第06讲典型例题与练习参考解答：数列极限判定的基本方法|不等式|关系式|定理|数列|有界

本文对应推文内容为：

第06讲基本方法

例题与练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1 ：某城市2010年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年汽车保有量的6%，并且假设每年新增汽车的数量相同. 为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，试问这样的目标能不能实现？如果可以，则每年必须控制新增汽车数量不应超过多少辆？

练习2 ：设 , ，证明{ }和{ } 的极限存在，并求出它们的极限值．

练习3 ：试问为何值时，以下结论成立.

练习4：试用夹逼定理证明：

练习5：设为常数，证明．

练习6 ：求如下极限：

练习7 ：设数列由以下关系式确定：

证明数列存在极限，且

练习8 ：设数列由以下关系式确定：

0\;,\;{x_{n + 1}} = {{3(1 + {x_n})} \over {3 + {x_n}}}\;,n = 1,2,3, \cdots " data-formula-type="block-equation">

证明此数列有极限，并求极限值．

练习9 ：设数列由如下关系式确定：

证明该数列存在极限，并求极限值.

练习10 ：已知数列有界，且

其中为正整数，证明数列收敛.

练习11 ：已知为正整数，且

证明数列发散.

【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

例题与练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

【参考证明】：设从2010年末开始每年汽车的总量为万辆，每年新增汽车万辆，则

假设，则由递推关系式可得

验证如下：

要实现汽车总量不超过60辆的目标，就相当于小于等于60，因此可得要小于等于3.6万辆. 也就是说当取3.6时，数列的极限应该为60. 以上极限存在性的验证过程不仅验证了数列极限的存在性，并且看到当=3.6 时，数列的极限确实就等于60。说明该城市制定的方案是可行的，目标是可以实现的.

练习2 ：设 , ，证明{ }和{ } 的极限存在，并求出它们的极限值．

【参考证明】：令 , ，则

则由题设可知{ }和{ } 均存在极限，且有

另一方面，

所以{ }和{ }的极限存在，且有

练习3 ：试问为何值时，以下结论成立.

【参考证明】：当时，结论显然成立. 当时，改写极限式中的表达式，有

故当时结论成立.

【注】：这个题目也是第十届全国大学生数学竞赛初赛非数学类竞赛试题的一个填空题. 在该套试题的视频解析课程中，通过五个视频片段讨论了这个题目的8种解题思路，具体涉及到数列极限计算常用的方法与基本解题思想，如定义法、四则运算、变量替换、海涅定理、夹逼准则、单调有界原理、等价无穷小、洛必达法则、泰勒公式、中值定理以及Stolz公式等。具体可以参见咱号配套的在线课堂中的视频解析.

练习4：试用夹逼定理证明：

【参考证明】：放缩表达式，有

不等式两端求极限，都

故由夹逼定理得

练习5：设为常数，证明．

【参考证明】：令，只需证明．一方面，；另一方面，由有．由二项式定理并注意，有

1 + n{h_n} \cr} " data-formula-type="block-equation">

由此得，即

而，所以，由夹逼定理知．即结论成立.

【注】：由极限的四则运算可知，当00都有以上结论成立.

练习6 ：求如下极限：

【参考证明】：改写极限式，并由极限运算法则，得