包络线玫瑰花结|包络|圆盘|方向|相位|谐波

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绘制心形线的一种方法是使笔从圆盘中心以90°的相位开始，并以简谐运动沿半径移动，同时圆盘以相同周期的匀角速度旋转。如果现在不是简单的简谐运动，方程为p=1-cosθ，振幅为1，我们给钢笔一个双谐运动，并写下方程

p = (1 - cos θ) + (1 - cos mθ),

其中m与单位相差一些小的等分部分；然后我们将得到一系列谐波曲线，这些曲线有一个可变参数，因此必须有一个公共包络。摆在我们面前的问题是找到这个包络。

内包络为心形。根据教科书，程序方法是将上述方程中的变量参数m作为唯一变量进行微分，然后消去这两个方程之间的参数。这将给我们带来

sin mθ = 0,

± 1 = p - 2 + cos θ,

这样包络的方程式就变成了

p = (1 - cos θ) + 2

p = 1- cos θ.

因此，内部包络是心形，外部包络是心形的半径向量增加2。

图1表示了这些曲线。这个图形和本文中的所有图形一样，在页面上的位置与它完成时在磁盘上的位置相同，画笔也回到了初始位置。如果我们可以想象顺时针方向转动的圆盘现在被单独卡住，笔将继续沿着页面的垂直线通过尖端上下移动，也就是沿着通常在图中表示的Y轴，但在这里我们可以称为Y的机械轴。在刚刚给出的等式中使用的数学轴+Y，其惯例是总是向上移动的，在图1中向右移动，因此该图形必须逆时针旋转90°。在图1中，在图1中，该笔将沿着页面的垂直线继续上下移动，即沿着通常在图中表示的Y轴移动，但在这里我们可以将其称为Y的机械轴。在图1中，+Y的数学轴向右移动，因此该图必须逆时针旋转90°。这种与常规数学实践不同的原因是，通过呈现附图的机械方面，当改变笔的初始相位或位置或盘的旋转频率时，可以更好地看到这些附图所发生的变化。因此，数学轴必须旋转以特别适合每个图形。这不会有太大困难。

图1中笔的运动是两个简单的谐波运动的结果，这两个运动的振幅都是一样的，一个是单位周期，另一个是周期m，长度为15/16或16/15，而圆盘的周期则是任何一个部分。在实践中，A部分有一个带32个齿轮的轮子，转了15圈，而B部分有30个齿轮，转了16圈，同时圆盘有一个30或32个齿轮的轮子，转了16或15圈。在图1中，圆盘上使用了一个转数为15的32齿轮。可以看到一个半径（通过尖顶）将复合曲线切割成15个点。如果使用的是16圈的30个齿轮，就会有16个这样的交叉点。

当笔的两个部件都处于相位90时，笔被放置在圆盘的中心(在尖端)。当开始运动时，笔开始画一个两倍于内包络大小的心形，但这一次，虽然逐渐，变成了一条曲线，随着笔每转一圈远离中心，曲线变得越来越短，直到，在其复合周期的中间，当cos θ + cos mθ等于零时，它瞬间画出半径为2的圆弧。在这之后，曲线的波瓣以相反的顺序重复，同时它们的轴继续以相同的方向摆动。

对图1的研究表明，波瓣的交点以相等的角度间隔排列在径向线上，曲线与两个包络线的切点也以相等的角度间隔。

外包络是心形线。还有一种画包络的方法，是心形线。在第一种情况下，我们把笔放在圆盘的中心，当时它的两个谐波成分的相位是90°。现在让我们把中心处的相位变成0°。第一个分量A，如果单独使用，将跟踪圆p = sin θ，两个分量一起将跟踪p = sin θ + sin mθ。如前所述，我们发现包络线

±1=ρ-sinθ 或 ρ=1+sinθ 和p=-1+sin θ或（1+sin θ）-2，它们是相同的，或者说是重合的，第一个是由p的正极追踪的，比如说由点P追踪的，另一个是在p的负方向上与P保持2距离的点P'。在图2中，+Y的数学轴现在向左运行。我们可以注意到，图2的第二个包络的方程是常数-2，而图1的第二个包络是+2。

包络线玫瑰花结。——通过使用nθ代替θ来概括上述结果，我们可以将相同的原理应用于玫瑰花结。因此，如果我们取n= 2，笔到其中一个圆盘有两个完整的复合循环，也就是说，当圆盘像以前一样旋转15或16圈时，A和B两次旋转15和16圈。然后，我们在图3的内包络和图4的外包络中有一个玫瑰花结，在机械意义上使用后一种表达。然而，在数学意义上，在图4中有两个包络，不是重合的，而是彼此成直角。数学轴的方向也发生了变化。它们在这些图和随后的图中的位置可以很容易地从各自的方程中推导出来，因此不再提及。

当n=3时，我们看到通常的内部包络是图5中的玫瑰花环，而图6中的外部包络是相等的。图7显示了一个七叶草作为内部包络。外部的没有画出来，因为它几乎是全黑的，就像图6所示，因为它有大量的紧密和重叠的线条。

从数学的角度来看，所有这7个图都呈现出玫瑰花结的包络。如图1、图3、图5、图7所示，当两个分量A和B的公共相位在磁盘中心处为90°时，我们有两个包络，一个内包络为玫瑰花环，一个外包络为内包络的半径向量加2。当公共相位中心为0°时，如图2、4、6所示，也有两个包络，它们都是相等的花环。当n为奇数时，它们重合；当n为偶数时，它们等角交叉。从力学的观点来看，第一类图形可以说有玫瑰花环作为它们的内部包络，第二类图形可以说有相应的相等的玫瑰花环作为它们的外部包络，在后一种情况下，当n=1时，瓣片的数目翻了一番。

在所有给出的情况下，分量A的周期之比，或m的值，取为15/16或16/15，谐波分量A旋转15n，B旋转16n，而圆盘旋转15或16次。圆盘的转数，15或16，必须是其中一个部件的1/n。我们可以选择任何一个，除非n是所用的一个因子，因为一旦笔完成了一个完整的复合循环，它将开始沿着已经画出的曲线折回，这样图形将呈现出令人失望的不完整的外观，因为它将只有它应该有的第n条线。由于这个原因，n = 2时圆盘必须转动15圈，n = 3时必须转动16圈。因为n = 7，所以做了15个，但16个也会做得同样好。对于n = 5(未显示)，它们必须是16。

组件的起始相位——当组件A和B的相位为90°时，笔在圆盘的中心被放下，它所描画的内包络是图1、3、5、7中所示的玫瑰花。当笔在机械Y轴上的相位0°开始时，在离中心+2的距离处，也就是在一个叶子的上端，画出了相同的数字，只是转成了直角，。原因是在圆盘的四分之一圈中，A或B的一个部件正好前进了四分之一个周期，而另一个部件只前进了1/15或1/16的四分之一，或多或少。在实践中，当m . ,..... 1是非常小的。同样地，当笔在Y轴上以90°的距离+2，而不是在0°的中心开始时，产生了相同的 "外包络"玫瑰花，以直角转动，图2，4，6。由此可见，笔可以在其组成部分的任何相等的相位a开始，并在机械的Y轴上设置在