选自quantamagazine
作者：Jordana Cepelewicz
机器之心编译
机器之心编辑部
数学史上每一个突破都需要扎实的基础工作。
公元前三世纪，阿基米德提出一个关于放牧牛群的谜题，并声称只有真正聪明的人才能解开。他的问题最终归结为一个涉及两个平方项之差的方程，即 x^2 – dy^2 = 1。其中，d 是一个整数（可能是正整数或负整数），而阿基米德提出的问题要求解 x 和 y 也是整数。
这类方程被称为佩尔方程，几千年来一直让数学家们着迷。
在阿基米德之后几个世纪，印度数学家 Brahmagupta 和后来的数学家 Bhāskara II 发明了找出这类方程整数解的算法。在 1600 年代中期，法国数学家 Pierre de Fermat 发现在某些情况下，即使为 d 分配了一个相对较小的值，x 和 y 的最小整数解可能很大。例如方程 x^2 – 61y^2 = 1 的最小整数解为 9 位或 10 位。而 d 值较大时，如要打印出 x^2 – 4729494y^2 = 1 的最小整数解需要 50 页。
佩尔方程的解用处有很多，例如通过求解佩尔方程， √2（一个无理数）可以近似为两个整数的比值，即 x/y 的形式。
更有趣的是，佩尔方程的解还与特定数字系统——「环」相关。在环中，√2 可能会与整数相邻。事实证明，佩尔方程可以帮助数学家了解环的特性。
因此，许多非常著名的数学家都研究了佩尔方程，包括费马、欧拉、拉格朗日和狄利克雷。现在，来自蒙特利尔康考迪亚大学的数学家 Peter Koymans 和 Carlo Pagano 证明一个几十年前的猜想与佩尔方程相关，该方程量化了某种形式的方程具有整数解的频率。他们的研究还用到了群论的思想。
Peter Koymans
下面我们根据方法类型，了解一下数学家们为解决佩尔方程分别做出的努力。
朴素的算术方法
20 世纪 90 年代初期，荷兰莱顿大学的数学家 Peter Stevenhagen 猜想佩尔方程可以使用群论来推测方程整数解的间隔。现在 Stevenhagen 惊讶地说：「我没想到这个猜想这么快就被证明了。」
Stevenhagen 的猜想依赖于环的一个特定特征。例如，在整数中添加了 √−5 的数字环中（数学家经常使用像 √−5 这样的「虚数」），有两种不同的方法可以将数字拆分为其素因数。例如，数字 6 不仅可以写成 2 × 3，还可以写成 (1 +√−5) × (1 –√−5)。结果，在这个环中，算术基本定理（即正整数的唯一分解定理）就不成立了。这种情况被编码在与该环关联的对象中，称为类群（class group）。
数学家深入了解他们感兴趣的数字系统的一种方法就是计算和研究其类群。然而，很难确定类群在不同数字系统中的规则。
20 世纪 80 年代，数学家 Henri Cohen 和 Hendrik Lenstra 就这些规则应该是什么样的提出一系列关于类群的广泛猜想，被称为「Cohen-Lenstra heuristics」，反过来也揭示了数字系统的属性。
尽管很多计算似乎支持 Cohen-Lenstra 猜想，但这仍然只是猜想，而不是证明。
有趣的是，一个类群的典型行为与佩尔方程的行为密不可分。理解一个问题有助于理解另一个问题——以至于 Stevenhagen 的猜想「对于 Cohen-Lenstra 启发式算法取得的任何进展来说也是一个检验问题」，Pagano 说道。
新工作涉及负佩尔方程，其中 x^2 – dy^2 设置为等于 -1 而不是 1。原始 Pell 方程对于任何 d 值总是有无限数量的整数解，但并非所有 d 值的负佩尔方程都有解。以 x^2 – 3y^2 = -1 为例，就是一个无解的方程，即使 x^2 – 3y^2 = 1 有无限多的解。
实际上，有很多 d 值使得负佩尔方程无解，例如 d 是 3、7、11、15 时均无解。但是，即使您避免了这些 d 值并仅考虑剩余的负佩尔方程，也并不总是能够找到解决方案。
1993 年，Stevenhagen 提出了一个公式，认为在可能有解的 d 值（即不是 3、7 等的倍数的值）中，他预测大约 58% 会产生具有整数解的负佩尔方程。Koymans 和 Pagano 在 30 年后证明了 Stevenhagen 的猜想。
更优的方法
2010 年，一篇发表在《Annals of Mathematics》上的论文表明适用于负佩尔方程的 d 值的比例在一定范围内。为此，论文作者 Étienne Fouvry 和 Jürgen Klüners 掌握了相关类群的某些元素的行为，并需要了解更多元素，才能了解 Stevenhagen 更精确的 58% 估计。不幸的是，有些元素仍然难以理解：仍然需要新的方法来理解它们的结构，几乎不可能有进一步的进展。
2010 年发表于《Annals of Mathematics》的论文，论文地址：https://annals.math.princeton.edu/2010/172-3/p13
2017 年 Koymans 和 Pagano 一起在莱顿大学读研究生时，一篇论文的出现改变了一切。「当时我就意识到这将是解决佩尔方程的重要工具」，Koymans 说道。
论文地址：https://arxiv.org/abs/1702.02325
这篇论文的作者是哈佛大学的研究生 Alexander Smith，他现在是斯坦福大学的 Clay fellow。Smith 一直在探究椭圆曲线方程解的性质。在研究这个问题的过程中，他验证了 Cohen-Lenstra 猜想的特定部分，并且恰好涉及 Koymans 和 Pagano 的工作中关于类群的部分。
然而，Koymans 和 Pagano 不能简单地直接使用 Smith 的方法。Smith 的证明涉及与数字环相关的类群，在环中 √d 与整数相邻。Smith 考虑了 d 的所有可能整数值，而 Koymans 和 Pagano 只考虑了这些 d 值的一小部分。
Koymans 和 Pagano 需要根据问题对 Smith 的方法做出多个调整和修改。此外，他们不仅需要描述一个类群，而且需要描述两个不同类群之间存在的差异，这也是他们证明 Stevenhagen 猜想的主要部分。
Carlo Pagano
Koymans 和 Pagano 非常仔细地梳理了 Smith 的论文，Smith 当时也在不断完善这篇论文，多次做出了必要的更正。Koymans 和 Pagano 一起逐行学习了这个 Smith 的证明方法，过程漫长枯燥，但稳步向前。终于在一年后，Koymans 和 Pagano 找到了需要尝试新方法的地方。
为了建立适当程度的随机性，Koymans 和 Pagano 证明了一组称为互反律（reciprocity law）的复杂定理，这使得他们能够控制两个类群之间的差异。
这一关键突破让他们终于在今年早些时候完成了 Stevenhagen 猜想的证明。
五年前，Smith 证明了 Cohen-Lenstra 猜想的一部分，被认为是打开了许多问题的大门。现在，Koymans 和 Pagano 证明了 Stevenhagen 猜想。Smith 对此表示：「他们的工作让我感到惊讶，虽然其中包含了我的部分方法，但他们把这种方法用于我不了解的方向，让研究向前迈了一步。」
格拉斯哥大学的数学家 Alex Bartel 评价称：「Smith 告诉我们如何制造锯子和锤子，我们现在要做的就是让它们尽可能锋利，尽可能坚固，尽可能适应不同的情况，Koymans 和 Pagano 的工作就是朝着这个方向前进了一大步。」
虽然 Cohen-Lenstra 猜想的其余部分仍然遥不可及，但 Koymans 和 Pagano 的工作表明我们已经找到了向前推进的方法。
原文链接：https://www.quantamagazine.org/ancient-equations-offer-new-look-at-number-groups-20220810/
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