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导语

集智学园联合东京都市大学贾伊阳老师共同开设了「」课程，本系列课程将以严谨的理论推导为核心，逐步建立泛函分析的基础架构。第一阶段将探讨从有限维跨越到无限维的动机与基础；第二阶段将重点建立度量与完备性，掌握 Banach 空间与不动点定理的精髓；第三阶段将深入探讨 Hilbert 空间的几何结构与对偶空间的映射体系。最终，在第四阶段，将梳理完整的结构总览与应用地图，透视这些纯粹的数学工具如何作为底层基石，广泛应用于现代物理、复杂系统模拟与前沿计算科学中。

作为系列课程的第九讲，贾伊阳老师将以「对偶空间与泛函」为主题，本节内容将聚焦变分法、优化与PDE弱解场景，探讨线性与有界泛函及Riesz表示定理。课程将揭示对象与对偶的核心关系，并从范畴论视角进行解析。正式分享将于6月7日（周日）19:00-20:30进行。

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主题：对偶空间与泛函

课程简介

研究一个对象，有时不直接看它本身，而是看它对各种线性测量的响应，再由这些响应把它认出来。优化里看函数沿每个方向的一阶变分，解偏微分方程时让方程乘上各种测试函数再积分，几何里让微分吃进一个切向量、吐出一个数，这三件事都是「用所有线性尺子去探测对象」。把作用在一个空间上的全体线性尺子（线性泛函）收集起来，它们自己又组成一个空间，这就是对偶空间。叫「对偶」是因为对象与尺子地位对等、互为镜像：在有限维里两者一样大，取两次对偶还会回到原点。

本讲从有限维出发：行向量正是作用在列向量上的线性泛函，坐标即对偶基。随后进入无限维，说明代数对偶「过大」、连续对偶才有用，且对偶空间依赖于所选范数。核心是 Riesz 表示定理——在 Hilbert 空间里把每个连续泛函等同于一个向量，让尺子与对象重新对上，并以此打通变分法、最小二乘、PDE 弱解（Riesz 与 Lax–Milgram）。

后半转向伴随算子，它描述「观测如何沿映射反向传播」：矩阵转置、微分算子的分部积分、优化中的对偶变量，都是同一定义的不同面孔；再延伸到弱收敛、切空间与余切空间、同调与上同调、de Rham 配对，直至范畴论中「对偶是反变函子」。学完能用一根对偶的主线，重新看待分析、几何与优化中反复出现的同一结构。

课程大纲

  1. 从配对到对偶空间

  2. Riesz 表示定理

  3. 对偶视角下的应用

  4. 伴随算子

  5. 对偶的几何与结构视角

关键术语

  • 对偶空间：作用在某空间上的全体连续线性泛函构成的空间

  • 线性泛函：把向量映成标量的线性映射

  • 配对（pairing）：把「向量」与「泛函」组合成标量的双线性运算

  • 代数对偶／连续对偶：全体线性泛函与只取连续的那些；无限维下后者才有用

  • Riesz 表示定理：Hilbert 空间中每个连续泛函都唯一对应一个向量

  • 伴随算子：满足 ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, A*y⟩ 的算子，反向拉回观测

  • 弱收敛：所有对偶元素作用后都收敛，比范数收敛弱

  • Lax–Milgram 定理：保证一类变分问题弱解存在唯一的定理

  • 余切空间：流形上线性泛函构成的空间，与切空间对偶

  • de Rham 配对：微分形式与链通过积分构成的对偶配对

课程信息

课程主题：对偶空间与泛函

课程时间：2026年6月7日（周日） 19:00-20:30

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

贾伊阳，东京都市大学讲师、前日本女子大学助理教授，前日本成蹊大学助理教授。研究重点是计算复杂性，算法，以及范畴相关理论。集智学园《》课程讲师。

课程适用对象

  • 做微分方程、数值算法、反问题、信号处理、控制的学习者与研究者

  • 做优化、机器学习、统计推断，希望理解正则化与泛化的结构来源的研究者

  • 读量子/数学物理文献，希望把 Hilbert 空间与算子语言用顺手的研究者

  • 更广义地：经常处理“函数作为未知量”的问题、并且想要一套可迁移框架的研究者


你会获得

  1. 面对一个新问题，你能先问对问题：该在哪个空间里解？该用哪个范数衡量误差？需要什么完备性？算子是否有界？

  2. 你能理解常见方法背后的统一逻辑：迭代为何收敛、正则化为何稳定、最小二乘为何等价于投影、弱解为何成立。

  3. 你会获得一套“抽象但可落地”的语言：写证明、读论文、做建模时，能把碎片化技巧收束到结构层面。


报名须知

  1. 课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。

  2. 课程周期：2026年3月29日-2026年6月14日，每周日晚19点-21点进行。

  3. 课程定价：原价499

    1. 早早鸟价299，截止时间：2026年3月22日中午12点

    2. 早鸟价399，截止时间：2026年3月30日中午12点

课程链接：https://campus.swarma.org/v3/course/5700?from=wechat

付费流程：

  2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

  3. 课程可开发票。

课程共创任务：课程字幕

为鼓励学员深度参与、积极探索，我们致力于形成系列化知识传播成果，并构建课程知识共建社群。为此，我们特别设立激励机制，让您的学习之旅满载收获与成就感。

课程以老师讲授为主，每期结束后，助教会于课程群内发布字幕共创任务。学员通过参与这些任务，不仅能加深对内容的理解，还可获得积分奖励。积分可兑换其他读书会课程或实物奖品，助力您的持续成长。