从微观到宏观，能量的各种具体表述方式和物理意义|动量|势能|引力|张量|牛顿|物理意义|粒子|能量

不论是微观状态的基本粒子，还是宏观状态的天体星系，我们在描述其能量时都有不同的表述方式，本文就将对这些物理过程做简单阐述。

德国物理学家普朗克（1858~1947），量子力学创始人，获得1918年诺贝尔奖

对自由状态的基本粒子而言，其能量按照普朗克公式E=hf，h为普朗克常数f为频率，该公式可以根据质能方程推导出来。根据波粒二象性，当速度v<<光速c时，可以简单的认为粒子的能量E=1/2mv²=hf；当v接近c时，E=mc²=hf；其意义为粒子的能量就是其动能。非自由状态的基本粒子，如果考虑到其它粒子的作用还应加上势能，比如其它粒子的电磁场对该荷子产生的电磁力而产生的场势能，可根据库仑公式F=k(q1)(q2)/r²和势能公式U=qV，V是电场场强，得到电子的势能U=-k(q1)(q2)/r，其中q1为原子核的电量，q2为电子的电量，r为电子距离原子核的距离，根据这个公式，可以计算出电子在同位的势能大小。

法国物理学家库仑（1736～1806），电荷的单位就是以他的名字命名的

对于微观粒子和宏观物质，可以根据狭义相对论的质增公式m=(m0)/sqrt[1-(v/c)²]和牛顿第二定律推导出质能方程，其中m物体加速后的质量，m0为物质的静质量，sqrt为平方根符号。通过简单的积分运算，质能方程推导过程如下：

E=∫Fds=∫d(mv)/dt*vdt

=∫vd{(m0)/sqrt[1-(v/c)²]}

=(m0)c²/sqrt[1-(v/c)²]-(m0)c²

=mc²-(m0)c²

其意义为速度为v时物质的能量可以表示为mc²，静止时能量为(m0)c²，于是可得E=mc²。

对于复合粒子和宏观物质，才存在内能，某种意义上我们可以简单的理解为的基本粒子动能积分之和就是宏观物体的内能。

这位就不用介绍了，地球人都知道

比如三个夸克和胶子组成的质子，可以简单的表示为能量E = 夸克之间的强核力产生的场势能E1 + 夸克振动的动能 E2 + 胶子振动的动能E3，其中E1＞＞E2+E3。其实夸克内部能量极其复杂远非这种简单表达方法，这里可以近似的用质能公式和动能公式计算，E=mc²+1/2mv²，即夸克的总能量为其内能和夸克胶子振动的动能之和，其内能就是夸克之间被胶子禁锢在一起的强力产生的结合势能。

因此，我们通常所说的内能E=mc²指的是复合粒子系统的总能量，而不是基本粒子的内能，基本粒子使用该公式时表示其达到或接近光速运动，比如光子、胶子和引力子以光速运行，中微子接近光速，强势场中的电子也接近光速。基本粒子无内部结构，因此没有内能只有动能，基本粒子的动能来自于强力场和电磁场等。

按照量子力学理论，不仅宏观物质，任何粒子也是遵守相对论质增原理，比如质子在粒子加速器中磁场的的加速下，速度增加后质量也会增加。又比如电子吸收了一个光子，获得能量并加速后，其质量会增加。

美国物理学家盖尔曼（1929～2019），夸克的发现者，获得1969年诺贝尔奖

从量子角度看，宏观物质和微观粒子为什么加速后质量和能量增加？物质加速的能量无非来源于外部的引力场、电磁场、强力场、弱力场等作用，外部能量ΔE’可以转化为物质能量ΔE，然后转化为物质的动能1/2(m0)v²，该动能又转化为物质增加的质量Δm。于是我们得到质能方程的另外一种写法，即

ΔE=mc²-(m0)c²

=Δmc²=1/2(m0)v²

m为物质加速后的质量，m0为物质的静质量，ΔE为能量差即等于物质获得的动能1/2(m0)v²。其意义就是物质加速后增加的动能等同于其质量增加，这就是狭义相对论质能方程的含义。当然质能方程还可以用以下公式描述可以更加清楚的解释上述内容，也可以质能方程的泰勒展开式描述即E=mc²+1/2mv²+3/8m(v/c²)²+ ……第三项和之后的为势能，在v＜＜c时可以忽略不计。因此可以说物质的动能和内能是可以互相转化的。

英国伟大的数学家泰勒（1658～1731），提出了有限差分法和泰勒定理

例如，一个质量为m中子衰变成质量为m1质子、n2个质量为m2的电子、n3个质量为m3的反中微子，那么在不考虑中子和质子动能和电子势能的情况下，根据上述方程，于是可得中子的能量E=mc²=(m1)c²+1/2(n2)(m2)(v2)²+(n3)(m3)c²=(m1)c²+h(n2)(f2)+h(n3)(f3)，其中中微子的速度接近光速故其动能为(m3)c²。因为电子和反中微子是基本粒子且低于光速，因此其能量可以用粒子动能和波动能量同时来表达。从中可以看出，质子的质量小于中子的质量，与观测结果是符合的，质子的确是最轻的重子。

而在夸克衰变成电子和光子的过程中，也可以用上面这种近似的方法来表示光子的能量，但是光子静质量为零，因此不能用动能公式mc²来表达，只能使用E=hf表示。

法国物理学家德布罗意（1892～1987），首先提出粒子波的动量和能量方程，获得1929年诺贝尔奖

对于恒星和行星等天体，虽然其内部分别存在核聚变和内部热能，但是也可以简单估算其内部能量E=mc²，据此我们可以估算恒星的寿命。恒星的寿命公式为T=1/10E/L=1/10Mc²/L，M为恒星的质量c为光速L为恒星的光度，即恒星每秒辐射的能量；1/10为常量项，表示恒星内部大约只有10%的物质能够直接参与核聚变。

对质量分别为M和m的两个孤立天体，m与M相距r时，根据万有引力公式和牛顿第二定律，对于质量较小的天体动能可表示为Ek=1/2mv²=GMm/2r，于是可得v=sqrt(GM/r)；取无穷远处为万有引力势能零点，则引力势能Ep=-GMm/r；于是可得天体的总机械能为E=Ek+Ep=1/2mv²-GMm/r=-GMm/2r，该机械能对研究天体的运行轨道和星系合并等现象具有重要意义。

科学巨匠牛顿（1643～1727），英国物理学家和数学家，因发现牛顿三大定律、万有引力定律和微积分而名垂青史

而对于黑洞而言，因为光子逃离天体的过程就是克服引力的过程，光子的动能=引力势能，即上述Ek=Ep，1/2mv²=GMm/r并简单用光速c代入v，可得r=GM/c²，这就是史瓦西半径，表示光距离黑洞的最小逃逸距离，一旦小于此半径光将被黑洞吸收。其物理意义并不是黑洞的引力势能大于光子的能量而吸收光，而是黑洞附近弯曲的空间曲率极大，光的行进路径被弯曲从而落入黑洞。

德国科学家史瓦西（1873～1916），首先推导出黑洞史瓦西半径公式

上述全部能量计算中，并没有考虑到其它物质的影响，比如计算电子能量时，不仅有自己的动能，该原子核电磁力产生的势能，还有相对于其它原子核和其它电子的势能，因此较为准确的计算需要用到微扰法。比如，含有微扰的哈密顿量H=H0+λV，H0为本征值，λ为无量纲参数，V表示微弱的物理扰动这里可以理解为场产生的势能。如果微扰足够弱时，可以将能量表示为E=E(0)+λE(1)+λ²E(2)+......E(0)为本征能量，后面几项的幂级指数项为扰动值，即1级、2级、3级......的近似值。

微扰法不仅用于量子的计算，也用于天体。比如地球不仅受到太阳的引力作用，还受到其它行星的引力，也可以采用微扰法。但是通常情况下，我们只需对太阳这个主要引力场计算引力势能，就可以得到近似解。

计算八大行星的动量和轨道，都要用到微扰法，因为行星之间也互相存在引力作用

涉及到复杂作用场的能量，比如爱因斯坦引力场方程

G_uv=R_uv - 1/2Rg_uv

=8πGT_uv/c^4

其中这是一个二阶张量方程，R_uv为里奇张量表示了空间的弯曲状况；G_uv为爱因斯坦张量；T_uv为能量-动量张量，表示了物质分布和运动状况；g_uv为里奇度规张量；R为里奇曲率标量；G为万有引力常数；c为光速。物理意义是：空间物质的能量-动量T_uv =空间的弯曲状况R_uv。其中Tuv用矩阵方式展开式如下：

能量-动量Tuv张量的4X4矩阵展开式，矩阵是数组的另一个表现形式

其中1、2、3表示X、Y、Z轴组成的三维空间，0表示第四维度的时间。T_00表示能量密度除以光速的平方；T_01、T_02、T_03为动量密度，即相对论的质量；T_10、T_20、T_30为能量；T_11、T_12、T_13、T_21、T_22、T_23、T_31、T_32、T_33为动量……可见场方程中能量的表达方式极其复杂，目前还不能对该方程求解，只能在特定条件下求近似解。

而作为终极理论的弦理论，通常认为弦的大小接近普朗克尺度，∂²ψ/∂x² - (1/c²)∂²ψ/∂t² = 0方程描述了弦的振动，其中ψ表示弦的振动幅度，x为弦的位置，t为时间，c为光速。这个二阶偏微分方程表明，弦的振动遵循波动规律，正是这种振动使得弦能够产生各种基本粒子。

弦理论目前还是一种假想理论，它认为万物都是由各种弦构成的

为了更好地解释基本粒子之间的相互作用，弦理论满足如下场方程：Rₘₙ - 1/2gₘₙR = κ(Tₘₙ - 1/2gₘₙT)。其中Rₘₙ是里奇张量，R是里奇标量，κ是常数，Tₘₙ是能量-动量张量，gₘₙ是对称度量场。这些方程描述了弦在高维时空中的运动以及与其他场的相互作用，我们所关心的弦在作用场的能量Tₘₙ还是以很复杂的二阶张量来表达的。简单的说对于弦的主弦振动能量，依旧满足质能方程E=mc²，因为弦理论认为全部基本粒子都是由断开或闭合的弦构成的，即基本粒子都有内部结构。

本文并未描述热能，因为热能的本质就是微观粒子运动的动能，我们可以用粒子的动能来描述热能的大小。

比较弦理论只存在于理论而未经证实，还是回到经典量子力学，ih∂ψ/∂t=V(x,y,z)ψ-h²(∂²ψ/∂x² +∂²ψ/∂y²+ ∂²ψ/∂z²) /2m是薛定谔方程的三维形式，这是个二阶偏导微分方程，其中的ψ为波函数h是约化普朗克常数m为粒子质量t为时间，与弦理论一维的振动不同，是对三维空间求偏导，其中V(x,y,z）项就是粒子的势能，即粒子所在电场和磁场中的势能。其物理意义简单的说是，电磁场的能量产生了荷子的波动，即粒子波的动能来自于场势能。

奥地利物理学家薛定谔（1887～1961），量子力学奠基人之一，获得1933年诺贝尔奖

最后来简单分析一下麦克斯韦方程组是如何表达能量的，高斯定律曲面积分形式：∫∫Eds=Q/ε；法拉第定律路径积分形式：∫Edl=∫(dB/dt)ds；高斯磁定律曲面积分形式：∫∫Bds=0；安培麦克斯韦定律路径积分形式：∫Bdl=uI+uε∫(dE/dt)ds。其物理意义最简单的说就是，电场E和磁场B是可以互相转换的，因为电场和磁场分别代表着能量，所以其能量统称为电磁能。

伟大的英国物理学家和数学家麦克斯韦（1831～1879），因统一电磁理论而闻名于世

整个宇宙中，大到黑洞，小到弦，只有数学表达式而没有系统理论的物理过程是毫无意义的，而只有理论描述却没有数学表达式是不完善的，二者是相辅相成的。能量存在于各类场中，那么可以得出，场的概念就是：充斥着各种量子的、符合不同数学函数的、满足各自物理作用原理的、能量传递和交换的时空。而能量是在各类作用场中通过量子传递的，比如光子传递电磁能量，引力子传递引力势能，胶子传递强核力的能量，W和Z玻色子传递弱核力的能量。

那么什么是能量呢？通过本文我们完全可以得出结论，不论是微观粒子还是宏观物体，能量等同于质量，而能量和质量都来自于粒子的波动，因此可以说，能量的本质就是量子的振动。