精彩点评一
学习了黄毅老师关于2022年北京市中考数学第28题的解题教学研究，让我收获颇丰，现就主要感悟分享如下： 此题是一道新定义代几综合题，结合了平移、对称、旋转三大变换，对学生的综合素养要求较高。对于新定义题型，解读条件、理解定义是关键。
对于问题一，黄老师从两个方面开展研究：点P的平移；点P'关于点Q对称。利用网格作图法找到点Q，画出图形，利用中位线、平行线分线段成比例解决问题；
对于问题二，其实就是一种主从联动轨迹问题，点P'的运动轨迹与点M的运动轨迹相同，但黄老师不纠结于模型教学，而是回到定义中的两个关键点：平移和中心对称，在变化过程中找不变的量或关系，从而发现点P'的运动轨迹与点Q的运动轨迹，再利用几何直观确定PQ的最长和最短。
在反思环节，黄老师依托教材，对于每一个细节，找准教材原型，同时联系新课标要求，以课例来指导实际教学。新课标要求对于学生的尺规作图能力要求越来越高，暑期省培（义务教育课程方案和课程标准）中，以过圆外一点作圆的切线为例讲授了新课标下尺规作图的内涵和意义，而黄老师与时俱进，重视尺规作图，以教材为蓝本，以学生为出发点，逐步引导，落实相应学科素养的培养。
解题教学研究不在于研了多少种方法，不在于研了多少种变式，而是教师眼中要有学生，从基础出发，结合学生学情，以基础技能培养为目标，帮助学生解决问题，提升学生的数学素养。黄老师本次研题让我对于解题教学研究有了更开阔的眼界，感谢黄老师，同时也感谢张博士提供的平台，让我们共同学习、进步。
精彩点评二
认真学习了黄毅老师关于2022年北京市中考数学第28题的解题教学研究，反复聆听，受益匪浅。
本题是一道新定义题型的压轴题，以平面直角坐标系中的点为素材，构建“对应点”新定义，结合了平移、对称等变换，探究圆外一点到圆心的距离最值问题。近几年，新定义题型已经渗透到中考数学卷的选择题、填空题、解答题中，新定义题型的出现其目的在于考查学生的阅读理解能力、收集处理信息能力和运用知识解决实际问题的能力。
第（1）题的两问，黄老师解读文本，从点P的平移和点P'关于点N的对称点Q（即中心对称）两个方面出发，找到解决问题的关键。从构造全等三角形去理解网格作图法，得到点Q，利用平行线和中点解决问题。同时还从学生角度出发，分析了一种解法的错因；第（2）问，黄老师将问题细化，深度剖析问题，从三个方面去引导学生思考PQ长度的关联元素去展开，对问题层层剖析，由特殊到一般，运用几何直观确定PQ的最大值和最小值，足见黄老师扎实深厚的教学功底。
黄老师的解题研究，我印象最深的，是他的教学启示，对于例题中的考察知识点，寻找课本来源，与新课标对接，以课例来指导实际教学。每一个小的知识点，都有他深层次的思考，确实是我要学习的地方，教师应该始终以生为本，注重知识的生成与衔接性，深研教材，答疑解惑，传道授业。
感谢黄老师的研题，为所有热爱数学教学的同行们，提供了难得的研究素材，从题目到教材，从教材到课堂，再从课堂到解题，意犹未尽……让我见识了真正的数学人，爱数学，做数学，感谢张钦博士提供的平台，让我有机会向高水平的专家们学习，积淀数学素养，对解题教学不断探索，不断成长。
精彩点评三
学习了黄毅老师关于2022年北京市中考数学第28题的解题教学研究，可谓咀嚼回味，意犹未尽。
一、题目的解答咀嚼回味：北京题今年仍然以新定义为题材，利用平移、旋转、对称几何图形变换综合考查学生对图形之间的联系。新定义的命制，让我们猜得到题型，猜不到内容；考得出思维能力，道不尽的趣味。第（1）问的①问对学生作图能力要求起点较高，除了点O还有三个“明点”和两个“暗点”，两暗点一个是由点P平移得到，紧接着一个对称来确定落脚暗点，要求学生能在网格中会用平移和对称变换的作图，有效考查平时教学对图形变换的落实。而②问作图能力的要求稍低，只需要连接①中的两点，再证明两条线段数量关系，拉回到学生熟悉的思维环境。由系数二分之一，临考中想到中位线及相似的相关知识来解决并不是难事，黄老师特别细致的指出了该问一个思维不严密性，将点N“一厢情愿”的认为坐标为（2，2）是不严谨的，教导学生在审题时需要更加仔细。
对于（2），非常同意黄老师重点给出的一句话：从变化中寻找不变的量或关系，这是处理动态图形求最值的基本策略。本问是一入手就先利用不变量PP’=1及上一问的成果，构造出中位线BN=1/2，而B、N两点都是动点，要求我们找到着力的定点方可决策点B运动路径，因此转之求出OB=t－1/2后，确定了B点的运动路径是一个以O为圆心、以OB为半径的圆上，这为确定点Q的运动路径提供了充分的依据。
二、教学反思的意犹未尽：基于最近各位同仁们都在炽热的学习新课标，黄老师也趁着热度细致分享了自己的高见。以用无刻度直尺在方格中作图为例，从课堂教学几个实例的视角阐述和解释了新课标的“三会”，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界和会用数学的语言表达现实世界，要求学生具有应用和创新意识，真正实现育人价值。
感谢黄老师的研题和探究，让我们在教学中更加坚定的明确了方向，同时也感谢张博士提供的平台，让我们热爱数学的人有机会在一起学习，一起热爱我们的热爱。
精彩点评四
认真学习了黄毅老师关于2022年北京市中考数学第28题的解题教学研究，反复聆听，受益匪浅。黄老师的研题启发我思考的地方主要有如下三点：
1.讲题过程中始终注重审题的指导，注重对题目的已知条件的深入分析.例如：他指出在第（1）问中图中的点N在线段OM的延长线上，但并没有说明点N的具体位置；他引导分析出本题定义中的两个重要的变换，这两个变换贯穿题目的始终。在第（2）问中，他引导分析画出关键图形，解读“当点M在☉O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)”得到“只要满足点P在P为☉O外一点，不论它在哪里都不影响PQ长的最大值与最小值的差.”······黄老师讲题中精准的分析可想象到在平时的教学中黄老师善于引导学生抓住关键因素分析问题，善于教学生怎么去读题、析题，从而优化解题方案，提升学生的解题能力。
2.黄老师的研题视频中呈现了与2022年北京中考压轴题对应知识点的优质课相关视频，并且黄老师对教师的课堂教学进行深入的点评，深度解读课中教师的教学智慧和学生的课堂生成，同时，他指出：教师在教学中要灵活处理课堂生成，完美的课堂生成的处理会点亮思维的火花，让课堂教学富有生命力。黄老师研题回归课标、回归课本、回归教学、回归教学设计，也可称之为“大单元研题”，尤其值得我学习。
3.黄老师在研题过程中这样讲到：“从变化中寻找不变的量或关系，这是处理动态图形求最值的基本策略”，我也常常给学生讲：“研究变化问题中的不变问题是解决变化问题的关键”，尤其是在几何动态图形中。但问题是学生常常分析不出来变化问题中的不变量到底是什么？黄老师的研题引发我思考：怎么让学生发现变化问题中的不变问题，也引发我思考怎么才能让学生由生活中的想象，过渡到数学中的“直观想象”，过渡到抽象思维呢？就以此北京题为例：若学生有较强的几何直观想象能力以及抽象思维能力，就不需要讨论在第（2）问中点P在四个象限中分别存在的情形。在解题教学中具体要如何培养学生的这些能力呢？我想我们可以借助优秀的压轴试题让学生在原题的基础上进行更深入的思考，一题多思，让学生在画图中培养学生的综合能力。例如：可以让学生思考“在第（1）问中点Q的运动轨迹是什么呢？”，学生画图可以发现点Q的运动轨迹是一条特殊的射线，或许可以借此再次让学生的思维能力进阶。以上观点，纯属个人想法，还请群内各位专家批评指正。
最后感谢张博士搭建的平台，让我随时随地可以聆听专家们智慧的研题，研题的路上有大家我很幸福很满足，也会一直用心努力的学习！
个人感言
2022年北京市中考数学题的难度总体并不高，所以在题目本身解法上，可供挖掘的内容不多，大体上两个方向，一是继续拓展题目条件，进行变式研究，二是着眼于题目背后的课堂教学，思来想去，还是选择了后者，毕竟对于教师而言，课堂是教学主阵地，也是每天要进行的工作，围绕课堂中心，话题可以更接地气。
这道题相对于2021年和2020年，选材范围变化不大，在新定义的构造理念上相差也不大，题型设置上依然没有变化，唯独变化的只有难度，或者说呈现给学生的思维深度，想重点说一下第1问，虽然只是最简单的一个小题，但也引起了一点争议，关于点N的坐标问题，从题图上看，它在(2,2)处，但题目条件中没有明确说明，在学生解题过程中，把它当作(2,2)去求解，可以得到正确作图结果，这就很纠结了。因此在作图题中，是否将点N坐标作为条件使用，不会严格追究，但是在推理过程中，却不可以当作已知条件，所以使用相似三角形比较符合学生可能的思路。另外，关于中位线的判定，我们不少老师在教学中会补充“经过三角形一边中点且和第三边平行的线段，是三角形中位线”的方法，这也不是新课标和教材里有的定理，虽然这个描述没错，但不严密，其实还有一种判定方法，“平行且等于三角形一边长度一半的线段，是三角形的中位线”，同样也未被教材收录为定理，而它们之所以没有被“验明正身”，和其本身的逻辑性是有关联的，我们只需要中位线定义，经过三角形两边中点的线段，很容易判定，或者利用相似三角形，构造相似比为1：2的相似三角形，也可以判定，这也是本题的解法。
第2问对于学生来讲，找点很关键，经过平移、对称之后，最终的点Q在哪？为什么在那儿？这两个问题贯穿始终，同时本题中的圆，赋予了图形极大的自由度，和2021年的题目一样，我们可以选取特殊位置的点P作图或计算，并不影响最终结论。作为老师我们可以使用几何画板等工具去验证，而对于学生，则需要引导他们在平时学习中理解领悟圆的这种对称性，这必须回归到课堂教学，回归到图形概念，所以我一直在思考的问题，就是如何让每一个数学概念在学生头脑中生长出来。在这一问当中，我们需要引导学生思考，为什么点P处于不同位置，结论并不受影响，所以需要找到描述图形变化的条件，找到不变的原因，这就找到图形变换的本质了，本质之外的东西，再纷繁复杂，均为虚无表象。
在平时的教研活动中，听课评课，或时髦点叫观课议课，是一种常态，听课听什么，议什么，是值得研究的话题。通常情况下，通过听课，听课老师从不同角度去观察一节课的完整过程，给出自己认知范围内的观点，这些观点之间相互碰撞，形成思维火花，我个人认为，这是最完美的教研形态。借助现代信息技术，我们已经可以远程听课议课，可以用截屏或拍照等方式记录课堂精彩瞬间，可以毫无地域限制在一起研讨，但教研本质并不会改变，我们仍然需要完成传统听课议课的各个环节，以新的形式。同时新的技术手段也赋予了听课者全新的视角，例如我们可以通过摄像头完整保留一节课的全部细节，然后进行处理分析，从而得到肉眼观测不到的角度，补充传统目光之不足。但归根到底，技术仍然只是辅助，我们仍然需要一颗颗燥热的教研之心。
本次研题原本打算使用自己的课堂片段来献丑，但收集到自己的教学视频实在太少，并且也不具备说服力，因此在一师一优课平台或国家智慧教育云平台上找到几节优质课，经过学习之后，以自己的观察角度给出若干思考，我听课的习惯是多看学生，少看老师，一方面老师课堂上“表演”的那些东西，大家都差不多，只需要关注课堂环节是如何推进；另一方面课堂效果究竟如何，得看学生，得仔细看学生，因为我们的学生通常很可爱，公开场合一定会竭力表现得很好，或者还会过头，这需要旁观者清，哪怕学生在课堂回答中的迟疑，也能有很多教学启示可挖掘，所以我始终认为课堂生成是不可多得的教研宝藏，值得反复挖掘。
课堂一定要以学生为主，教学一定是为学生服务，我们的目标是让每名学生在原有基础上有所发展。从老师备课开始，就应该要思考，2022版新课标中对于课堂教学提出了总纲领和总规范，教材则会在这个纲领之下进一步细化，把教什么变成怎样教，而一线教师，则需要认真研读新课标和教材，把怎样教落实成符合不同学情的课堂。在这个过程中，尤其需要重视学情，在研题过程中，我列举的网格背景，其实在不同学段，不同学情之下，有着不同的处理方法，在近两年的全国各省市中考题中，它是常客。相对于尺规作图，网格作图有其独特性，圆规的作用被网格替代，同时也生出了更多作图方法，例如网格中作垂线，可以关联全等三角形、三角函数、相似三角形等，它实际上是一个强大的场景，可以容纳很多几何图形和变换，未来也是值得研究的一个方向。
在研题过程中，得到了宜昌市十中数学组杨再蓉老师、刘金娥老师、陈聪老师的大力支持，暑假期间，通过网络交流解题心得，教学体会，直到开学，繁忙的事务之后，依然抽空对题目聊上几句，这是十分难得的，对于我的研题，非常有帮助，同时感谢颜德才老师在二稿时指出的不足，感谢袁晓芹老师在直播时的亲切指导，感谢张钦博士搭建的这个平台，让一群充满教育情怀的老师们聚在一起，感谢群里的每位专家老师，感谢本次研题点评的王姣老师、罗茜老师、刘国洪老师、杨再蓉老师，能够得到大家的肯定，我无比荣耀。
借用结尾处那句话，今后要好好上课，认真批改作业，耐心解答疑惑，让我的学生终身受益。
黄毅老师简介
黄毅，宜昌市第十中学数学教师、班主任。荣获2018届、2021届、2022届学生评选“最帅班主任”及其它一些荣誉称号。擅长教育教学反思、信息技术与学科深度整合、网络教学，著有个人微信公众号“爱数学做数学”，笔名毅讲就会。
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