条件不多，分类要求极高——应用题中的分类讨论

数学实际问题背景的应用题，来源于生活，尤其是销售类，蔓延至每年双十一购物节，可以说，数学应用题不会做，连优惠活动方案都看不懂，解决这一类应用题，首重审题，其次建模（列方程），最后才是计算。面对林林总总的销售类问题中的优惠方案，将各种可能的结果罗列出来，这又考验学生的逻辑推理能力，这显然不是简单刷题能解决的。

题目

书店举行购书优惠活动：

①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；

②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；

③一次性购书超过200元一律打七折.

小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是多少元？

解析：

这是一个典型的“阶梯价格”，在读完题目之后，第一个疑问，也是最难解决的疑问，就是这两次购书享受了哪一条优惠？

先罗列所有可能的结果：（表格中第一行代表第一次购书，第一列代表第二次购书）

购书1\2 优惠① 优惠② 优惠③ 优惠① ①① ②① ③① 优惠② ①② ②② ③② 优惠③ ①③ ②③ ③③

当然实际上并没有如此多的方案可选 ，有一些“明显”不符合的结果排除掉。

注意题目中“第二次购书原价是第一次的3倍”，即第一次购书享受的优惠不可能超过第二次，所以上表九种结果中②①、③①、③②可排除掉；

现在还剩下六种结果，那么，究竟有没有可能两次购书都是同一种优惠呢？即①①、②②、③③的存在性探究。

仍然基于“第二次购书原价是第一次的3倍”，如果都是优惠①，小丽总共付款229.4元，显然矛盾，排除①①；

如果都是优惠②，以第一次购书超过最低价100元计算，第二次要超过300元，显然不可能使用优惠②，排除②②；

如果都是优惠③，则两次购书分别要超过200元和600元，这又和229.4元的总付款矛盾，排除③③；

好了，只剩下三种了。

讨论①②的存在性，设第一次购书原价为x元，第二次购书原价为3x元，当x<100且100<3x<200时，x+0.9×3x=229.4，解得x=62，符合；

讨论①③的存在性，当x<100且3x>200时，x+0.7×3x=229.4，解得x=74，符合；

讨论②③的存在性，当100200时，0.9x+0.7×3x=229.4，解得x≈76.5，不符合第一个不等式；

而两次购书原价和为4x，代入分别计算，结果为248或296.

综上所述，两次购书的原价总和是248元或296元.

解题反思

这是一道非常贴近生活的数学应用题，这种优惠方案还有阶梯电价、出租车费用等，同时也能让学生自己动手计算这些价目，从而进一步提升数学应用能力。

仅就此题而言，分段求价格是核心，而分段的关键是分类，与事件发生的可能性有关联，然后逐一筛选排除，对于老师来讲，可能很容易就得到那两种仅存的可能，但对学生来讲未必，如果讲这道题时，一上来就说明只有两种情况，那么学生思维空间就被限制了，事实上有九种等待选择，虽然在实际意义上多数选择并不成立，但在数学角度，有它存在的意义。

记得在读高等数学时，最怕教授们说“易得”、“易证”，往往一节课下来，就会卡在这些教授们眼中非常容易的步骤上，现在自己成为初中老师，阅题无数，阅生无数，这等经验可不是学生具备的，所以唯愿在教学中少一些“易得”、“易证”，多一点耐心与细心。对于优生，不妨将问题设置得深入一些，对于后进生，不妨再把问题讲得更浅显一些。