问题的提出：

角度为自然数度数的sin值是否都能算出精确值？比如sin1°,sin2°,sin3°等等。

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我们很容易计算sin18°的精确值，它可以用含有根号的一个代数式表示。

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那么问题来了，还有哪些角度为自然数度数的sin值能算出精确值？

根据三角函数的特性，我们只需要考虑n=1~90自然数时，sin(n°)是否能计算就可以了。

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我们学习三角函数时，老师告诉我们0°、30°、45°、60°、90°都是特殊角。它们的值如下表：

注意到三角函数的两角和差公式：

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

由45-30=15，我们可以计算出sin15°、cos15°的值：

结合之前计算得到的sin18°的值，可以计算cos18°的值：

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那么由18-15=3，又可以计算出sin3°的值：

这个值有点复杂，而且看上去还不能化简。

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类似的方法我们可以计算出cos18°的值：

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根据以上结果，我们可以肯定：凡3的倍数的角度的sin、cos值都可计算得到精确值。

能不能更进一步，脑洞大开一下，计算出sin1°的值？

由三倍角公式：

Sin3A=3sinA-4sin3A 得：Sin3°=3sin1°-4(sin1°)3

设sin1°=x，则4x-3x+sin3°=0

这是一个形式为x3+px+q=0的一元三次方程。

这个方程略显复杂，那么我们先考虑个简单点的，比如考虑设sin10°=x，则同上可得：

8x-6x+1=0

这样的一元三次方程能不能求根？怎样求根？

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首先想到用卡丹公式怎么样？试算了不使用虚数i根本解不出。我怀疑卡丹公式是不是实用。

然后我想到了盛金公式。但当计算到△<0，盛金公式里就出现了反三角函数及三角函数。

假如你要求上面方程8x-6x+1=0的根，它给你的结果化简之后是x=cos80°，那有何意义？

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不行。还是计算不出我想要的结果。多次努力都失败了。

最终我得出结论是：sin1°不能写成只含根号的代数式。

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更一般地，当自然数n不是3的倍数时，sin(n°）也都不能写成只含根号的代数式。

各位网友觉得我的结论正确吗？谈谈您的看法吧。