DeepMind推出的新模型让人工智能成为了国际数学奥林匹克（世界顶级高中生数学竞赛）的严肃竞争者。2024年1月，谷歌宣布了AlphaGeometry，一个能够像人类金牌得主一样证明几何题的模型。在不到半年的时间里，AlphaGeometry 2就轻松获得了金牌，并且与谷歌的大型语言模型Gemini结合后，能证明更一般的问题，足以在完整的奥林匹克考试中赢得银牌。DeepMind将这个新模型命名为AlphaProof。
AlphaProof是一次巨大的成就，它展示了人工智能在数学领域日益增长的能力，也为人工智能在未来作为数学研究“副驾驶”提供了希望。
2024年3月，《量子报》报道了这一进展。早在2022年，数学家们便利用机器学习揭示了椭圆曲线方程中出现的奇异模式。这些模式既美丽又令人震惊：当从正确的角度观察椭圆曲线的一些数值特性时，它们像鸟群飞翔的方式，这一现象被称为“鸟群舞”。在随后的几年里，研究人员一直在努力理解这些数学上的“鸟群舞”。通过研究，他们发现这些模式出现在数论中的许多不同对象中，带来了重大的新研究成果和见解，包括新型函数的发展。
随着人工智能方法的不断进化，这类故事将愈加普遍。我们已经见证了计算机如何逐步进入数学领域，并为数学家们开辟了新的研究视野。如今，数学家们正在尝试预测，人工智能将如何塑造未来的数学探索。
球体打包记录被打破
与几何朗兰兹猜想的复杂性不同，球体打包问题的陈述非常简单：如何排列相同的球体，以填充尽可能多的体积而不发生重叠？在三维空间中，就像超市里堆放橙子一样，球体可以排列成金字塔形状。但在更高维度中，情况又会如何呢？
直到2016年，数学家们还未解答三维以上的球体打包问题。那时，乌克兰数学家玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）证明，在八维和二十四维空间中，特定的格点排列是最优的。而对于其他维度，精确答案依然未知。
数学家们还在努力寻找一种通用的解决方案——一种公式，可以在任意高维空间中给出密集打包球体的方法，即使这种打包不是最优的。今年四月，《量子报》报道了75年来球体打包问题上的重大进展。这项成果改进了先前打包方法的效率，并采用了一种新颖的思路：数学家们没有像维亚佐夫斯卡那样以有序的方式打包球体，而是通过图论以非常无序的方式进行打包。
这并非2024年唯一的打包进展。两位数学家，包括在1990年代证明三维空间最优球体打包方式的托马斯·海尔斯（Thomas Hales），也证明了关于最差打包形状的一个命题。
数学家发现了50年历史的Milnor猜想反例
证明旧的猜想固然重要，但推翻它们同样至关重要。正如一位数学家在《量子报》上所说，“即使是直观上看起来非常可能为真的事情，我们也必须保持怀疑。”正是在这种怀疑精神的推动下，三位数学家找到了Milnor猜想的反例，这一猜想涉及物体的整体形状与放大观察时形态之间的关系，已经有50年的历史。这项工作开发了一种新型结构，揭示了物体形状的可能性远比数学家们此前想象的更为奇异——尽管他们曾经认为已经相当奇异。
数论领域取得的重要进展
解决这些重大的几何问题类似于在数学的天地中竖立起高耸的纪念碑。然而，同样重要的是为未来的纪念碑打下更坚实的基础。这正是2024年在数论领域取得的重要进展：数学家们在深入理解该领域一些最关键的问题上取得了关键的、渐进性的突破。
例如，两个数学家给出了黎曼假设可能反例数量的新估计，这无疑是数学中最大的不解难题之一。这项工作不仅打破了维持80年的纪录，还带来了关于素数分布的新见解。
另外，三位研究生也证明了一个关于集合达到某个最大尺寸后，必定包含均匀分布的数列模式的更好估计。这项工作与数学中如何从无序中自然产生秩序相关，标志着“Szemeredi问题”几十年来的首次进展。
与此同时，数学家赫克托·帕斯滕（Hector Pasten）在研究形如2、5、10、17、26等数列的性质上取得了进展，尤其是所有形如n² + 1的数列。他的证明使得数学家们能够深入探讨加法和乘法之间复杂的关系，并为abc猜想的一些新估计提供了证据。abc猜想是数学中最重要、也是最具争议的问题之一。
尽管这些数论问题离解决仍然遥远，但数学家们通过一点一点的接近，已经开发出了强大的新工具和启发性的视角。谁能预测，2025年及以后的数学界将会发生什么呢？
参考：
https://www.quantamagazine.org/the-year-in-math-20241216/
阅读报告全文，请访问欧米伽研究所的“未来知识库”
https://wx.zsxq.com/group/454854145828
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