最近,陶哲轩在一篇文章中,详细探讨了四元数与球面三角学之间的深刻联系,并展示了它在天文学中的实际应用。
他通过推导“日出方程”,揭示了如何用数学工具精确计算特定地点的日出与日落时间。
在陶哲轩举的例子中,球面三角学推导“日出方程”,能用来计算地球上某一特定位置和时间的日出与日落时间,涉及以下两个核心天文概念:
1. 太阳赤纬:太阳相对于地球赤道的角度,决定了不同季节中太阳在天空中的高度。
2. 地理纬度:地球表面某点相对于赤道的角度,直接影响昼夜长短的变化。
通过球面三角学,我们可以利用这两者之间的几何关系,精确计算在不同纬度和太阳赤纬条件下的日出与日落时间。
陶哲轩进一步将四元数引入球面几何的框架,揭示了天文现象的数学本质。
他谈到:四元数是一种数学工具,扩展了我们熟悉的复数系统。
众所周知,复数由一个实数部分和一个虚数部分(比如 a + bi)组成,而四元数则由一个实数部分和三个虚数部分组成,形式为 t + xi + yj + zk。
这里的 i、j、k 是三个不同的虚数单位,它们有特定的乘法规则,其中每个虚数单位的平方都是 -1,例如:
- i * j = k
- j * k = i
- k * i = j
而四元数具有以下的特点:
1. 非交换性:四元数的乘法不具备交换性,即 ab ≠ ba。这与普通数的乘法不同。
2. 规范和逆:每个非零的四元数都有一个“规范”(类似于长度)和一个“逆”,这使得四元数在数学运算中非常有用。
3. 单位四元数:规范为1的四元数称为单位四元数,形成一个数学群,这个群在描述三维空间中的旋转时非常重要。
由于以上特点,四元数就成了处理三维几何与球面运动的理想工具。
再来说说球面三角学,它研究的是球面上的三角形,其特点是三条大圆弧组成的边,以及独特的角度与边长关系。
通过将四元数与球面向量相关联,我们可以极大简化球面三角学中的复杂运算。
特别是,四元数在表示三维旋转时,可以避免传统欧拉角方法中常见的“万向节锁”问题。
陶哲轩介绍的四元数,为我们理解球面几何提供了一个全新的视角,也再次印证了数学的无穷魅力。
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