寻找“反射点”
八年级数学新定义压轴题
新定义题型近年来越来越多地出现在中考压轴题中，所谓新定义题型，是指利用学生已有知识体系中的数学概念，构建出新的概念，并运用它解决数学问题。
新定义题型的难度与概念深度成正比，简单一点如新运算，基本上可视为某些运算的“组合”，而其中最考验学生数学理解能力的，是新定义数学概念。这种新定义题型，并非只在九年级复习中才会出现，平时的练习和检测中也屡见不鲜，因此在这种教学导向之下，学生对数学概念的理解深度非同一般，众所周知，数学就是玩概念，所以对于平时的教学，我们应该如何让学生在概念理解上更深入，是很值得探讨的话题。
题目
如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,2)，B(-2,0)，C(0,-2)，D(2,0)。对于点P、直线l和正方形ABCD，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点在正方形ABCD的内部或边上，则称点P为正方形ABCD关于直线l的“反射点”。
(1)已知直线l1为x=1.
①在点P1(3,0)，P2(3,-1)，P3(4,0.5)中，是正方形ABCD关于直线l1的“反射点”的有___________；
②若点P为x轴上的动点，且点P为正方形ABCD关于直线l1的“反射点”，则点P的横坐标最大值为___________；
(2)设点T(0,t)，直线l2为过点T(0,t)且与第二、四象限角平分线平行的直线.
①当t=4时，若点P为直线x=7/2上一点，且点P为正方形ABCD关于直线l2的“反射点”，则点P纵坐标yP的取值范围是___________；
②设正方形EFGH是以点K(-t,0)为中心，边长为1的正方形，且正方形EFGH的边均与坐标平行。若点Q为正方形ABCD的边界上一点，且点Q为正方形EFGH关于直线l2的“反射点”，请你直接写出t的取值范围.
解析
0 1
(1)直线l1为经过点(1,0)且垂直于x轴的直线
①不妨作出这三个点关于直线l1的对称点，从几何直观角度，可知“反射点”为P1和P2，如下图：
②点P在x轴上，并且关于直线l1的对称点在正方形ABCD的内部或边上，我们采用逆向思维解决：正方形ABCD关于直线l1的对称图形——正方形A'B'C'D'的内部或边上，是其“反射点”点P的集合，而在这个集合中，有哪些是在x轴上，则这些点满足本小题要求，我们观察它们的横坐标即可，如下图：
显然点B的对称点B'横坐标最大，因此最大值为4；
0 2
(2)直线l2与二、四象限角平分线平行，对于八年级上学期没有学过一次函数的学生来讲，需要以坐标特征来理解，即它与坐标轴夹角为45°
①当t=4时，点T(0,4)，且直线l2经过点T，我们依然采用逆向思维，作正方形ABCD关于直线l2的对称图形，正方形A'B'C'D'，然后作直线x=7/2，它与正方形A'B'C'D'有两个交点M和N，它们的纵坐标即为点P纵坐标取值范围，如下图：
由对称性可知∠ATA'=90°，且A'R平分∠B'A'D'，由三线合一可知R为MN中点，AT=A'T=2，A'R=7/2-2=3/2=NR=MR，得到M(7/2,11/2)，N(7/2,5/2)，于是可得到点P纵坐标的范围是5/2≤yP≤11/2；
②首先作正方形EFGH及其中心点K，如下图：
现在点Q为正方形ABCD边界上一点，且点Q为正方形EFGH关于直线l2的“反射点”，我们仍然先确定这些“反射点”的集合，方法一脉相承，作正方形EFGH关于直线l2的对称图形，正方形E'F'G'H'，只要正方形ABCD的边经过正方形E'F'G'H'内部或边界，则交点即为点Q，当点T纵坐标变小时，正方形EFGH及其对称图形正方形E'F'G'H'会靠近对称轴，显然离直线l2最近的点是点H，因此它的对称点H'首先接触到正方形ABCD，如下图：
此时点T在哪？
我们先根据对称性写出点K'坐标为(t,2t)，再根据正方形边长为1且K为中心，可以写出四个顶点E'，F'，G'，H'的坐标，其中H'(t-0.5,2t-0.5)，延长G'H'交y轴于点S，显然△ASH'为等腰直角三角形，于是AS=SH'，可列方程2-(2t-0.5)=t-0.5，解得t=1；
现在我们只观察正方形E'F'G'H'的运动状态，当它的顶点F'到达边AD时，全部处于正方形ABCD内部，此时先写出点F'坐标为(t+0.5,2t+0.5)，并且作F'S⊥y轴，如下图：
在等腰Rt△ASF'中，AS=SF'，可列方程2-(2t+0.5)=t+0.5，解得t=1/3；
注意到此时正方形E'F'G'H'大部位于直线l2一侧，由对称性可知，当点T继续向下运动时，正方形E'F'G'H'也随之继续向下，它会运动到直线l2另一侧，所以依次会出现点H'抵达边BC和点F'抵达边BC，这和前面的解法完全相同，而结果也呈“对称”，分别是t=-1/3和t=-1时，综上所述，t的取值范围为1/3≤t≤1或-1≤t≤-1/3.
解题反思
本题的对称其实很多，T与K便是隐藏最深的一对，它们的坐标分别为(0,t)和(-t,0)，显然是关于直线y=-x对称，对于八年级上学期的学生来讲，描述语句为二、四象限的角平分线；在解题过程中，尤其是最后一问，我们只需要观察正方形EFGH的对称图形，正方形E'F'G'H'，利用的就是逆向思维，这和2021年北京中考数学第28题如出一辙。
在讲解这道题的时候，时刻牢记学生的知识范围，并不包含一次函数，所以对于坐标系中的线以及其上点坐标的特征，需要从几何角度去解读，不可超纲教学。
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