【来源】许康华竞赛优学(许兴华数学/选编)

一道数列压轴题不等式的三个证法

（万时凯 王永喜 向禹）

浙江义乌一中一名高三学生发来如下一道数列压轴题:

第(1)问证明很简单, 略去. 第(2)可以分别证明两个不等式:

其中前一个用数学归纳法不难证明, 后一个则需要一些技巧. 本文将给出后一不等式的三个不同证明, 对于领会证明数列不等式的常用技巧很有益处.

证明一 利用加强不等式和数学归纳法(万时凯老师提供)

证明二 数学归纳法和加强不等式(著名奥数教练王永喜老师提供)

证明三 放缩法(中科大数学科学院硕士研究生向禹提供)

王永喜老师堪称“奥数活字典”, 他提供如下几道类似题目:

3. (1980, 芬兰、英国、匈牙利和瑞典联合数学竞赛试题)

定义数列如下:

求证:

注: 本题原解答异常繁琐, 我国的单墫教授改进了原解答, 提出把要证的不等式改为证明更强的不等式:

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