已知z=f(23xy,x^2+y^2,x^3)，且z对x,y的所有二阶偏导数

已知z=f(23xy,x^2+y^2,x^3)，且z对x,y的所有二阶偏导数

主要内容：

本文通过全微分、链式求导法等方法，介绍计算抽象函数z= f(23xy,x^2+y^2,x^3)的所有二阶偏导数的具体步骤。

一阶偏导数计算：

z=f(23xy,x^2+y^2,x^3)，用全微分求导法，则有：

dz=23f1'(ydx+xdy)+f2'(2xdx+2ydy)+3x^2f3'dx，即：

dz=23yf1'dx+23xf1'dy+2xf2'dx+2yf2'dy+3x^2f3'dx，

dz=(23yf1'+2xf2'+3x^2f3')dx+(23xf1'+2yf2')dy。

则z对x的一阶偏导数为：

=23yf1'+2xf2'+3x^2f3';

同理，z对y的一阶偏导数为：

=23xf1'+2yf2'。

二阶偏导数求解：

因为=23yf1'+2xf2'+3x^2f3'，再次对x求导，

所以

=23y(f11''*23y+f12''*2x+3x^2f13'')+2f2'+2x(f21''23y+f22''*2x+3x^2f23'')+6xf3'+3x^2(f31''23y+f32''*2x+3x^2f33''),

=529y^2f11''+92xyf12''+69yx^2f13''+2f2'+4x^2f22''+6x^3f23''+6xf3'+69yx^2f31''+6x^3f32''+9x^4f33'',

=529y^2f11''+92xyf12''+6yx^2f13''+2f2'+4x^2f22''+12x^3f23''+6xf3'+9x^4f33''

因为=23xf1'+2yf2'，再次对y求导，

所以

=23x(f11''*23x+f12''*2y+f13''*0)+2f2'+2y(f21''*23x+f22''*2y+f23''*0)

=529x^2f11''+46xyf12''+2f2'+46xyf12''+4y^2f22'',

=529x^2f11''+92xyf12''+2f2'+4y^2f22''.

因为=23xf1'+2yf2'，再次对x求导，

所以

=23f1'+23x(f11''*23y+f12''*2x+3x^2f13'')+2y(f21''*23y+f22''*2x+3x^2f23'')

=23f1'+529xyf11''+46x^2f12''+69x^3f13''+46y^2f12''+4xyf22''+6yx^2f23'',

=23f1'+529xyf11''+46(1x^2+1y^2)f12''+69x^3f13''+4xyf22''+6yx^2f23''。