11岁小学生发现数学定理，日本数学会前会长称其为可敬的数学家|定理|小学生|数学|数学家|素数

撰文七君

2018年，东京的数学家宫本宪一接到了一个母亲打来的电话。这位女士希望他能教教她的儿子。

宫本宪一开了一家数学补习班，接触过各式各样水平的学生，他原本觉得这并没什么稀奇的，但是听说了这个母亲的要求后他惊呆了，原来她的孩子想学复分析，那可是大学理工科难度的数学啊。

这不会是望子成龙心切的家长的胡诌吧？但是一对线啥水平不就都暴露了嘛，好像也不必这样吹牛吧，于是宫本宪一决定见一见这个娃。没想到见到这个娃以后，宫本宪一沉默了。

就这么说吧，这个当时10岁的娃当场演示了一遍莱布尼兹公式。莱布尼兹公式是关于两个函数的积的导数的一个计算法则，是微积分的基础，一般来说至少是高中生才能掌握。宫本宪一当下就觉得各种教不了，于是向自己的导师求助。

令人更意想不到的是，这个娃在1年后独立发现了一个数论方面的定理，并且在今年3月31日的日本数学会上进行了报告。

梶田光。图片来源：见水印

这个神奇的小学生叫做梶田光，出生于2008年，家住神奈川县，和樱木花道是老乡。

我们先来看看梶田同学的学术能力。这个小学生在今年日本数学会上的报告名称是“乗数h付きオイラー双子型メルセンヌ超完全数”（带乘数 h 的欧拉孪生梅森超完美数）。从题目来看，他的研究和数论中的完全数有关。

在今年3月31日的日本数学会年会上，梶田光报告了他的研究成果。图片来源：Tetsuya ISHIKURA/twitter

完全数指的是所有因数（自身除外）之和等于自身的整数。比如最小的完全数6的因数有1、2、3、6，而1 + 2 + 3 = 6。即使超级计算机已经出现，目前人类也只找到了51个完全数。

他的定理中的另一个关键词梅森数的概念说起来也不难，梅森数指的是2的n次幂减1（2^n-1）。所以当n = 1、2、3时，梅森数分别为1、3、7。

梅森数和完全数中的超完全数之间存在一定的关联：若超完全数n是偶数，那么n一定是2的次幂，而且是梅森素数。这个转化关系也被称为欧几里得-欧拉定理。有趣的是，目前人类找到的梅森素数（是素数的梅森数）的数量也是51个。

超完全数又是什么东西？

这个说起来是一种套娃数。数学家们把一个正整数n的所有因子之和表达为σ(n)，σ(n)称为除数函数。假设n的除数函数是2n，那么n就是超完全数。

就比如2的因数是1和2，因此σ(2) = 1 + 2 = 3。

σ(3) = 1 + 3 = 4 = 2 * 2，因此2是超完全数。

很显然，不管对于哪国的小学生来说光是这些基础概念就已经超纲了。但是这位梶田同学却说，只要有高中数学基础，学习初等数论并不困难，这也是他钻研这个领域的初衷。

他的研究成果目前还没有以论文的形式发表出来。考虑到数学界的审稿过程是异乎寻常地长，通常以年为单位，梶田可能要等到成年才能看到自己的发现出现在谷歌学术里了吧。

话说回来，细心的同学会发现，他的报告合作者是一个叫高茂的人。

2021 年 2 月，梶田光和饭高茂合影。图片来源：梶田英美子/asashi。

数学系的人对这个名字应该不会陌生，因为他是当代代数几何方面的大佬。实际上，此人正是前面提到的宫本宪一求助的导师、日本数学会前会长、1990年日本学士院奖（日本学术界最高奖项之一）的获得者。

饭高和梶田年龄差达到了66岁，比陶哲轩和曾经辅导过他的数学家 Paul Erdős 的年龄差还多了4岁。不会是在饭高的引导下梶田才有了这个发现吧？

72岁时数学家 Paul Erdős 曾辅导过10岁的陶哲轩。图片来源：wikipedia

实际上，梶田同学的发现并不是饭高指导的结果。在饭高口中，这个年龄差达到66岁的忘年组合更像是合作伙伴而不是师徒关系。

饭高并不为梶田制定研究主题，也不推荐任何教材，但会回答梶田的任何问题，他把自己当作了一个人肉版谷歌的角色。他说，这是因为自己是把梶田当成平等的数学研究者来看待的，并且他认为梶田是“可敬的数学家”，“我尊重他的才华”。每两周，梶田同学会去一次东京附近的多摩市，在租来的小教室里和饭高老师以及宫本宪一研讨数学。

2021年日媒对梶田光的报道。图片来源：Tetsuya ISHIKURA/twitter

2019年的某天，梶田同学独立发现了上文中关于超完全数的定理。由于阅历还是小学生，他并不确定数学界是否有其他人先一步做出了相同的发现，于是用邮件联络了高茂。高茂确认这是首次发现，于是两人公布了这个成果。

所以，这样特别的小学生是如何培养出来的呢？

天赋之外，妈妈梶田英美子的教育起到了非常大的作用。梶田在接受电视台采访时表示，他大概在1-2岁的时候开始痴迷于数字游戏，当时他家的浴室里贴满了九九乘法表。

小时候的梶田光。图片来源：见水印

小学一年级的时候，他对数学的兴趣进一步加深。用他自己的话来说，“早上起来脑子里的数学开关就打开了，晚上睡觉的时候也是想着数学睡着的。”一整天都在做数学题，这娃根本是个人形矿机吧？！为了满足儿子在数学方面的胃口，梶田的妈妈给她买了四百多页厚的原版数学教材。

当然，那个时候他的英文并不熟练。为了能看懂原版教材上的内容，他开始在英语老师的指导下翻译这部教材。他最终花了3年的时间把教材读完了。

实际上，因为义务教育的难度对于他来说太“小学生了”，小学四年级时家长就让梶田在家上学了，这才出现了文章开头的那一幕。2019年，10岁的梶田就参加了主题为“超级孪生素数数量与高桥条件”的学术会议。

孪生素数指的是相差2的一对素数。图片来源：sciencefocus.ust.hk

孪生素数对于许多人来说并不陌生。孪生素数指的是相差2的一对素数（如3和5），孪生素数数量用π(x) 表示，x指的是素数x，π(x) 指的是到x为止的素数个数。

我们并不知道孪生素数的数量是否是无穷的，这也是数学中最著名的问题之一，到现在也没有被解决。但是目前能确定的是，数字越大，孪生素数的出现频率越低，因此找到相邻的孪生素数的可能性看起来也应该是越来越小才对。

梶田同学参加会议后大受启发，还写了一篇自己的总结报告，标题是“我最喜欢的数学”。这确实是小学生应该考虑的问题吗？