函数y=x^3-2x+2的主要性质

函数y=x^3-2x+2的主要性质

主要内容：

本文主要介绍函数y=x^3-2x+2的定义域、单调性、值域、凸凹性及极限等性质，并举例介绍函数导数的应用，同时通过函数导数知识，求解函数的单调和凸凹区间。

函数定义域：

根据函数特征，函数右边表达式为自变量的多项式，即可取任意实数，故函数的定义域为：(-∞，+∞)。

函数单调性：

用导数的知识来判断函数的单调性，并求解函数的单调区间。

∵y=x^3-2x+2,

∴dy/dx=3x^2-2

=(3x^2-2).

令dy/dx=0,则3x^2-2=0，即：

x1=-√6/3，x2=√6/3.

(1)当x∈(-∞,-√6/3),(√6/3,+∞)时，dy/dx>0,此时函数为增函数，即区间为增区间。

(2)当x∈[-√6/3,√6/3]时，dy/dx<0,此时函数为减函数，即区间为减区间。

函数导数应用：

例如求点A(0,2),B(1,1),C(-1,3)处的切线。

对于点A(0,2)处，有dy/dx=0,故此时切线分别为yA=2,可见这个点是函数图像上的极值点，但不是最值点。

对于点B(1,1)处，有dy/dx=1,则由直线的点斜式得切线方程为：y-1=x-1,即y=x。

对于点C(-1,3)处，有dy/dx=1,同理由直线的点斜式得切线方程为：y-3=x+1，即y=x+4。

函数凸凹性：

∵dy/dx=3x^2-2

∴d^2y/dx^2=6x,令d^2y/dx^2=0，则：

x=0,且有：

(1)当x∈(-∞，0)时，d^2y/dx^2>0,

则此时函数为凹函数。

(2)当x∈[0，+∞）时，d^2y/dx^2<0,

则此时函数为凸函数。

函数的极限：

lim(x→+∞) x^3-2x+2=-∞;

lim(x→0) x^3-2x+2=2;

lim(x→-∞) x^3-2x+2=+∞;

根据函数的极限可知，函数的值域为(-∞，+∞)。