前言：很多人知道杨振宁的名气很大，却不知道他的最大贡献是什么，往往津津乐道于他的私生活，这是舍本逐末的做法。同时对多数人来说，张量是数学中比较难理解的，而爱因斯坦引力场方程和杨—米尔斯方程就更加难以理解。如果看不懂数学和物理部分，就直接看文中的邮票和后记，你会感兴趣的。
广义相对论中的引力场方程，和量子力学中规范场论的杨—米尔斯方程（杨就是杨振宁），在物理史上都具有划时代的意义，都是使用数学中的张量来描述的，可以说不懂张量就难以理解相对论和规范场论。
爱因斯坦引力场方程，人类探索宇宙的理论基础
通过本文我们就最简单的学习一下张量，以便理解这两个伟大的方程，为便于理解，我们并不打算使用官方语言来解释。
杨振宁最伟大的成就，就是这个公式
1-张量是一种数学语言：
简单的说张量就是一组有序数，是一组有序数的表现方式，或者说是记号。与向量、矩阵一样，张量也是一种表现方式，其本质就是一组有序的数字。
张量是比向量和矩阵更高级的记号，它向下包含了向量和矩阵，凡是向量和矩阵能表示的，张量都能更简洁地表示。
1-1.张量的表示方法
比如下面这三个张量
从左至右分别是1、2、3阶张量，小数字写在上面就是上标，写在下面就是下标
因为输入法的原因，我们文本中用符号“_”表示张量下标，用符号“^”表示张量上标。那么上面的张量分别写作——
X_i是一个1阶张量，G_uv是一个2阶张量，F_uv^a是一个3阶张量。上、下标的数量就是张量的阶，即出现了几个上下标张量就是几阶。如果我们不提是几阶张量，就默认是2阶。
1-1-1. 零阶张量为标量，即没有方向的量，比如时间t、温度T。
1-1-2. 一阶张量是矢量，比如Xi =[X1,X2……,Xn]就是一组n个元素的数组，i为指标。比如i=1,2,3时，定义向量a即空间矢量OP，数组形式表示的向量a=[x,y,z]，其中的x、y、z叫做元素（或称为分量），可以理解为向量a在三维坐标系上的投影。
OP即空间矢量（或称向量），是1阶张量
向量a还可以写成矩阵形式
1阶张量用矩阵或数组表示，只有一行或一列
1-1-3. 二阶张量可用矩阵表示，比如理论力学中的应力计算中，应力张量表示为σ_ij， i和j两个下标我们称之为指标，i=1,2,3，j=1,2,3，可以展开成为3×3=9个元素的矩阵，每个元素是有两个指标表示的矢量，力学中代表了受力物体不同表面、不同方向的应力。
用2阶张量表示的应力
展开成3×3矩阵，形式如下
应力张量展开成矩阵形式
1-1-4. 三阶以上的张量也可用矩阵表示，用张量记号的目的无非是书写简单、便捷。比如3阶张量δ_mnk，就是有m×n×k个元素的矩阵……4阶直到n阶张量都是一样的道理。
1-1-5. 对于张量的结构，我们用集邮册为例，来形象的理解一下。
集邮册的封面，没有任何邮票，理解为0阶张量，即标量。
集邮册封面就是0阶张量，即标量
翻开集邮册，没有分隔槽的页面是用来存放二到数张小型张或联票的，理解为1阶张量即矢量，排成一行或者一列。
集邮册内存放小型张的大页面，就是1阶张量，即矢量（或称向量）
带分隔槽的页面，理解为2阶张量即矩阵，20张邮票排成了4行5列，其中的i=1,2,3,4表示行，j=1,2,3,4,5表示列，i和j就是指标，每一张邮票就是元素或分量。
集邮册内存放邮票的页面，就是2阶张量
整本集邮册，每页20张邮票，共有30页，理解为3阶张量，这30页的每一页就是增加的分量k=1,2,……,30。
整本集邮册，就是3阶张量
如果我们有5本这样的集邮册，那么就增加第4个指标m=1,2,3,4,5，这就构成了4阶张量。那么我们表示这5本集邮册的全部信息，书写就变得简洁了，用张量Y_mkij表示。Y表示张量代号，索引第m本的第k页的第i行第j列，就能找到某一张邮票。
5本同样的集邮册，就组成了4阶张量
1-2. 张量的分类
比如下面运算中这三个张量
从左至右分别是混合张量、逆变张量、协变张量
1阶张量g_i的指标i在下方，称为协变张量。1阶张量g^j指标j在上方，称为逆变张量。2阶张量g_i ^j上下都有指标，称为混合张量。随着某一个量的变化，随之一致变化的即为协变，随之相反变化的即为逆变。
协变和逆变的区别在于是否随坐标系改变而改变
协变和逆变大家可能觉得不好理解，举个例子，见上图。平面斜角坐标系中，x_1和x_2（均为下标）坐标系中，矢量a的分量a^1和a^2向量模值减小，称之为逆变；增加角度后的x ^1和x^2（均为上标）坐标系中，矢量a的分量a_1和a_2向量模值增加，称之为协变。
1-3.张量的各类运算结果也用一个张量来表示，主要运算如下。
1-3-1. 张量的加减
加减很简单，对应的分量加减即可。例如：
张量的加法运算
1-3-2. 张量的点乘
严谨的说法叫缩并，点乘是降阶的。
如a有4阶b有2阶， a点乘b得到的就是4-2=2阶
如a有2阶b有1阶， a点乘b得到的就是2-1=1阶（矩阵乘向量）
如a有2阶b有2阶， a点乘b得到的就是2-2=0阶（矩阵乘矩阵）
点乘结果的阶数就是阶数大的减去阶数小的，比如C、G两个张量：
张量的点乘
1-3-3. 并乘/张量积
并乘是升阶的，并乘结果的阶数就是阶数大的加上阶数小的。
张量并乘写法一
并乘除了写圈圈里面一个叉，还可以什么都不写，就紧贴着。
张量并乘写法二
i和j都是自由下标，结果为2阶张量，所以这是9个分量。
张量的并乘运算
1-3-4. 张量的叉乘
叉乘是不升不降的。例如向量的叉乘
张量的叉乘
这里e_i代表坐标轴的单位向量，e_ijk叫做置换符号(又叫里奇符号，后面的引力场方程会再次出现以这位数学家命名的张量符号）
张量的置换
1-3-5. 用张量记号简写求偏导
张量也可以简写求偏导操作，例如：
(∂ϕ/∂x, ∂ϕ/∂y, ∂ϕ/∂z)
就可以简写为∂ϕ/∂i，或者∂i
注意：张量的乘法运算中，交换顺序结果会改变，即AB≠BA。
张量还有很多运算方式，因篇幅限制就不细解了，我们只需知道张量的基本数学概念即可，因为我们的目的是理解后面的物理公式，下面就开始详解爱因斯坦引力场方程和杨—米尔斯方程。
2-先看广义相对论的爱因斯坦引力场方程：
爱因斯坦场方程
这是一个二阶张量方程，R_uv为里奇曲率张量表示了空间的弯曲状况；G_uv为爱因斯坦张量；T_uv为能量-动量张量，表示了物质分布和运动状况；g_uv为里奇度规张量；R为里奇曲率标量，G为万有引力常数；c为光速；其中u、v= 0,1,2,3，表示四维时空。
2-1.其中能量-动量张量T_uv用4×4矩阵方式展开式如下：
能量-动量2阶张量T_uv展开的4×4矩阵方式
其中1、2、3表示X/Y/Z轴组成的三维空间，0表示第四维度的时间。T_00表示能量密度除以光速的平方；T_01/T_02/T_03为动量密度，即相对论的质量；T_10/T_20/T_30在此表示能量；
T_11/T_12/T_13/T_21/T_22/T_23/T_31/T_32/T_33为动量……
2-2.可能大家觉得上述指标u、v很难理解，请见以下详解：
四维时空是由X/Y/Z轴和时间t轴构成的闵可夫斯基平直坐标系。
四维时空的模拟图，时间t轴与XYZ轴均成45度
广义相对论是用黎曼流体几何描述的，具体到某一点的作用，就需要用该点切空间TxM中的一组切向量u和法向量v来表示。
黎曼流体几何中任意一点，可以用的切空间TxM、切向量u和法向量v来表示
那么这两个向量u、v在X/Y/Z轴投影的分量就可以用下图表示。
指标1、2、3也可以用X、Y、Z 替换，蓝色箭头T理解为时间分量
由此可见，将张量展开成数组或矩阵，就是将作用量从黎曼流体空间转化成笛卡尔平直空间的过程，这也是张量非常重要一个的几何意义。
2-3.同上，里奇曲率张量R_uv的展开式，也可以用矩阵方式描述:
里奇曲率2阶张量R_uv展开成矩阵
同样是一个二阶张量，它包含了时空曲率的所有信息，是一个在黎曼流形每点的切空间上的对称双线性形式。它是黎曼曲率张量的一个缩并，提供了一个数据去描述给定的黎曼度量所决定的体积，究竟偏离了欧几里得空间多少的程度。
2-4.里奇度规张量g_uv是从黎曼度规张量缩并而来的，是指用来衡量度量空间中距离及角度的二阶张量：
g_uv = ∂x^α/∂x^μ * ∂x^β/∂x^ν * g_αβ
将平直时空的度规变换到引力场中一般坐标系中，就需要引入度规张量，它是从狭义相对论的闵可夫斯基四维的平直坐标系转变为黎曼流体几何坐标系，所需要的一个常量张量，非常复杂，我们简单的知道这个概念即可。
下面的公式就是著名的场方程
2-5.爱因斯坦场方程的物理意义是：空间物质的能量-动量T_uv = 空间的弯曲状况R_uv，在任意参考系内，质量都会产生引力，引力会弯曲时空。
举个例子，太阳和地球下灰色的桌布表示时空，太阳拥有足够大的质量因此能产生较大的引力，会使时空弯曲。弯曲后的时空，距离太阳越近的地方桌布凹陷的越深，就是时空弯曲程度越大；地球距离太阳较远，时空弯曲程度较小；而离太阳很遥远或无穷远处，时空弯曲程度很小，桌布基本上是平的。爱因斯坦场方程，就是对这个时空弯曲效应的量化描述。
天体的时空弯曲效应就是由场方程来量化的
3- 大名鼎鼎的杨—米尔斯方程形式如下，是以杨振宁和他的学生米尔斯的命名的伟大公式。
杨—米尔斯方程的一般形式
3-1．要理解该方程，需要先简单了解一下李群：
从代数上定义，李群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。设G是一个拓扑群，同时是一个微分流形，若G作为群的群乘法与逆映射都是光滑的，则G称为李群。
这样说大家可能觉得十分抽象，那么从几何上看，SU(N)作为李群，它不仅仅是矩阵群，它同时也是一个N²-1维的弯曲流形，即一个高维的曲面。
曲面的切空间TΩ0SU(N)，就是李群SU(N)
我们将SU(N)视为高维的曲面，那么对于任意Ω0∈SU(N)，用表示TΩ0SU(N)在处的切空间。在数学上我们称这个切空间为李代数，它是一个N²-1维的线性空间，其基底是N²-1个线性无关的埃尔米特矩阵，即：
埃尔米特矩阵
在物理中，我们称这些李代数的基底{τa}是规范场的表示元，原因在于它们确实可以被用来表示规范场[1,2]，是规范场中最基本的物理量，就如同我们中学时所学的向量需要通过坐标系来表达一样。当N=2的时候，这一组基底在标准模型中取用3 个泡利矩阵表示；当N=3的时候，这一组基底在标准模型中取用8个盖尔曼矩阵表示。这两种矩阵是我们讨论强、弱相互作用时要使用的，它们如下图所示：
泡利矩阵是对称的，盖尔曼矩阵是非对称的
对李群这个概念，我们继续沿用前面章节1-1-5的集邮的比方，李群中的数组就是每个人的多本集邮册，那么李群就类似于多人组成的集邮协会，是个集合，或群体。
3-2.接下来就讲解杨—米尔斯方程，它还可以写成如下形式：
SU(2)和SU(3)群的杨米尔斯方程形式
那么上述两个方程，从上到下从左至右，全部数学符号的意义如下：
£_YM：杨—米尔斯张量而形式的拉格朗日量，是一个2阶协变张量，即系统的动能T与势能V的差值。
张量中的u、v：是指四维时空中的两个指标u 、v = 1,2,3,4。其中1,2,3分别表示X/Y/Z坐标，4表示时间。
F_uv^a：是一个3阶混合张量，表示规范场a中有u、v两个指标的场强张量F，其中a、b、c的含义和关系见下。
∂u和∂v：即∂ψ/∂u和∂ψ/∂v，表示对四维时空中的u、v两个指标求偏导，ψ是规范场中的波函数。
张量中a、b、c：符号a是李代数群的指标，表示SU(N)群所对应的规范场数量为N²-1；如SU(2)群弱相互作用对应的3个规范场，a=1,2,3；SU(3)群强相互作用对应的8个规范场，a=1,2,3……,8；指标a决定了指标b、c并构成了李群，它们之间满足张量计算τ_b τ_c - τ_c τ_b = i f_bc^a τ_a，其中τ_a为李代数的基底（基底可以简单的理解为矢量在坐标系中转换的度量衡或转换单位），i为复数，基底的变化还决定了b、c指标不同的取值范围。
混合张量f_bc^a：是李代数结构常数，f_bc^a取决于基底τ_a的选择，从上面a、b、c的张量计算式中就能看出a和b、c变换方向相反，所以构成了f_bc^a形式的混合张量。在非阿贝尔群中，这些常数反映了群元素的乘法不满足交换律的特性。
符号g：SU(N)群的耦合常数，是粒子通过相互作用转化过程强度的参数。
混合张量A_u^a、A_v^a、A_u^b、A_v^c：其中的张量指标u、v、a、b、c的定义同上，A为矢势；前两个二阶混合张量表示粒子在规范场四维时空的矢势；后两个混合张量表示李群结构中的矢势。
玻色子的自旋量子数为整数，而费米子的自旋量子数为半整数
3-3.数学一旦清晰，就能从物理上解释杨—米尔斯方程：
杨—米尔斯方程从SU(N)规范变换也可以给出拉格朗日作用量—即G_v^a的泛函（泛函是指将函数本身作为一个变量元，形成一个新的函数），那么G_v^a就是规范场：
杨米尔斯方程的规范场变换式
3-3-1.量子力学的框架是：四种基本相互作用都会辐射场粒子，这种在发生相互作用的过程中辐射出来的场粒子就是媒介子，它是玻色子，也是场能量的携带者。按照规范场理论，媒介子就是由规范场来刻画的基本粒子。在电磁相互作用中，媒介子是光子，规范场就是电磁场；在强相互作用中的媒介子有8种胶子，正好由SU(3)群8种规范场来描述，规范场是强核力场；而弱相互作用中的媒介子有3 种，即W+/W-/Z三种玻色子，而SU(2)规范场有3种，规范场是弱核力场。
按照量子电动力学，传递电磁力的媒介是光子
媒介子是参与相互作用的一些粒子，它们被认为在相互作用的过程中传递相应的相互作用，是两个费米子发生相互作用的“媒介”。而费米子是构建物质的基本粒子，包括夸克、质子、中子等，由它们组成各种微观粒子，费米子在规范场中由波函数ψ来刻画，描述他们的运动方程是狄拉克方程。
按照弱电统一论，传递弱核力的是W+、W-和Z三种玻色子，均存在质量
3-3-2.电磁场是U(1)规范场，是可交换的变换群即阿贝尔群。此时杨—米尔斯方程中的耦合常数g为零，那么方程右边只剩下前面两项，∂_u G_a^v -∂_v F_a^u物理意义就是规范场中粒子的拉格朗日作用量（动能-势能）。我们可以从张量形式的麦克斯韦方程组，推导出杨—米尔斯方程，这个过程非常复杂，此处略。
按照量子色动力学，传递强核力的是胶子，在三个夸克之间以光速来回运动
3-3-3.SU(2)和SU(3)为非阿贝尔变换群的规范场。前面描述过，SU(2)群弱相互作用对应的3个规范场，a=1,2,3，对应的是W+、W-和Z三种玻色子形成的3个规范场；SU(3)群强对应相互作用的8种胶子，a=1,2,3……8，形成的8个规范场。
按照规范场论，胶子共有8种，其中每一种代表了一个规范场
比如SU(2)群的强度张量F_a^u（指标a=1,2,3表示三种玻色子的形成规范场；指标u=1,2,3,4表示X/Y/Z轴和时间轴）的矩阵展开为4×3矩阵：
强度张量F_a^u的矩阵展开式
其中每个分量代表了每个规范场在四维时空中的作用量，方程中的另外几个张量也可以按照此方式展开。指标u、v的含义与前面爱因斯坦场方程第2-2章节的描述形同。
方程最右边的g f_ij^a A_b^u A_c^v是二次项的规范势，含义是SU(2)和SU(3)群中不同规范场的相互作用所形成的场势能，体现了规范场的非线性特征。比如SU(2)群W±玻色子和Z玻色子形成的规范场，因为玻色子质量、速度、动量等不同，形成不同的场势能，这表明不同玻色子的作用量是不同的。
杨振宁和他的学生米尔斯
3-3-4. 杨—米尔斯方程采用张量和李群的数学方式，描述了规范场场强和能量的转换数学关系，将U(1)×SU(2)×SU(3)作为规范理论，统一了电磁力、弱力和强力，具有划时代的意义。
杨—米尔斯规范场理论得到的最重要结果之一是渐近自由，该结果可以通过假设耦合常数g(小非线性)，高能量和应用摄动理论得到。该理论明显具有普适性，只要规范群有连续的参数，其取值范围是有限的。关键在于适当选择描述规范对称性的连续群，以及粒子规范变换的具体形式，即τ_a的选择。
方程准确的预测了方程中的玻色子种类a，指导弱电统一论和量子色动力学的研究方向，建立了标准模型，迄今为止所有的实验，都没有超过标准模型的预测，这的确是一项伟大的成就。
四种作用力有三种被杨-米尔斯规范场论所统一，唯独万有引力置身事外
爱因斯坦场方程和杨-米尔斯方程都是非线性的，而且都是将空间流体面，通过张量方式微分到笛卡尔平直空间坐标，对空间-时间-运动-能量来进行量化计算的。
但是两个方程的张量形式和意义是有区别的：爱因斯坦场方程是将4阶的黎曼张量缩并为2阶的里奇张量来描述的，方程对应的是广义相对论的基本原理，即物质告诉时空怎么弯曲，时空告诉物质怎么运动；杨-米尔斯方程则是通过李群代数的2阶张量和3阶张量二次项来描述的，方程对应的是规范场理论，即粒子的作用在某种规范变换下保持不变，这是一种量子场论。
两个伟大的方程都是以张量形式表达的
杨-米尔斯方程虽然统一了电磁力、弱核力和强核力，但是无法与引力场方程自洽，最明显的就是SU(N)群中未包括引力作用，这被少数物理学家夸张的戏称为“物理学的乌云”。但是这并不妨碍广义相对论和规范场论在各自的领域各行其道，获得广泛认可的同时，并对现代物理起到引路航标的作用。
左为闵可夫斯基，德国数学家，爱因斯坦的老师。右为学生时代的爱因斯坦，萌萌哒。
后记：正文中出现的闵可夫斯基四维时空，是以爱因斯坦的老师闵可夫斯基命名的。爱因斯坦上大学时学习平平还时常逃课，闵可夫斯基不喜欢爱因斯坦，称他为懒猪。但是爱因斯坦用老师的四维时空理论建立了狭义相对论，并将老师的名字写进书中，闵可夫斯基也因此名垂青史，这也算是一个趣闻。
人类历史上最伟大物理学家排名 ：1.牛顿 2.爱因斯坦 3.麦克斯韦 4.杨振宁
目前多数观点认为，在伟大的物理学家排名中，前四名依次是牛顿、爱因斯坦、麦克斯韦、杨振宁。这四人中，数学最好的是牛顿，因为他是微积分的发明者之一；最差的是爱因斯坦，他的场方程是求助了几位数学家才完成的。可见数学在物理中的作用是非常巨大的，优秀的物理学家往往是数学家，但是数学家往往较少是物理学家。数学作为最重要的工具，为其它学科提供的帮助，远比我们想象的要大得多。
热门跟贴