数列极限的定义：

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事先给定极限值a的ε邻域，找到一个N只要所有在N之后的n的值，也就是数列的项都落到ε邻域之内，那么就说这个数列是有极限的，极限值就是a，

邻域之外一定有有限个数列的项，就是事先给定的N个项，凡是掉落在ε邻域之内的项，误差都是可以接受的，也就是我们事先所说的任意小，当然不能是无穷小了，这个ε是和N有关系的，一般来讲，N越大ε越小，当然也不绝对。如果说一个数列有极限的情况下，在足够大的项后面一定是无限接近一个值，越靠后越接近，所以说邻域也就越来越小了，这只是一般情况下。

证明极限存在

当我们用极限定义来证明极限存在的时候，只需要证明出N的存在性就可以。也就是说只要有这么个N能使后面的无穷多项都落在ε邻域之内即可。不用找到最小的N，一般来讲怎么方便怎么来。

收敛数列的性质

1、数列的极限唯一

2、收敛数列一定有界

3、收敛数列的每一个子列都收敛同一个极限