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设E是一个由实数组成的集合。
如果说存在一个实数A，使得E中任意一个元素都大于等于它，那么称A是E的一个下界。
如果说存在一个实数B，使得E中任意一个元素都小于等于它，那么称B是E的一个上界。
集合按元素个数分为两种情况，有限和无限。
若E中集合元素个数有限，E还是一个有界集合，那么E中既有最大的数也有最小的数。
若E中集合元素个数无限，E是一个有界集，那么E中既没有最大的数也没有最小的数。
上确界的定义如下
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简单分析一下上确界的定义：
首先上确界一定是一个上界，在上界的基础上进一步缩小，直到不是上界为止，这个临界点就是上确界，也就是说上确界是一个最小上界。
下确界的定义如下
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同理可得下确界是E的一个最大下界，只要这个下确界稍微一大点，就不是下界了。集合中就可以找到一个元素小于它。
由此引出一个十分重要的定理：确界原理，这是实数连续性的一种表现形式。
非空有上界的集合必有上确界，非空有下界的集合必有下确界。
证明第一个推断的思路：我们要知道上确界是处于集合E到它任意一个上界之间的一个数值。由此我们可以构造一个闭区间套，来锁定这个临界值，即锁定上确界。
闭区间套的每一个区间都应该包含E中的点，也就是上确界，但是我们此时还不能确定这个点就是上确界，最后一个区间的右边已经没有E中的元素了，由此我们可以确定唯一一个实数，下面就需要证明这个点就是上确界即可。
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