匀速直线运动的“位移-时间图”匀速直线运动的“速度-时间图”匀加速直线运动的“速度-时刻图”匀速直线运动的“速度-时刻图”匀速直线运动的“位置-时刻图”lim取自英文单词limit（极限）匀加速直线运动的“速度-时刻图”
前情提要：
“加减乘除”需谨慎。
一切物理公式都要满足量纲平衡原理，相同的物理量有相同的量纲，量纲相同的物理量才能“加减”。
“乘除”可以改变量纲，构造新的物理量，以及新的单位。
最简单的运动是匀速直线运动：物体在一条直线上运动，速度不变。
速度是“位移-时间图”的斜率。
位移是“速度-时间图”的面积。
位移，这个概念太贱了
大多数人最先了解的速度是“路程除以时间”，而物理学中的速度是“位移除以时间”，这两者究竟有什么区别？
试想一下，你绕着操场跑了一圈，请问你的速度是多少？
答案是：零。
再试想一下，你绕着操场跑了两圈，请问你的速度是多少？
答案还是：零。
接着试想一下，一个肥宅从沙发的一头挪到了另一头，请问肥宅的速度是多少？
答案是：肯定比零大。
为什么答案是这个样子？
肥宅在沙发上挪个位置，速度比绕着操场跑了两圈的你还要大，这还有天理吗？
可能没天理，但是有物理。
- 绕着操场跑一圈，初末位置相同，位移就是零，速度当然也是零。
- 在沙发上挪个位置，初末位置不同，位移不是零，速度当然不是零。
位移，就是初末位置之间的直线距离，和具体的运动过程没有任何关系。
就像下图一样，从A点移动到B点可能有无数条路径，但不管走哪条路径，位移都是红色线段的长度。
路程，相比之下就是一个更“合理”的概念了，它是具体的运动路径的长度，这似乎和物理学更般配。
那么，物理学中的速度为什么要选择“位移除以时间”，而不是“路程除以时间”？
位移这么贱的概念究竟是怎么上位的？
凭什么就只看初末位置，不看中间过程？
重新理解“速度”
如本文标题所说，上面那些问题和微积分有关（这也是我在上一篇文章中说“位移是一个复杂的概念”的原因），不过在谈论微积分之前，我必须区分一些概念：
位置
位移
时刻
时间间隔
- 位置是一个空间点，位移是两个空间点之间的直线距离（位移还有方向，不过我们现在不需要考虑方向）。
- 时刻是一个时间点，时间间隔是两个时间点之间的间隔（这应该不难理解，不过日常生活中所说的“时间”可能是指时刻，也可能是指时间间隔）。
- 所以，之前提到的“速度等于位移除以时间”，应该表达成：“速度等于位移除以时间间隔”。
- 我之前展示了匀速直线运动的“位移-时间图”：
其实“位移-时间图”的说法并不准确，应该是“位置-时刻图”。图像上每一个点的横坐标和纵坐标分别表示时刻和位置。
用x表示位置，t表示时刻，就可以用位置和时刻表示速度、位移、时间间隔：
“位置-时刻图”的作用不只是直观表达速度，更重要的是直观表达位置和时刻之间的函数关系。
函数关系是一一对应的关系，在匀速直线运动中，每一个时刻都对应着一个位置，可以说：位置是关于时刻的函数。
也可以把函数关系看成是一种变化，位置随着时刻的变化而变化。
不仅可以用图像表示函数，还可以用公式（解析式）表示函数。分别用x和t表示任意的位置和时刻，对于匀速直线运动，解析式为：
还可以在x后面放一个括号，括号里面写上t，这就表示x随着t的变化而变化，而解析式中的v是一个常数（x是关于t的函数，而不是关于v的函数）。
可以把上面的解析式称为“位置函数”，上面的位置函数描述了匀速直线运动，可以用它算出匀速直线运动的速度：
匀速直线运动的速度是一个常数，没有形成函数（不随时间变化）。
从“匀速”到“匀加速”
之前我们都是在讨论匀速直线运动（位置均匀变化的运动），它是最简单的运动，现在开始考虑稍微复杂一点的运动：匀加速直线运动（速度均匀变化的运动）。
- 现实世界的运动不会这么简单，但是只有从简单的运动出发，一步步拓展，才能描述复杂的运动。
一个是位置均匀变化，一个是速度均匀变化，所以匀加速直线运动的“速度-时刻图”和匀速直线运动的“位置-时刻图”是一样的。
我们可以仿照匀速直线运动的位置函数，写出匀加速直线运动的“速度函数”（速度随着时刻的变化而变化）：
在这里用a表示匀加速直线运动的“速度-时刻图”的斜率，可以称其为：加速度。
那么，匀加速直线运动的“位置-时刻图”会形成什么图形？
在匀速直线运动中，“速度-时刻图”的面积（长方形的面积）可以表示位移。
所以，对于匀加速直线运动，我们也可以用“速度-时刻图”的面积来表示位移，但是有一个问题：
- 此时的“速度-时刻图”形成的图形不再是长方形（面积直接等于速度乘以时间间隔），还能用面积表示位移吗？
答案是：可以。
匀加速直线运动的“速度-时刻图”形成了一个直角三角形，我们可以用一个个小长方形逐渐逼近直角三角形（把匀加速运动分解成一连串的匀速运动）。
如果使用的长方形的数量是“无穷大”，每个长方形的底边长度都是“无穷小”，那么这些长方形的总面积就是直角三角形的面积。
所以匀加速直线运动的位移就是“速度-时刻图”形成的直角三角形的面积，我们可以用计算三角形面积的公式计算位移，用s表示位移，结果是：
请注意，上面的式子表示的是从0时刻到任意t时刻的位移，而不是位置。
位置函数需要在位移函数的基础上加上初始位置。用x0表示初始位置，那么位置函数以及“位置-时刻图”是：
“平均速度”与“瞬时速度”
现在开始把上面的问题反过来，已知匀加速直线运动的“位置-时刻图”以及“位置函数”是：
那么匀加速直线运动的“速度-时刻图”以及“速度函数”会形成什么样子？
当然，我们知道答案是：
问题是如何一步步推导出这个答案？
在匀速直线运动中，我们得到结论：“位置-时刻图”的斜率是速度。
但是对于匀加速直线运动，它的“位置-时刻图”不再是直线，而是曲线。斜率这个概念不太好定义了，曲线上每一小段的倾斜程度都不同。
如果我们只考虑在t1到t2的这段时间内，物体的总位移，就可以得到平均速度：
上面的公式也可以写成下面的形式：
如果我们用一条直线连接A点和B点，这条直线的斜率，就是物体在t1到t2的这段时间内的平均速度，可以把这条直线称为：割线。
如果想得到匀加速直线运动的“速度函数”，我们需要知道的是瞬时速度，也就是物体在某个具体时刻的速度。
借助上面的图像，让B点沿着曲线逐渐靠近A点，当AB两点的距离是“无穷小”的时候，割线就变成了切线，切线的斜率就是物体在t1时刻的瞬时速度。
也就是说，瞬时速度是平均速度的极限。
我们可以用下面的式子表示AB两点间的时间间隔是“无穷小”的时候，计算出的瞬时速度。
最后一步表示了“无穷小”可以被省略。
- 至于“无穷小”究竟是不是零？
目前来看，我们不应该讨论这个问题，我们只需要知道：“无穷小”是一个小到无法计算的数，比你能想到的任何数都更接近零。
现在回到瞬时速度。
上面的公式只表示了物体在t1时刻的瞬时速度，不过每一个时刻的瞬时速度都可以用上面的方法计算，由此可以得到速度函数：
这就得到了我们预期的速度函数。
上面计算瞬时速度的方法就是求导，求导的结果是导数（变化率）。
所以，速度是位置的变化率，也可以说速度是位置的导数（注意，这里出现的是位置，不是位移）。
下面这些公式都可以表示“速度函数”是“位置函数”的导数：
值得一提的是上面出现的dx和dt，它们分别表示位置和时刻的“无穷小”变化量，可以把这种“无穷小”变化量称为：微分。
- dx是位置的微分。
- dt是时刻的微分。
所以导数也被称为微商（微分与微分的商）。
微积分基本定理
回过头来看一看之前用无穷多个长方形逼近三角形的方法。
这种方法其实就是“定积分”的思想（位移是速度的“定积分”）。
在“速度-时刻图”中，无穷多个小长方形，任意一个长方形的面积都可以表示成：
v是长方形的高度，dt是长方形的底边宽度。
从物理意义来看，任意一个长方形的面积都表示一段“无穷小”的位移，也就是位置的“无穷小”变化量dx，所以能写出这样的公式：
在等号两边都加上一个符号，就表示把无穷多个长方形的面积加起来，也就是“速度-时刻图”围成的图形面积。
还可以写得具体一点，下面的公式就表示“速度-时刻图”在t1到t2的时间间隔内，围成的图形面积。
把“速度-时刻图”围成的图形分割成无穷多个小长方形，就相当于把“位置-时刻图”的曲线横着切成无穷多个小段，每个小段的竖向长度都是“无穷小”，表示位置的“无穷小”变化量dx。
所以说，“速度-时刻图”中的每个长方形的面积，都和“位置-时刻图”中的某个小段的竖向长度相等。
把“速度-时刻图”中的每个小长方形的面积加起来，就相当于把“位置-时刻图”中的每个小段的竖向长度加起来。
在“位置-时刻图”中很容易计算最终结果，就是用t2时刻的位置减去t1时刻的位置。
由此可以得到微积分基本定理：
可以用简单的例子验证微积分基本定理的正确性：
回到“位移”
简单讲一遍微积分之后，终于可以直面这个问题：
- 为什么位移只看初末位置，不看中间过程？
上面提到的“位置-时刻图”，位置随着时刻变化，只增大，不减小。当然可以轻易得到微积分基本定理。
但是，如果位置随着时刻“先增大、后减小”，或者是“先减小、后增大”呢？
直接用初末两个时刻的位置相减，还能得到“速度-时刻图”围成的图形面积吗？
此时的“速度-时刻图”大概长这个样子：
一部分图形在横轴上面（上半部分），一部分图形在横轴下面（下半部分）。
- 上半部分的面积加上下半部分的面积，就是路程。
- 上半部分的面积减去下半部分的面积，就是位移。
请问，如果直接套用微积分基本定理，算出来的是路程还是位移？
答案是：位移。
- 这里的内容可能有些绕，感兴趣的读者可以多思考一下。
为什么位移打败了路程？
因为有微积分基本定理啊！
位移是速度函数关于时间的定积分，多么简洁，多么优雅！
相比之下，路程就是个“土包子”，和微积分格格不入，被淘汰也是很正常的事。
（很多时候，物理要迁就数学。）
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