最近，有为学子先问了一些有关西方科学大神的问题，他对这些西方科学人物有疑惑：托马斯杨、亥姆霍兹、本生、库仑、安培、欧姆、伏打、舍勒、丢勒、洛伦兹、洛伦茨、拉普拉斯、拉格朗日、柯西、达朗贝尔、赫尔德、汤姆生父子、伯努利家族、爱森斯坦、盖斯等等。
上述这些人物，笔者在往期的有关近代科技史的文章中已有提及或分析，如安培、伏特（打）、拉格朗日、拉普拉斯、伯努利，其他的还有帕斯卡、笛卡尔、牛顿、爱因斯坦、欧拉、马可尼、莱布尼茨等等，兹列如下：
1、《令人惊愕的对比：法拉第、伏特、富兰克林的主要成就竟然都是杜撰》
2、《欺骗华夏那么多年，欧拉这座虚构的神像也该倒掉了。又一个集体创作的莎士比亚，一堆数学家都没整明白华夏数学，还把几何和代数割裂开来》
3、《皇极经世》被抄成了低配版的相对论，欧拉也被顺势带倒：学不到运动数学别怪我，我真的没看懂，只能把代数和几何割裂开来了……》
4、《拉格朗日：我只是柳夜熙，没想那么牛，是后世把我杜撰成伟大天才的。华夏典籍中的发明权、版权、冠名权都快被人抢光了……》
5、安培和奥斯特在这儿：《多米诺骨牌效应已现：电磁学竟然起源于中国，一切从肄业假博士西医玛高温和<博物通书>说起》
6、《电磁学的中国起源，又有新证据出现，风雨中砥砺前行，再放铺路石》
7、《你敢相信吗？电话最早出现在中国，与贝尔无关，爱迪生、奥斯特原来如此》
8、《无线电之父真是西人马可尼吗？为何史料显示无线电技术源自东方？》
9、《明代科技是怎么“消失”的：刑云路的万有引力也是砸中牛顿神父的苹果？利玛窦自称西域番僧，勾结白莲创编耶稣天主教？》
10、《牛顿那个圣三一学院，原来是这么来的，怎么又与华夏有关？》
11、《当知道李善兰后，不仅对牛顿和莱布尼茨产生了怀疑，还对相对论和爱因斯坦产生了高度质疑。西方造神，可能把全世界都带上了歧路……》
12、《牛顿和莱布尼茨虚假神话破灭后，爱因斯坦也彻底走下了神坛。西史到处都是漏风的破洞，还有真的吗？》
13、《笛卡尔翻车，我思我不在：近代科学始祖的神像崩塌，只是卑微的低阶神学家，连解析几何之父的荣誉也是偷来的》
14、《西方天才神话破灭：“发明对数与小数点”的纳皮尔大露马脚》
15、《瞧，西人的数学公式和定理是这样从永乐大典等中国古籍中变出来的》
16、《西方伪史再暴大瓜，开普勒、哥白尼、第谷等在中国典籍面前相继倒下》
17、《创作手法首次曝光：谁也没有料到，哥白尼竟然是“三体”人》
18、其他科学大神在这里：《顺藤摸瓜，揪出欧洲知识大爆发的秘密源头：梅森修道屋。原来，这里是利玛窦的欧洲接头地点，梅森是利玛窦的密友，数百位大师从这里诞生》
19、《用华夏典籍和知识来装裱的西方科学院：外表高大伟岸，内里却是荒诞不经、鄙陋不堪。这样的水平真能发展出科技？都是偷来的吧？》
20、《文字一打假，世界全安静：儿童启蒙教材都没有，小学教育也是问题，咋就遁入大学成天才了？怪只怪传教士太忙，忽略了这个致命漏洞》
21、《算学启蒙基础直击西方数学与历学软肋，中国近代多位数学史大家和当代数学大师都在努力正本清源，反西方伪史》
22、《在西方普遍没有姓氏时，怎会突兀出现哥伦布这个姓？发现新大陆的哥伦布不是人，只是个地名？花旗国首都原本不叫华盛顿，而叫哥伦布？》
23、《百思不解的悖论：一边是苦无天日的黑暗中世纪，君主与民众都是文盲，一边却孕育了数不胜数的代表高等学识、高等教育的世界知名学府……》
24、《几何原本》的作者果真是两个中国人，呵呵！》
25、《为什么说函数、微积分、根号皆出于华夏？》
如果认真读完上述文章，想必对近代西方科学历史就有一个大概的认识了，至少很多问题不再疑惑。
这位北大学子在西方伪史划定的框架内还询问了一系列有关线性代数的问题，例如：
“Sylvester（西尔维斯特）秩不等式是否曾在中国古籍/传教士等人译著中出现过？”
“矩阵的左乘、右乘，初等矩阵，矩阵的初等行变换、初等列变换，秩，分块，迹，特征向量，正交化，相抵，相似，对角化”；
“向量组的秩，线性空间，线性空间的八条运算法则（为什么保证空间线性性的法则是这八条而不是别的法则），线性空间的维数，线性空间的和与直和线性空间的维数与生成该空间的向量组的秩相等的原因。”
对不起，我毕业至今在实际工作和生活中很少使用线性代数，所以概念早已忘得一干二净，只剩下一个大概的印象，要我立刻背出概念，我比较差，做不到。
而且，由于过去数年在西史辨伪中发现的有关传教士数学理解、翻译等走偏的问题，笔者现在本就在尝试放弃一些当今极度西化（改头换面后）的数学概念，准备回到源头，重学华夏算学，以华夏算学的思维和概念来审视一些问题。
华夏算学中对于很多问题的阐述，是直指本质的，而非西方那种巧饰繁杂的遮遮掩掩。这个已经在往期多篇文章中分析过了，近的可以看看常函数、越函数、圆函数、阴函数、阳函数的对比分析，详见《为什么说函数、微积分、根号皆出于华夏？》。
举个通俗易懂的例子，让大家看看西方传教士是如何“偷梁换柱”、“改头换面”的。
1823年，英国伦敦会传教士马礼逊终于将整部《华英字典》出齐，共有六巨册，合计4595页，至此，英文才初步有了成为书面语言的条件，可以承载一些理论知识、数学知识。但对于更高深的理论知识，尚不健全的英语体系仍旧时时感到十分乏力。
马礼逊《华英字典》第三本（A Dictionary 3 of the Chinese Language 3【英汉 R 莫里逊 DD】），现藏于斯坦福大学图书馆（Stanford University Library）。
需要指出的是，根据马礼逊的《华英字典》，截止1823年，英语中没有“U”，使用的是“V”，所以大学这个英语单词的拼法不是University，而是Vniversity。因此，凡是1823年以前所谓英文“原本”中出现U的，都值得怀疑，皆有伪作之嫌。
上述《华英字典》第三本第29页，记载了弧、度、直角的“中文定义”，这个内容想必绝大多数中国人都从未看到过。
何谓弧和度？
“圜界以所对之角而命其弧，而角又以所对之弧而命其度。”
何谓直角？
“凡角相对之弧得圜界四分之一者，此角必直，故谓之直角。”
这里的“圜”，可以理解为“圆”，也就是说，把一个圆从圆点横一刀、竖一刀，等分为四份，所得的角，就是直角。
中文的大白话，容易理解吧？咱们来比较一下西史中有关直角的定义。
经过一番修饰和篡改，《几何原本》中有关直角的定义变成了：当一条直线和另一条横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角。
笔者的感受是，虽然最终阐述的角都是90度，本质上相同，但却将具有华夏特殊概念和意义的“圜”去掉了，切断了这些知识与华夏之间的联系，而且让所学之人无法理解这直角的来源是华夏的“割圆”之术。
只有沿着华夏算学的发展脉络，才会深入理解很多数学知识因何产生，其记忆才会更加深刻。光学一些碎片化的知识，不理解底层的构建原理和初衷，是很百尺竿头更进一步的。
接下来再看第25页，这里记载了角、直角、矩，勾股弦相求之法。
从“勾股弦相求之法”的中文字面上来看，一眼就能瞧出这是华夏传统的算学知识，但是一旦翻译过去，就成了“From two sides of a right angle being given the method of finding the third”，看英文字面已经完全没有华夏什么事儿了。
如果把上面这句话翻译回中文，就是“从给定的两条直角边出发，求第三条边的方法”，也没华夏什么事儿了。
现在，以西为尊的那些人，拿着经过西方删改、翻译出来的东西，不都是人云亦云，声称都是西方的发明创造么？
第25页还记载了角、锐角、钝角的定义。
何谓角？
（在圜内），角之大小皆在乎角空之宽狭，二线之一端相合于一端，渐离必成一角。且角度俱在圜界。
何谓锐角？
“凡角相对之弧，不足圜界四分之一者，谓之锐角。”
何谓钝角？
“若过四分之一者，谓之钝角。”
有了圜（圆）的大概念，让你动手去割圆，是不是特别容易理解？
再看看西史中有关锐角、钝角的定义。
锐角（acute angle)，是指大于0°而小于90°（直角）的角。
钝角（obtuse angle），大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角。
如下所示，不论是锐角、还是钝角，现行西史都只取了最后两个单词，而把前面那句长长的解释（可能暴露其华夏来源的话），全部删除了。再将其定义，从度数的角度做了一番修改，让人瞧不出所以然来，——其实，这是颠倒了数学认知的次序，正确的顺序是先认识“圜”（圆），再根据需要将其规定为360度，而不是先有度数，再由度数拼凑成360度，成为一个圆。
好了，明白了西人一贯“巧饰繁杂”、“眩吾中国”的道理后，我们接下来可以说说线性代数了。
尽管二十多年不碰线性代数，很多东西都已经还给了老师，但好歹底子还在，要重新捡起来也还是可以的。也许，比不过正在学这门课的同学，没有他们那般熟练，但写写“曲高和寡”的科普文应该够了。
一、早期英语字典和英语词汇对西史的质疑
按照西史叙事，线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科，在现代科学的各个领域都有应用，尤其是计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等等。
西史称，线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究，17世纪时，由于费马（Pierre de Fermat，1601～1665年）和笛卡尔（René Descartes，1596-1650年）的工作，方才得以出现。
不过，直到18世纪末，线性代数的领域一直局限于平面与空间。19世纪上半叶，才完成了到N维向量空间的过渡。
矩阵理论始于英国数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley，1821～1895）。
1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。
如果光看西方历史这段介绍，能看出来线性代数与华夏有任何关系吗？
完全看不出来。
我们再来看看西方定义的有关线性代数的一些名词解释，如线性、向量、特征值、特征向量等等，能看出来吗？
西史叙事称，线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数，而非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。除了线性代数、非线性代数，还有非线性回归、非线性规划、非线性泛函分析、非线性时间序列、非线性微分方程等等。
总之，本来是研究割圆和无限的问题，就把整体的知识体系打碎、分割，让你找不着北，无法窥见其源头，也无法洞悉为什么会产生这些知识。
向量（Vector）：在西式叙事的数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
用大白话来讲，就是在一个平面或空间中，假设一个人走了一段路，那么，肯定会涉及走了多远、往哪个方向走的问题，也就是长度和方向，所以，一个向量其实就是“一个有方向的线段”，用长度和方向（箭头）来同时表示。
但是，实际上人在往某个方向走的时候，除了上述长度（距离）和方向外，还涉及其他因素吗？当然涉及，还有路上花了多少时间，有时间的因素，还有速度快慢的问题，非匀速的问题，甚至，在物理中，还将涉及力的大小问题。其实，作为一个整体，这是运动数学，只是西人没法理解这么多，只能暂时当时间、速度不存在，所以在只考虑长度和方向的情况下，就成了线性代数。
是的，在向量的解释中，与华夏“几何”含义之一【大小程度】相关的另一词语“magnitude”再次出现了。
《几何原本》中的“几何度”，被有的人翻译成拉丁文Magnitudo，导致后世白尚恕认为“几何”一词出自拉丁文意译Magnitudo（白尚恕 2008，第152页）、严敦杰认为几何一词出自英文Magnitude（严敦杰 1959，第31页）皆有待商榷。
Magnitude，英文解释为大小、量级。
徐光启编撰的《几何原本》中“分而截之，显物几何众”，这里的“几何”是指数量；而“显物几何度”，这里的几何是指大小、量级，即magnitude。不过，窃以为，这二者的本意，都是“多少”，只是后面的“众”、“度”不同，导致“数量单位”不同而已。
《周髀算经》中便有“即以一游仪，希望牵牛中央星出中正表西几何度”的表述，这就是“多少度”的意思。
长期以来，有些学者故意用春秋笔法，把几何后面的“数量单位”（如“度”），强行解释成“几何”的意思，试图掩盖“几何”的华夏来源和本意，殊为可恶。
此事也说明了汉字的博大精深，一个“几何”在不同语境下可以表达“多重含义”，然而，表音文字却无法做到这点，只能针对不同的语境、去创造不同的单词来相对应。
青華道人研究《几何原本》后，认为徐光启版本的“几何”有两个意思，分别对应三个单词，笔者表示赞同，兹列如下：
第一个是指数量之多少、程度之大小，与之对应的单词是quantitate，但显然quantitas只表示数量多少，却没有程度大小magnitudo的含义，不能涵盖这个“几何”表达的全部含义；
第一个是指那些可以通过测量而得知大小的度量项，即quantitate continua，连续量，包括有长度的线段、有面积的面、有体积的体。点不是几何。徐版《几何原本∙第五卷之首》第三界对比例定义：“比例者，两几何以几何相比之理。”并解说道：“两几何者，或两数，或两线，或两面，或两体，各以同类大小相比谓之比例。”据此可知，第三界比例定义的前一个“几何”指一切有度有数可以被度量的事物，即前所指quantitate continua，连续量。“数”指数量，quantitate，所以说“其分者若截以为数，则显物几何众也。”
徐版《译<几何原本>引》：“几何家者，专察物之分限者也，其分者若截以为数则显物几何众（quantitate）也，若完以为度（magnitudo）则指物几何大也。”比如，一匹布长十丈，一丈又等于十尺，这个“十丈”就是把一匹布分成十个一丈，“十”就是数，就是quantity。
小结：“几何”一词取自中国古代传统数学中表示问物之多少，长短，高低等等的数量疑问代词，经徐光启引申为审查研究一切有形有维度事物数和度的学问，徐版《 几何原本》之“几何”根据不同语境分别对应拉丁文词汇quantitate continua、magnitudo和Quantitae。
实际上，青華道人在研究中对已经发现了拉丁文数量一词Quantitates和Magnitude的真实来源，二者皆是传教士来华后创造的词汇：
quando＝几多（粤语）；
拉丁语 quantitates（葡萄牙语 quantidate＝quando（几多）+dade（大）＝几多大。这两个词及其中文释义来自第一本《葡汉词典》。
magnitude＝magni-（magnus，摩诃，马，表示“伟大”、“巨大”、“无量”）+tu（度）+do（多）＝巨度多→（今译）大小（比如：体型大小、规模大小）、量纲（对quantity数量大小的描述，基于quantity之上，表示程度。
笔者发现，“线性”（Linear）、“代数”（Algebra）二词在1823年的马礼逊《华英字典》中尚未出现。
没有这两个词，就没有线性代数，又何谈线性代数的定义、研究与发展呢？
华夏算学中的代数真实含义，在李善兰的《代微积拾级》序言中有阐述的：
“中法之四元，即西法之代数也。……代数以甲乙丙丁诸元代已知数，以天地人物诸元代未知数。微分积分以甲乙丙丁诸元代常数，以天地人物诸元代变数。”
关于物理（格致）中的代数，笔者在花旗国传教士丁匙良于1866年所著《格物入门》“卷七，算学，小引，二”中找到了这么一段有关代数的记述：
“所谓代数，即以字代数，用春夏秋冬及天干地支是也。义与数学相同，而其用为更广，盖以数而沾沾计算不免挂一漏万，若使以代数，则一字兼包多数，故格物而无代数，难臻精细。”
而且，这里还发现了一个特别有意思的事。众所周知，在现行的英语中，Alien是外星人。
但是，在1823年马礼逊的《华英字典》第三本第20页中，这个Alien的原始含义是什么呢？
竟然是“夷人”、“番人”，“外国的人”。
所谓夷人，本意是指蛮夷，没有开化、或半开化的部落，距离文明和领先甚远，但是西人在后来修改字典时，故意将其“夷人”、“番人”的含义去掉，而代之以“外星人”的含义，同时保留“外国的人”的含义，以凸显自己的先进。
二、线性方程组与高斯消元法
目前，线性代数主要分为行列式，矩阵，线性方程组，n维向量空间，矩阵相似对角形，二次型及线性变换。在线性代数中，线性方程组可以说是最基础的部分。行列式则是研究线性方程组的一个重要工具。
如果从线性方程的表面来看，其方程中的未知数都是一次方的，没有什么平方、立方，又或多次方的。线性代数主要在干两件事情，其一是把两个东西加在一起（即加法运算），其二是用某个常数去乘以这个东西（即数乘运算）。例如，向量的线性组合、线性相关、线性表示等，都可以看作是先把许多向量乘以系数，然后再加总在一起。
线性方程组中的消元法（西史所称高斯消元法），也是在联立的方程之间加来加去、消来消去。
又如初等变换，不论是初等行变换，还是初等列变换，本质上也是将一行行、一列列相加、乘以常数等等。
至于线性空间、线性变换、线性映射等，上述特征将表现得更加明显。
窃以为，所谓线性代数，就是研究如何利用一些基本元素，通过加法运算和数乘运算，生成一个平面或空间。
线性代数最基础的部分，如二、三元线性方程组的解法，早在两千多年前的华夏便已出现。
根据吴文俊《中国数学史的新研究》(1986年 ICM 报告）的论述，作为数学名词，“方程”的最好解释其实是“方阵”。“方”的字面意义为正方形或矩形；“程”，按刘徽在《九章算术注》里的注释，就是把数据在盘上摆为矩阵：
“并列为行，故谓之方程。”
因此，解法（方程术）便是纵横移动算筹，按现代术语，那就是消去法（矩阵变换）。在《九章算术》的注解中，可以找到依据详细步骤，逐步将方阵化为标准形态的案例。
例如，《九章算术·卷八》“方程”第十题，有一道关于甲乙二人持钱的问题：
“今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问：甲、乙持钱各几何？”
“答曰：甲持三十七钱半，乙持二十五钱。”
“术（解题）曰：如方程，损益之。
此问者言，一甲半乙而五十太半甲一乙亦五十也。各以分母乘其全，内子行定二甲一乙而钱一百，二甲三乙而钱一百五十，于是乃如方程，诸物有分者仿此。”
“损益之”其实就是现在所谓的“高斯消元法”。
高等数学中的高斯消元法，究其本质，不过是中国解线性方程组的古法，在《九章算术》中早已成型，沿用至今，大约两千多年，比那个出生于1777年的所谓的德国高斯早了至少1800年以上。
《九章算术》卷八（四部丛刊景清微波榭丛书本，[晋] 刘徽 注、[唐] 李淳风 注）记载的上述题目和方程解析如下。
有人可能会说，从上述记述中没有看到“方程”啊？
实际上，上述方程是使用“算筹”进行布列计算的。
算筹又称算、策、算子等（西人将其翻译为“Counting Rods”），一般用竹、木、象牙或骨制作而成。
《周髀算经》（四部丛刊景明刊本，[东汉] 赵爽 注、[北周] 甄鸾 重述、 [唐] 李淳风 注）周髀音义“附算学源流”中记载：
“数者一十。百、千、万也，所以算数事物，顺性命之理也。其算法用竹径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚为一握。度长短者，不失毫厘，量多少者，不失圭撮；权轻重者，不失黍参。纪于一，协于十，长于百，大于千，衍于万。其法在算术乎？
附算法歌诀：
开平方法少人通，起手先呼九数重，百与万同并百万，二三隔位一相从，千同十万和千万，三四连身九九终。除尽虚加一倍，回还折半复原宗。”
在20世纪的考古发掘中，多次发现战国秦汉时代的算筹，其中一些算筹上还有红色漆斑，可能是用于负数计算的。神禾原战国秦陵园出土的象牙算筹主要有红白筹和红黑筹两类颜色，与《九章算术》刘徽注释中提到的古代用于正负数运算的“赤黑算”也许有关，应是此类计算工具的早期形态，该研究成果的论文已由李振飞和陕西师范大学历史文化学院郭妍利发表在《考古与文物》刊物上。
神禾原秦陵出土红白筹
神禾原秦陵出土红黑筹
华夏古代筹算，在整数四则运算、分数四则运算、开平方等问题上，皆有成熟法则，被用于求圆周率近似值、一元方程、线性方程组、损益术（消元法）、正负术、天元术、四元术等数学问题的计算。此外，华夏古人使用的算筹还可以表记分数和小数。
天元术，也是一种列方程的方法，即用“天”、“地”两字表示不同的未知数，可解二元高次联立方程式。元朝朱世杰所著《四元玉鉴》中的四元术，是用天、地、人、物四元，分别代表四个不同的未知数，用以表示四元高次方程组。四元术用四元消法解题，条理亦是分明。
算筹的加减运算如下所示：
算筹的乘法运算：计算时，乘法和除法皆为从左至右，乘数在上，被乘数在下，积放在中间。例如，49乘36，步骤及过程如下所示，最后结果为1764。除法与此类似。
熟悉了有关算筹的运算后，来看看《九章算术》中如何用“算筹”表示二元、三元一次方程组。如下图所示，图中各行从左到右列出的算筹数，分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，图1的方程组便是：
3x + 2y = 19，x + 4y=24
图2的方程组则是：
2x + y = 11，4x + 3y = 27
《九章算术》（四部丛刊景清微波榭丛书本，[晋] 刘徽 注、[唐] 李淳风 注）卷八中记载的第一个问题便需联立三元一次方程组：
“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。
问：上、中、下禾实一秉各几何。
今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？
答曰：
上禾一秉实八斗，
下禾一秉实三斗。
术曰：如方程，置上禾三秉正，下禾十秉负，益实六斗正。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗正。以正负术入之。言上禾三秉之实少，益其六斗，然后于下禾十秉相当也。故亦互其算，而以六斗为差实。差实者，下禾之余实。”
《九章算术》卷八订讹又记载：
“（方程）术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行，而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。左方下禾不尽者，上为法。下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余，如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余，如上禾乘数而一，即上禾之类。实皆如法，各得一斗。”
针对这种三元一次方程组，其给出的解方程之术以筹算布列如下：
相当于设上禾实一秉x斗，中禾实一秉y斗，下禾实一秉z斗，根据题意再列方程组：
- x + 2y + 3z = 26
- 2x + 3y + z = 34
- 3x + 2y + z = 39
之后，通过刘徽创造的互乘相消法（消元法），通过筹式阵列的运算，逐步消元，大体过程如下：
最后，可得的方程组：
- 36z = 99
- 5y × 36 = 24 × 36 - 99 【 180y = 765】
- 3x + 2y + z = 39
通过一番计算可得书中答案：
“上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，二斗四分斗之三。”
在长期的筹算中，华夏古人积累并形成了一整套有关运筹规律的口诀，例如，元代朱世杰的“九归”除法“二一添作五，逢二进成十”等等。
这些口诀有助于计算者快速掌握筹算心法，在口与手的协同配合下，提高筹算速度和准确性。至元明，筹算进一步发展，成为珠算，古人曾长期使用的筹算口诀便自然而然成了后来一直沿用的珠算口诀。
通过上述分析不难发现，华夏筹算具有构造性、“机械化”（规则套用，犹如二进制电脑运算）的特点，解决问题的每一步都具有规范化的程序步骤。
其实，这与后面的矩阵乘法在本质上有异曲同工之妙。二者都有数字布列，都有指定位置的数字与另一规定位置的数字相加或相乘，都可以写成联立方程组的形式，目的都是为了简便计算。
实际上，筹算在华夏历史上的意义已经超越了算学（数学范畴），它不仅可以计算各种形形色色的、繁难复杂的数学问题，还延伸到了军事领域和政治领域。例如，行军打仗时，主帅在筹算板上演兵布阵、制定谋略，即“运筹帷幄，决胜于千里之外”。此外，日常生活中还留下了“筹划”、“筹谋”、“筹措”、“筹策”、“筹备”、“筹布”等词语。
《九章算术》卷八通过8个案例，使用2至5个联立方程，通过使用算筹布设“矩形阵列”，使用加法运算和乘积运算，演示了求解联立线性方程的过程。其中所述内容，对线性方程组的解法，是为“刘徽消元法”，本质上相当于现代对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即西史改名换姓后的“高斯消元法”。
若按西史叙事，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。
1693年，莱布尼茨第一次系统化地解决线性系统。1750年，加百列•克莱姆运用行列式给出线性系统的显式解集，如今该方法被称之为“克莱姆法则”。克莱姆法则，有两个使用条件，其一是未知数的个数与方程个数相等，有几个未知数，就设立几个方程；其二，系数、行列式不等于零。
其实，仔细看看《九章算术》卷八所列的联立“方程”，所谓的克莱姆法则，本来就是不言自明的潜在条件。这个情况有点类似华夏古代方程（方阵）中没有“可逆方阵”的概念，但是却存在潜在的“方程等价”思想，具体体现在“行变换”上。
例如，在华夏算学中，等式两边相加，可以得到一个新的等式，而等号两边依然相等。等式两边相乘，同时乘以一个不为零的常数，所得一个新等式，而等式两边依然相等。
西人把这种思想单独提出来，便有了下面的算式，等式两边相加：
等式两边相乘，乘以一个不为零的常数，命名为c：
而后，就可以“堂而皇之”（厚颜无耻）地宣布，这是他们新发现的所谓规则了。
随后，高斯（1777-1855年）粉墨登场，描述了消元的法则，被誉为“数学王子”，成为德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家、大地测量学家，西史将其主要成就描绘为“发现正十七边形的尺规作图法”、“导出二项式定理的一般形式”、“画出世界上第一张地球磁场图”、“定出地球磁南极和磁北极的位置”、“发明磁强计”等等，看起来真是位伟大的科学家。
然而，笔者的疑问却是，墨海书馆的编辑王韬（1828年-1897年），在高斯去世那年，正值鼎盛，他在负责编写《西学原始考》《西国天学源流》等书籍为西方科学家的成就与事迹著书立传时，为何没有提及高斯上述伟大成就？
同时代的英国来华传教士、德国来华传教士，印了不计其数“介绍西方科学”的海量书籍，难道他们也都看不见高斯在各学科领域的伟大成就？
不仅来华传教士不知道高斯的上述成就，就连清代黄钟骏父子撰于1898年的《畴人传四编》中对高斯的记载也十分简略，完全没有提及上述研究和成就。
《畴人传四编》卷十一关于高斯的记载，仅有短短一句话：
“高斯，德意志人，精于律算，创推行星轨道新法，殁后德人为之建祠立像于卜伦斯厄伟城（资料来源：近事（汇）编、谈天）。”
由此可见，高斯的所谓伟大成就，极有可能都是后人为其戴上的“桂冠”，属于西人剽窃、集体托古之作。
（未完待续）
【题外话】
本人计划将《明珠蒙尘：鲜为人知的华夏科技与文化》（约20万字）付梓出版，如果有人感兴趣，可以留言加微信，然后拉个群，统计下第一次印多少本比较合适（与出版方签订合同后，条件允许，可能预售）。倘若此次顺利，则继续将《海上忧思录》三册、《揭开西方伪史虚惑的面纱》（可能改名）四册付梓刊行。
《明珠蒙尘：鲜为人知的华夏科技与文化》作品简介：
中国不只有“四大发明”，“四大发明”只是一个“以偏概全”的误解。
在上下五千年的历史长河中，从古至今，中国人民用自己的劳动和智慧创造了多不胜数的科技发明，涌现出了无数能工巧匠和勇于实践的科学家。
本书引经据典、以翔实论据重点介绍了源自中国的诸多发明创造，包括但不仅限于望远镜、照相机、显微镜、留声机、温度计、自行车、计算机、钢琴、全世界第一架具有现代意义的飞机等等。不仅如此，就连扑克牌、大富翁等游戏都是源自中国的发明。
怎么样？是不是很惊讶？
此外，书中还详细介绍了一些长期被忽略的华夏先辈，如甘德、石申、唐顺之、朱载堉、黄裳、黄嘉略等等，详细介绍了他们对于天文历法、物理、音乐、语言等诸多方面的贡献以及世界历史的影响。
中国不仅是文明古国，更是自古以来就学以致用，一直走技术路线的“科技强国”。这可能与我们近代百年落后后形成的“闭关锁国”的落后形象是大相径庭的。
希望通过这样一本书的介绍，能让大家重新认识华夏文化与科技的伟大。
星火相继，敢于梦想
- 希望通过《昆羽继圣》四部曲梳理的华夏历史文化加强自身修养、提高认识，以抵御外来糟粕的侵扰（上古至宋代）【微信读书、当当、掌阅（华为手机阅读）、起点、知乎、QQ阅读】；
- 希望通过《明朝这些事：被抹去的那段波澜壮阔的历史》，以及西史辨伪系列破除迷云，唤醒更多的人，认清这个世界近代三四百年的历史（明代至清末）；
- 希望通过科幻小说《灵能4996》六部曲在现实的科技基础上铭记近代屈辱历史，向科幻高地进发，展望未来，塑造中国屹立于世界的崭新形象，打造中国人宏大的科幻宇宙，让更多的人看到文化与科技引领的方向，走出一条属于中国的人类之路（当下至未来）。
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