主要内容：

主要内容：

以柯西不等式、三角换元法和多元函数极值法介绍mx+ny在已知条件下求最大值的主要过程步骤。

柯西不等式法：

∵(x^2+y^2)(m^2+n^2)≥(xm+yn)^2

∴1≥(mx+ny)^2,

即：-1≤mx+ny≤1,

所以mx+ny的最大值为1。

三角换元法：

三角换元法：

设x=sint，y=cost，

m=sink，n=cosk，则：

mx+ny

=sintsink+costcosk

=cos(k-t),

所以当cos(k-t)=1时，有最大值，即：

mx+ny的最大值=1。

多元函数最值法

多元函数最值法

设F(x,y,m,n, λ)=mx+ny+λ1(x^2+y^2-1)+λ2(m^2+n^2-1)。

分别对参数求偏导数得：

Fx=m+2xλ1,Fy=n+2yλ1,Fm=x+2mλ2，

Fn=y+2nλ2，Fλ1=x^2+y^2-1,

Fλ2=m^2+n^2-1,

令上述六个偏导数为0，则：

x=-m/2λ1=-m/2λ2,

y=-n/2λ1=-n/2λ2,

解得：2λ1=2λ2=±1,

此时mx+ny的最大值

=m*m/2λ1+n*n/2λ1

=(m^2+n^2)/2λ1

=1/1=1。