三角函数，是数学最基础最重要的知识，它几乎贯穿了所有科学的”一生”最著名的就是欧拉将三角函数与虚数，自然常数e联系起来，得到了著名的欧拉公式

但是柯西却另辟蹊径，却发现了三角函数中隐藏的更为深层次的奥秘

柯西从最基础的数学谈起：假设φ(α) =cosα

此时存在恒等式：这也是数学中的积化和差公式，这里仅用数学符号表示出来显得更为直观

我们继续，假设：

我们容易得到：

由此而得到余弦函数的通用公式：

此处我们设x=y=(1/2)α 就得到

同理x=y=(1/4)α 就得到：

这里柯西假设：这一步非常重要：这里的r就等于

根据前面已有的结论，就得到了如下有关r的形式：

由此通用公式就是：

有关分数情况下的形式就是：

上述的通用公式就是：

如果用X来代替就是：

经过变换，柯西得到余弦函数的一个重要关系式，

学过欧拉公式的人，一眼就可以看出这里的A等于多少。

所以欧拉和柯西都是同等的伟大