答对数学难题就能赢得媳妇，幸福结局问题真幸福|保罗|四边形|埃尔德什|幸福结局|数学

匈牙利这个欧洲国家人口不多，不到1000万，面积不大，不到10万平方公里。但是却盛产这个世界最稀有的“物种”--数学家。匈牙利的“特产”可不是小打小闹，比如像保罗埃尔德什，冯诺依曼，波利亚，彼得拉克斯。。。这些闻名世界的数学大师都来自小国匈牙利。

欧洲美丽小国匈牙利

埃尔德什是一名数学界的苦行僧，一生未娶，终生与数学为伴。他走南闯北，与世界各地的数学家深有合作，并且发表了1475篇论文，这是史上最高产的数学家。大约1930年代初，那个时候埃尔德什刚刚20出头，就已经树立了对数学无穷的兴趣，组织了一个小范围数学家的讨论会。

大师保罗埃尔德什

会上有位女同学Esther Klein提出一个比较有意思的问题：平面上给定五点，其中任意三点不共线，则必有四点可以组成一个凸四边形。这里的四边形好理解，像矩形，菱形，梯形等等都是四边形，凸字如何理解呢？你可以认为是在多边形内部都可以直接看到各个顶点，不存在被某条边挡住的情况。也可以从几何学上认为，凸四边形的内角都小于180度，比如像下面箭头的情况，就不是凸四边形，因为∠D明显已经大于180度。

这个图形不是凸四边形

对于这个古怪的问题，Klein给出一个很自然的证法。她将点的分布情况分为3种情况来讨论。

第一种，最容易想到的情况，就是5个点，依次连接本身就是凸五边形，既然是凸五边形，那么存在凸四边形就是显而易见的。

情况1

第二种，有1个点被其余4点包围。就像是下面的情况，很明显外围的4点就可以组成一个凸四边形。

情况2

第三种，有2点在剩下3点组成的三角形内部。就像下图这样的情况。

情况3

内部的2点与三角形的底边2点又可以组成一个凸四边形。

很明显，通过上面的分析，就已经把平面内5点，并且任意3点不共线的所有情况都讨论完毕了。因此命题当然成立。

Klein ， Szekeres，埃尔德什

这个问题看起来虽然古怪，但是难度不大，玩得没劲，还是推广下看看，会不会有惊喜出现。

对于给定的正整数n，能否找到一个N(n),使得平面上N(n)（任意3点不共线），其中必有凸n边形？

这个推广首先要证明其存在性，然后才能论述这个N(n)到底是多少。这个问题迅速在小伙伴之间传开。

1984年当年小伙伴的聚会

根据这个表示方法，很明显，N(3)=3,Klein的证明得知N(4)=5。很快，这个团队中有个叫 Endre Makai的同学证明了，N(5)=9。当然，我们也许继续可以采用类似分类讨论的方式来得到这个结果，但是只是枚举论证，跟验算式地证明哥德巴赫猜想是一个道理，毫无作用。

George_Szekeres

大家都注意到这样的情况，N(3)=3=2+1，N(4)=5=2^2+1,N(5)=9=2^3+1,也许这就是一个规律，N(n)=2^(n-2)+1再到后面是否可以用归纳法来证明一下呢？如此一来是否会万事大吉。然而，这条路很快就走不通，有位叫作Gyorgy Szekeres的小伙伴相当热心地想去解决这个问题,毕竟如果能够解决Klein这个问题的话，那就很有可能俘获美女芳心啊。这位同学还是有相当的能力的，他费尽心思给出了一个保证必有凸n边形的点数。不过他给出的值要远比前面猜测的2^(n-2)+1大，虽然这个离最终猜想还有很大差距，但是至少他证明了这样的N(n)存在的。