函数y=ln(2+sinx)的单调凸凹性质归纳

函数y=ln(2+sinx)的单调凸凹性质归纳

主要内容：

本文主要介绍三角与对数的复合函数y=ln(2+sinx)的定义域、单调性和凸凹性，并用导数知识解析函数的单调区间和凸凹区间。

※.函数定义域：

因为-1≤sinx≤1，

所以-1≤sinx≤1，则有：

0＜1=2-1≤2+sinx≤1+2=3，

则函数y=ln(2+sinx)的真数部分为正数，符合定义要求，所以该函数的定义域为全体实数，即定义域为：(-∞，+∞)。

※.函数单调性：

由导数的知识来求解和判断。

∵y=ln(2+sinx)，

∴dy/dx=cosx/(2+sinx),

令dy/dx=0,则cosx=0，此时x=kπ+π/2,k∈Z.

函数的单调性为：

(1)当cosx＞0,即x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]时，dy/dx＞0，此时函数为增函数；

(2)当cosx＜0,即x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]时，dy/dx＜0，此时函数为减函数。

※.函数凸凹性：

因为dy/dx=cosx/(2+sinx)，

所以d^2y/dx^2

=[-sinx(2+sinx)-cosxcosx]/(2+sinx)^2,

=-(2sinx+sin^2x+cos^2x)/(2+sinx)^2

=-(2sinx+1)/(2+sinx)^2.

(1)当-(2sinx+1)≥0时，即2sinx+1≤0，则：

[2kπ+π+arctan(1/2),2kπ+2π-arctan(1/2)],此时d^2y/dx^2≥0，函数为凹函数，该区间为函数的凹区间。

(2)当-(2sinx+1)＜0时，即2sinx+1＞0，则：

[2kπ-arctan(1/2),2kπ+π+arctan(1/2)],此时d^2y/dx^2＜0，函数为凸函数，该区间为函数的凸区间。