对称的对称——游走于科学与艺术间|伽罗瓦|对称|爱因斯坦|科学|群论

苏轼：〈题织锦图〉

春晚落花余碧草，夜凉低月半梧桐。人随雁远边城暮，雨映疏帘绣阁空。空阁绣帘疏映雨，暮城边远雁随人。桐梧半月低凉夜，草碧余花落晚春。

东坡居士这诗顺念倒念都一样，是中文修辞回文的一种。每句倒诵的例子有「处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺；树中云接云中树，山外楼遮楼外山。」英文的回文例子有林登(J·A· Lindon)的：「Girl, bathing on Bikini, eyeing boy, finds boy eyeing bikini on bathing girl.」

以上诗文都是两侧对称。除了文学，对称亦见于音乐。莫扎特的作品受称颂有「优美和对称的特色」，巴赫的乐谱有镜射和平移特征。除了文学、音乐，对称亦见于建筑。巴黎圣母院和吉隆坡双子星塔的设计都为对称（两者还运用了黄金比）。除了文学、音乐、建筑，对称亦见于绘画。M.C. Escher 的画作，除了不可能图形外，对称画亦闻名。

▲ 对称的钟楼是巴黎圣母院的重要建筑

▲ 吉隆坡双子星塔

吉隆坡双子星塔

除了文学、音乐、建筑、绘画，对称亦见于科学。科学家亦研究对称。演化心理学家指出，动物择偶亦会考虑到对称。有些对称是自然的，比如一些动物的两侧对称、Y 染色体序列、量子现象或雪花的旋转对称等等。所谓旋转对称，即以某点为中心旋转某角度后跟原来的图案一样。

对称，英文「symmetry」，可追溯自希腊字根「sym」和「metria」，意为「相同的分量」。对称有平移、旋转、镜射、滑移镜射、螺旋等等。例如，「」、「Φ」、「Ｄ」是上下对称，「♀」、「Ω」、「Ψ」是左右对称，「∞」、「○」既是上下对称又是左右对称，「∮」、「§」、「卍」是旋转对称。

人类亦创造了理论来研究对称，主宰对称的理论名为群论(group theory），是抽象代数的一门分支。群论跟不少纯数学理论一样，其用途在发展之初并不为人们所了解。迄今，群论主要的非数学应用包括物理（相对论、量子力学、标准模型理论、规范场论）、化学（分子对称性、共价键极性）、密码学（椭圆曲线密码学、公开密钥加密）等等。另外，我们也可以用群论，来解释心理学格式塔学派(Gestalt psychology）的原理，或比拟语言学（结构主义、符号学）。人类学家李维史陀(Claude Lévi-Strauss）研究澳洲原住民列拉族时，曾请教数学家韦伊(André Weil)解释列拉族亲属婚配体系的复杂规则。群论甚至衍生诸如数字推盘和魔术方块等游戏。

▲ 十五数字推盘游戏，你猜这组合能不能还原？

▲ 魔术方块，或称扭计骰

魔术方块，或称扭计骰

张爱玲道：「于千万人之中遇见你所遇见的人，于千万年之中，时间的无涯的荒野里，没有早一步，也没有晚一步，刚巧赶上了，那也没有别的话可说，惟有轻轻的问一声：『噢，你也在这里吗？』」互有意思的人未能发展，不时是因为两人相遇的时候不好，timing 不对。苍穹悠悠，怎样，究竟怎样才知道你的结婚对象就是你一生中最爱、就是你的首选？假设你的潜在结婚人选有五人，你跟他们相遇的顺序，就有一百二十种机率等同的排列组合。首选者，不一定首先遇上。把觅偶机率最大化，也可运用群论的技巧。当然，这是简化了的运算，这亦不是提倡以机率择偶。

现代群论的奠基人是只活了廿年的法国数学家伽罗瓦（Évariste Galois）。生于十九世纪初，伽罗瓦在十二岁前只接受过家庭教育。伽罗瓦把研究成果呈交法国科学院著名数学家柯西(Augustin Louis Cauchy）却给弄丢了。伽罗瓦重考综合工科学校时父亲因遭人中伤而自杀。伽罗瓦就读高等师范学院时撰写论文呈予傅里叶(Joseph Fourier）逐鹿奖项又遭弄丢。伽罗瓦于法国七月革命时在校报上抨击校长而被迫退学。伽罗瓦曾身陷囹圄。伽罗瓦迷恋医师之女追求无果。伽罗瓦预期自己时日无多，发愤挑灯夜战，急急染翰操觚，勾画毕生所学，谱出最后乐章，并注云：「我没有时间了」。次天，伽罗瓦便撒手尘寰，邋邋遢遢黯然而去。

伽罗瓦跟不少艺术家一样，半生偃蹇潦倒，到死后才绽放闪烁璀璨的光芒。他的理论有什么精湛之处？不少数学或科学理论，我们会认为即使那理论的创建者没有发展出那理论，日后总会有其他数学家或科学家发展出该理论。例如，牛顿和莱布尼茨几乎同时而独立地发展出微积分。然而，有些数学或科学理论，我们难以相信其创建者以外有人能发展出那理论。例如，费曼就怎样也想不到爱因斯坦是如何创建广义相对论的。而伽罗瓦的理论，就是这种别出机杼的神来之笔。

二十世纪，维格纳(Eugene Wigner）和赫尔曼·外尔(Hermann Weyl)把群论引入量子力学，为物理学带来新境地（物理学家有时以没那么抽象的矩阵 matrix 来解释，然而矩阵是群的一种）。物理学家感兴趣的对称，是一种作用量不变的转换（例如守恒定律）。物理系统的对称，即一些物理特征在经过一些转变后仍得以维持。转变可以是连续或离散的。群论的语言来说，g1 为一对称转换、g2 为一对称转换，那群运算 g1•g2 亦为一对称转换。借徐一鸿的话：「我们知道原子中电子的量子态属于转动群的表示。转动对称性告诉我们，属于同一个表示的态有相同的能量。

天体、粒子、生物等等，大自然中呈现对称的例子多不胜数。科学家不禁猜想，造物者（假如存在）设计这一切时，是否有考虑到对称呢？而科学家探究大自然时，会不会囿于对对称的追求而作茧自缚呢？爱丁顿爵士(Arthur Stanley Eddington)曾作一寓警示科学家。先别谈那寓言，这爱丁顿何许人也？话说当初爱因斯坦发表理论之时，没有几个人读懂。爱丁顿及其团队透过观测印证了爱因斯坦的理论。有记者问爱丁顿：「据闻全世界只有三个人懂得爱因斯坦的理论，你是其中一位吧？」爱丁顿沉默不作声。记者又道：「嘻，别谦虚啦！」爱丁顿回曰：「不，我在想第三个人是谁。」且说那寓言，看来可能很显浅，亦可能为当局者迷。谨录此语，望君服膺。有一个渔翁常以网眼为一英寸长的渔网捕鱼。日月如梭，渔翁归纳经验下了一个结论：「这世间所有的鱼都比一英寸长！」