女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
五重对称系统对伊斯兰艺术和建筑历史非常重要，是伊斯兰世界中最广泛分布的方法设计系统，拥有最大的多样性和最多的代表性范例。而且，它与20世纪彭罗斯爵士发明的“彭罗斯密铺”以及晶体学有着不可思议的碰撞。因此，有必要单独介绍。
一 正五边形、正十边形——五重对称系统——黄金分割
正五边形无法密铺平面，中间必然会留下空隙。而即便正五边形与正十边形配合，也只能密铺平面的某个局部，无法延伸至整个平面。因此，五重对称系统需要用合适的girih填补空隙。
图3.3.1
图3.3.2展示了在正十边形和正五边形中间空隙中自然形成的蝴蝶结形和桶状六边形girih拼块。一般而言，位于重复单元中的多边形的数量越多，最后形成密铺图案就越复杂。
图3.3.2
图3.3.3a-d展示了4种基本的构造正五边形和正十边形密铺图案的方法。对称单元一般选取菱形、矩形等简单的对称图形，作为主要图案的正十边形放置在重复单元的顶点上。然后在重复单元的内部填充多边形即可完成设计。
图a将两个正五边形夹在正十边形中间，产生了内角为72°和108°的菱形重复单元，中央留下的空白刚好形成了一个桶状六边形。
图b是矩形重复单元，同样，两个正五边形夹在正十边形中间，构成了矩形的短边，长边由桶状六边形分隔开两个正十边形。中央的空白可以填充4个正五边形和一个窄菱形。
图c与图a拥有相同的重复单元，都是内角为72°和108°的菱形。图c使用桶状六边形分隔两个正十边形，以此作为菱形重复单元的四条边，中心空白区域用正五边形和窄菱形填充。
图d依然使用桶状六边形分隔的两个正十边形，但这次作为重复单元的菱形内角为36°和144°，余下的空白区域由两个宽菱形填充。
图3.3.3a-d
下图3.3.4展示了一种更复杂的密铺构造，重复单元依然是内角为72°和108°的菱形，但两个正十边形中间塞进了更多的多边形。由此，中央留下了更大面积的空白，类似两个交叠的正十边形，可以有多种方式进行填充。下图选取用桶状六边形、正五边形和窄菱形进行填充。
图3.3.4
下图3.3.5a-e展示了五重对称系统常见girih拼块的图案线应用。正五边形、正十边形的图案线依然不外乎锐角型、直角型、钝角型、两点型四种，只是图案线的典型夹角变成了36°、72°、108°，在中空的钝角图案中构造蔷薇花饰同样是工匠们的常见技法。
图3.3.5a 正五边形的图案线应用
图3.3.5b 正十边形的图案线应用
图3.3.5c 蝴蝶结形的图案线应用
图3.3.5d 桶状六边形的图案线应用
图3.3.5e 胖菱形的图案线应用
值得一提的是，五重对称的几何图案体现了优雅的黄金分割，这是它们的固有特征，如图3.3.6c中的红线与绿线的比例完美契合1.618:1。这也是五角星图案更受艺术家和设计师青睐的原因。无论是世界各国的国旗、徽章、logo，还是儿童的涂鸦画，五角星都是常见的元素。
图3.3.6c 五重对称图案中的黄金分割
关于五重对称图案的设计，最常见的如图3.3.7a-d，它基于正十边形、正五边形和桶状六边形组成的密铺，重复单元是菱形。图a的图案是最经典的锐角型，图案线夹角为36°。正五边形中的图案线形成了标准的黄金五角星，桶状六边形中形成的是两个半星，整体构成了8个五角星和两个半星簇拥着中央的十角星的布局。但换个角度看，五角星和十角星之间的空白部分恰好构成了完美的蔷薇花瓣，和十角星一起组成了一朵美丽的十瓣蔷薇花。图b的图案仍然是锐角型，夹角扩大一倍变成了72°，形成的各种星星也自然丰满了许多。图c的图案是钝角型，夹角108°，此时五角星已经彻底消失不见，变成了五边形，它与周围的空白一起组成了形如燕子风筝一样的图案。图d的图案是两点型，夹角108°，它与图c大致类似，但各个拼块之间形成了互锁结构。
图3.3.7
图3.3.8a-b的底层密铺不同，但重复单元依然是菱形，同为夹角36°的锐角型图案线。图a的底层密铺用等腰梯形替换了上图中6个正五边形中的4个，从而在中央形成了一个与梯形的长边等长的菱形。显然，等腰梯形是桶状六边形的一半，其内部添加图案线之后形成了一个半星。菱形中形成的图案是一个并不规则的十字架，形如前文中“真主的气息”中凹陷的那一侧的变形。主体图案十角星依然与周围的空隙形成了蔷薇花，但和菱形相接处的两片花瓣出现了微妙的变化。图b的底层密铺则把全部的正五边形都替换成了等腰梯形，在重复单元的中心留下了一个凹六边形。最后的图案中又出现了完整的蔷薇花，五角星则全部消失不见，变成了半星。
图3.3.8
图3.3.9a-b展示了两个底层密铺的重复单元是矩形的例子，图a的密铺构造大致与图3.3.2b相同，但矩形的中央用4个等腰梯形和一个大菱形代替了四个五边形和窄菱形。图案线是夹角36°的锐角型图案线，五角星簇拥着十角星，同样形成了完美的蔷薇花图案。图b删除了所有的五边形和菱形，取而代之的是6个等腰梯形和一个凹六边形。图案线仍然是夹角36°的锐角型图案线，凹六边形中形成了两个不规则的六边形紧夹一个菱形的图案。而五角星自然消失不见。
图3.3.9
二 伊斯兰大圆顶与彭罗斯密铺
几个世纪以来，在没有金属梁的情况下，穹顶一直是世界各地官方和宗教建筑的重要组成部分。穹顶被用来为建筑的砖结构划上句号。基于穹顶的球形结构，它们为建筑地基提供强度，也使建筑更具有抵抗风雪的能力。除了带来力量和保护的感觉，穹顶内部的设计和装饰也像天空、天堂，以及人们可能期望看到的“七重天”之外的东西。一些当代的宗教建筑或纪念馆仍然采用穹顶，不再是出于需要，而是基于传统或美学目的。
旋转对称的放射状设计是装饰伊斯兰建筑圆形穹顶的内部空间的绝佳方案。五重对称系统被最广泛地用于创造旋转对称的图案。在土耳其伊斯坦布尔的托普卡帕宫博物馆里发现的15世纪晚期托普卡帕卷轴，里面有数张用于穹顶装饰的几何图案设计图纸。其中一张图纸如图3.3.10，中央是十角星，向外依次是五边形、簇状三角形、桶状六边形的girih拼块构成的密铺。
图3.3.10
而数学界发明如出一辙的设计，要等到20世纪后半叶。当然，数学家的初衷并非是为了设计装饰图案，而是为了研究非周期密铺。所谓“非周期”，就是指图案可以无限延续，且无法通过平移复制自身，即不会自我重复。很长时间以来，数学家都认为这种密铺不存在。直到20世纪60年代，数学家才构造出了一种非周期密铺，居然用了100多种不同的拼块！可想而知这种密铺的繁琐程度。
1973年，英国物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）设计了一种简洁很多的密铺图案。图案只有正五边形、五角星、船形、瘦菱形4种形状的拼块。密铺结构以正五边形为基础，具有五重旋转对称性。随即，这种密铺被命名为P1型彭罗斯密铺。[1]这些拼块可以构造出无穷多种非周期密铺图案。图3.3.12a-b就是其中两种，它们分别以五角星和五边形为中心，向外铺砌正五边形，正五边形中间的空隙用五角星、船形、薄菱形填充，就可以完美密铺。适当地给拼块图上颜色，就可以清晰地看出密铺的构造，还能让图案极具美感。
图3.3.11 构成P1型彭罗斯密铺的4种拼块
图3.3.12a 以五角星为中心的P1型彭罗斯密铺
图3.3.12b 以正五边形为中心的P1型彭罗斯密铺
转年，彭罗斯又对P1型彭罗斯密铺进行了修改和简化。图3.3.13，他将一个菱形分割成两部分，用这分离的两部分，创造出了一种新的拼接方式。这两种拼块分别形象地被称为“风筝”形和“飞镖”形。这便是P2型彭罗斯镶嵌。但无论是风筝形还是飞镖形，它们的角的度数都是36°的整数倍，几种角度通过不同的组合方法，都可以组成360°。此外，菱形的四条边具有等长性，且分割出的飞镖和风筝的边都有互相对应的等长的边。
风筝是一个凸四边形，它的四个内角分别是72°、72°、72°和144°。风筝可以沿着对称轴一分为二，形成一对锐角罗宾逊三角形，即角度分别为36°、72°和72°的等腰三角形。
飞镖是一个凹四边形，其四个内角分别为36°、72°、36°和216°。飞镖同样可以沿着对称轴一分为二，形成一对钝角罗宾逊三角形，即角度分别为108°、36°和36°的等腰三角形。
用风筝和飞镖同样可以构造出无穷多种非周期密铺图案。由于风筝和飞镖并不像P1型中的五边形和五角星一样符合五重对称，所以构造密铺图案需要一些技巧。一种比较容易掌握的构造方法是先构造出中心图案，然后再放射性地一圈圈向外铺砌风筝和飞镖。图3.3.14a用5个风筝在中心铺砌成一个太阳，图b用5个飞镖在中心铺砌成一个星星，二者向外扩张之后都形成了形如五瓣梅花一样的美丽图案。
图3.3.13 构成P2型彭罗斯密铺的两种拼块
图3.3.14a 以“太阳”为中心的P2型彭罗斯密铺
图3.3.14b 以“星星”为中心的P2型彭罗斯密铺
很快，彭罗斯又创造出的第三种非周期平面图形密铺方案——P3型彭罗斯密铺，它是是由一个瘦菱形和一个胖菱形构成的，如图3.3.15。
瘦菱形的4个角分别为36°、144°、36°、144°。瘦菱形可以沿其短对角线一分为二，形成一对锐角罗宾逊三角形。
胖菱形的4个角分别为72°、108°、72°、108°。胖菱形可以沿其长对角线一分为二，形成一对钝角罗宾逊三角形。
两种菱形同样可以构造出千变万化的图案。菱形比风筝和飞镖更加规则，因而构造密铺图案也更加灵活自如，如图3.3.16a-b。
图3.3.15 构成P3型彭罗斯密铺的两种拼块
图3.3.16a P3型彭罗斯密铺
图3.3.16b P3型彭罗斯密铺
如果把中世纪伊斯兰工匠的girih拼块与彭罗斯的3套拼块做个对照，就不难发现二者的共同之处。彭罗斯3套拼块中的两种菱形和正五边形都同样出现在了girih拼块中，而girih拼块中的正十边形、蝴蝶结形和桶状六边形都可以用彭罗斯的风筝和飞镖拼成，如图3.3.17。因此，彭罗斯发现的数学新领域，伊斯兰工匠数百年前就已经涉足并颇有造诣了。
图3.3.17 girih拼块可以用彭罗斯的风筝和飞镖拼成
密铺问题原本只是数学家们的小娱乐，但说不定什么时候，就会在其他领域中找到用武之地。它不仅是伊斯兰工匠设计装饰图案的技法，还用于晶体学——从原子层面研究晶体结构的科学。晶体学家用密铺来研究原子的排列方式。晶体学家发现，迷人的密铺艺术在原子水平得到重现。而5重对称的非周期密铺也颠覆了传统晶体学的认知。很长时间以来，晶体学家普遍认为晶体只有2、3、4、6重旋转对称。而2009年，一种名为“二十面石”的准周期矿物晶体在俄罗斯的一条河流中被发现，它具有标准模型中不被允许的5重对称性。科学家研究表明，“二十面石”来自地外，是大约45亿年前的一颗小行星把它带到了地球。
科学与艺术就这样穿越了时间和空间，碰撞出了最璀璨的火花……
青山不改，绿水长流，在下告退。
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